Szczególna teoria względności/Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmowali lokalną zachowawczością tensora gęstości energii (masy) - pędu kinematycznego. Będziemy się zajmowali układem rozciągłym materii, na którą w każdym punkcie tego ośrodka działa nieskończenie mały tensor siły zewnętrznej niekoniecznie równy zero.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny i jego lokalną zachowawczość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny definiujemy w taki sposób dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

$T_{k}^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p$

(36.1)

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny (36.1) w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym przedstawia się ogólnie jako macierz o elementach tylko diagonalnych w przestrzeni n-wymiarowej:

$T_{k}^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\rho _{0}c^{2}&0&0&\cdots &0\\0&p&0&\cdots &0\\0&0&p&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &p\end{bmatrix}}$

(36.2)

W tym układzie mogą występować gęstości tensorów sił wynikających z ciśnienia i gęstość tensorów sił zewnętrznych, stosując to do praw dynamiki dla ruchu płynu (20.54) mamy dla niego równość dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, czyli:

$0={{dK^{i}} \over {dV}}=\rho _{0}c{{du^{i}} \over {ds}}=-{{1} \over {c}}{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}+{{dK_{z}^{i}} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\partial T_{k}^{ii}} \over {\partial x^{i}}}={{dK_{z}^{i}} \over {dV_{0}}}c\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\partial T_{k}^{i\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{dK_{z}^{i}} \over {dV_{0}}}$

(36.3)

• gdzie $dV_{0}\;$ jest to nieskończenie mała objętość spoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

A stąd wykorzystując (20.56) (zerowa współrzędna gęstości tensora siły) i (20.41) (wzór na tensor siły) w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych do policzenia następnego związku wiedząc, że współrzędne czasowe jakikolwiek gęstości tensorów sił, które po policzeniu są równe zero na podstawie tego, że $p^{i}=m_{0}cu^{i}\rightarrow 0\;$, mamy:

${{\partial \rho _{0}c} \over {\partial x^{0}}}={{dK_{z}^{0}} \over {dV_{0}}}=0\Rightarrow {{\partial \rho _{0}c^{2}} \over {\partial x^{0}}}={{dK_{z}^{0}} \over {dV_{0}}}c=0\Rightarrow {{\partial T_{k}^{00}} \over {\partial x^{0}}}={{dK_{z}^{0}} \over {dV_{0}}}c\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\partial T_{k}^{0\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{dK_{z}^{0}} \over {dV_{0}}}\;$

(36.4)

Równości tensorowe (36.3) i (36.4) możemy zapisać w postaci jednego ogólnego wzoru tensorowego słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych przy tensorze metrycznym Minkowskiego $\eta ^{\mu \nu }\;$ równym (16.5):

${{1} \over {c}}{{\partial T_{k}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\;$

(36.5)

Wzór (36.5) jest słuszny tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale uogólnijmy ten wzór dla dowolnych prędkości mniejszych od prędkości światła w układach globalnie (lokalnie) płaskich wiedząc, że prawa i lewa strona równości (36.5) jest tensorem w tym celu wymnóżmy prawą i lewą stronę równości tej przez ${{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }\;$, wtedy:

${{1} \over {c}}{{\partial T_{k}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\partial T_{k}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\beta }}}{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\partial {\overline {T}}_{k}^{\alpha \beta }} \over {\partial {\overline {x}}^{\beta }}}={{d{\overline {K}}_{z}^{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\partial {\overline {T}}_{k}^{\alpha \beta }} \over {\partial {\overline {x}}^{\beta }}}={{d{\overline {K}}_{z}^{\alpha }} \over {dV}}\gamma ^{-1}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{{\partial {\overline {T}}_{k}^{\alpha \beta }} \over {\partial {\overline {x}}^{\beta }}}={{d{\overline {K}}_{z}^{\alpha }} \over {dV}}$

(36.6)

• gdzie $dV\;$ jest to nieskończenie mała objętość ogólnie niespoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

Dowolność tensora gęstości energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Będziemy tutaj przedstawiać, że stała $\kappa \;$ w równaniu Hilberta-Einsteina w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona jest równa tam zero, a tensor Einsteina w tych teoriach jest dokładnie równy zero. Powiemy, że stała kosmnologiczna $\Lambda \;$ jest równa zero dla dowolnego $T^{\mu \nu }\;$.

Dowód z teorii lagrangianowej z równania Eulera-Lagrange'a

Weźmy gęstość lagrangianu przestrzennego, który zdefiujemy w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w postaci:

${\mathfrak {L}}_{g}=\mp {{\Lambda } \over {\kappa }}\;$

(36.7)

• Podwójny znak w (36.7) został napisany ze zgodnością z ogólną teorią względności dotyczący równania Hilberta-Einsteina.

Wtedy całkowita gęstość lagrangianu jest sumą gęstości lagrangianu przestzrennego (36.7) i masowego, co zapisujemy rachunkiem:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{g}+{\mathfrak {L}}_{m}=\mp {{\Lambda } \over {\kappa }}+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(36.8)

Całkowity lagrangian jest całką obietościową z gęstości lagrangianu całkowitego po całej czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej (jeden wymiar czasowy i $n\;$ przestrzennych), z którego napiszemy całkę działania w teorii lagrangianowej, wtedy:

$S=\int _{t}Lcdt=\int _{t}cdt\int _{V}{\mathfrak {L}}dV=\int _{t}\int V{\mathfrak {L}}cdtdV=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}dx^{n+1}=\int _{\tau }{\sqrt {||(\eta )||}}{\mathfrak {L}}d\tau =\int _{\tau }{\sqrt {||(\eta )||}}\left(\mp {{\Lambda } \over {2\kappa }}+{\mathfrak {L}}_{m}\right)d\tau \;$

(36.9)

Weźmy równanie Eulera-Lagrange'a, dla całki działania (36.9), w postaci:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {||(\eta )||}}} \over {\partial (\partial _{\mu }\eta ^{\alpha \beta })}}-{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {||(\eta )||}}} \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}=0\wedge \partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {||(\eta )||}}} \over {\partial (\partial _{\mu }\eta ^{\alpha \beta })}}=0\Rightarrow 0={{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {||(\eta )||}}} \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}\;$

(36.10)

Równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (36.10) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (36.8):

${\sqrt {||(\eta )||}}{{\partial } \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {\mp \kappa }}\Lambda +{\mathfrak {L}}_{m}\right)-\left({{1} \over {\mp \kappa }}\Lambda +{\mathfrak {L}}_{m}\right){{(-1)^{n}} \over {2{\sqrt {||(\eta )||}}}}\eta \eta _{\alpha \beta }=0\;$

(36.11)

• Gdzie $n\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni słabozakrzywionej uważanych za płaskie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Po podzieleniu obustronnie równości (36.11) przez pierwiastek modułu wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli ${\sqrt {||(\eta )||}}\;$:

$-{{1} \over {\mp 2\kappa }}\eta _{\alpha \beta }\Lambda -{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{\partial } \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {\mp \kappa }}\Lambda +{\mathfrak {L}}_{m}\right)=0\;$

(36.12)

Po przegrupowaniu wyrazów w (36.12), otrzymujemy:

${{1} \over {\pm 2\kappa }}g_{\alpha \beta }\Lambda =-{{1} \over {2}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}-\eta _{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(36.13)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (36.13), przez ${{1} \over {\pm 2\kappa }}\;$, otrzymujemy dla sygnatury dodatniej:

$\eta _{\alpha \beta }\Lambda =\pm \kappa \left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}+\eta _{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(36.14)

Równanie (36.14) jest napisane dla sygnatury dodatniej, a dla obu sygnatur piszemy:

$\eta _{\alpha \beta }\Lambda =\pm \kappa \left(\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial \eta ^{\alpha \beta }}}\pm \eta _{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(36.15)

Weźmy definicę tensora gęstości energii(masy)-pędu z (41.16), wtedy równanie Hilberta-Einsteina możemy przepisać:

$\Lambda \eta _{\alpha \beta }=\pm \kappa T_{\alpha \beta }\;$

(36.16)

W równaniu (36.16), aby tensor gęstości energii(masy)-pędu był dowolny, to musi zachodzić $\Lambda =0\;$ i $\kappa =0\;$, stąd w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona tensor gęstości energii(masy)-pędu jest dowolny.

Dowód mechaniczny z teorii całki z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa

Załóżmy, że w tensorze gęstości energii(masy)-pędu są uwzględnione wszystkie siły, wtedy z (36.6), ale napisane dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, mamy, że ${T^{\alpha \beta }}_{,\beta }=0\;$, wtedy napiszmy:

$0={T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\Rightarrow 0=\pm \int \kappa {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }d\tau \Rightarrow \int \left(\eta ^{\alpha \beta }\Lambda \right)_{,\beta }=\pm \int \kappa {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }d\tau \Rightarrow 0=\int \left(\pm \kappa T^{\alpha \beta }-\Lambda \eta ^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }d\tau \Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=\oint \left(\pm \kappa T^{\alpha \beta }-\Lambda \eta ^{\alpha \beta }\right)d\Sigma _{\beta }\Rightarrow \Lambda \eta ^{\alpha \beta }=\pm \kappa T^{\alpha \beta }$

(36.17)

Końcowy wniosek w (36.17) jest równoważny z (36.16), a więc dla tego równania zachodzą te same wnioski, co dla poprzedniego, bo te dwa wzory z definicji rachunku tensorowego są ze sobą równoważne.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu, a różniczka wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Weźmy wzór z szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, czyli (36.6), i napiszmy je w wersji z wielkością wskaźnikową siły zewnętrznej dla układów ortonormalnych, wtedy rózniczka tej siły jest napisana dla wersji ogólnej tensora gęstości energii(masy)-pędu nie tylko kinematycznego:

${T^{\mu \nu }}_{,\nu }d\tau =dF_{z}^{\mu }\Rightarrow T^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=dF_{z}^{\mu }\;$

(36.18)

Końcowy wzór w (36.18) jest wielkością wskaźnikową różniczki siły działająca na (n+1)-wymiarową (n - wymiar przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego) nieskończenie małą powierzchnię w czesoprzestrzeni według szczególnej teorii względności. Pierwszy wzór w (36.18) przedstawia wzór na różniczkę siły zewnętrznej działającej na infinitezymalną objętość, a drugi na infinitezymalną powierzchnię, i dlatego one nie są równoważne, ale drugi tam wzór wynika z pierwszego. Końcowy wzór (36.18) jest odpowiednikiem różniczki wektora siły pochodzącej od ciśnienia $p\;$ działającą na nieskończenie małą powierzchnię $d{\vec {S}}\;$, czyli wzoru $d{\vec {F}}=-pd{\vec {S}}\;$^{[Patrz: 36.1]}. Porównując wniosek (36.18) i (Patrz: 36.1), wtedy otrzymujemy, że:

$T^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=-\left({\tilde {p}}n^{\mu \nu }\right)d\Sigma _{\nu }=-{\tilde {p}}n^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=-{\tilde {p}}d\Sigma {\vec {n}}\Rightarrow {\vec {n}}^{\mu }=[n^{\mu 0},n^{\mu 1},n^{\mu 2},n^{\mu 3},...,n^{\mu m}]=n^{\mu \nu }\;$

(36.19)

• gdzie w (36.19) jest to μ-ty wersor ${\vec {n}}^{\mu }\;$ bazy układu współrzędnych czasoprzestrzeni tworzący wraz z $d\Sigma _{\nu }\;$ wektor w danym punkcie prostopadły, do powierzchni, w kierunku ${\vec {n}}\;$ na zewnątrz tej powierzchni o punkcie zaczepienia na niej, a liczba ogólna $m\;$ to jest wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni.

Na podstawie (36.19) i (36.18) otrzymujemy wzór (Patrz: 36.1) na prawo Pascala, przy czym w (36.19) wielkość na ciśnienie ${\tilde {p}}\;$ jest inne niż występujące we ostatnim wzorze w (36.18) pod wielkością tensora gęstości energii(masy)-pędu, czyli w $T^{\mu \nu }\;$, np. patrząc na (36.1).

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny

Tutaj przedstawimy wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny.

Szczególna teoria względności

W szczególnej teorii względności zachodzi wzór na tensor gęstości energii-pędu kinematyczny w postaci:

$T_{k}^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p\;$

(36.20)

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona zachodzi wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny, wiedząc definicję tensora Minkowskiego (16.4) i definicję macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej $A=[a_{ij}]\;$ w definicji macierzy iloczynu skalarnego w tensorze metrycznym $\eta ^{\mu \nu }\;$ (16.4), w postaci:

$T_{k}^{\mu \nu }=\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p=\rho v^{\mu }v^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p\Rightarrow T_{k}^{\mu \nu }=\rho v^{\mu }v^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p\Rightarrow T_{k}^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+pa^{ij}\;$

(36.21)

Wzór (36.21) (który wynika z postaci (36.1) i definicji tensora prędkości (20.9) wykorzystując (26.1), który w prawie (36.6) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości powoduje znikanie wyrazu $pu^{\mu }u^{\nu }$ na podstawie twierdzenia (Twier. 20.1), bo oto dowód:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}(pu^{\mu }u^{\nu })_{,\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p_{,\nu }u^{\mu }u^{\nu }d\tau +\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p{u^{\mu }}_{,\nu }u^{\nu }d\tau +\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }pu^{\mu }{u^{\nu }}_{,\nu }d\tau =u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dp} \over {ds}}d\tau +p\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{u^{\mu }}_{,\nu }u^{\nu }+\;$
$+pu^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{u^{\nu }}_{,\nu }d\tau =p\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left[(u^{\mu }u^{\nu })_{,\nu }-u^{\mu }{u^{\nu }}_{,\nu }\right]d\tau =pu^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}u^{\nu }dS_{\nu }-pu^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}u^{\nu }dS_{\nu }=0$

Drugim argumentem w (36.1) przy pomijaniu wyrazu $pu^{\mu }u^{\nu }\;$ według mechaniki Newtona wiedząc, że ${{p} \over {c^{2}}}<<\rho _{0}\;$ (bo w mechanice Newtona występują małe ciśnienia), zachodzi:

$\left|(\rho _{0}c^{2}+p)\right|=\left|\rho _{0}+{{p} \over {c^{2}}}\right|c^{2}\simeq \rho _{0}c^{2}\;$

(36.22)

Stąd wniosek, że w mechanice Newtona ten rozważany wyraz w (36.1) należy pomijać, bo jest bardzo mały, zatem wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny (36.21) jest słuszny.

Przedstawienie lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Tutaj wyprowadzimy zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Zatem wzór (36.6) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości energii-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (36.20) (patrz: (36.1)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (39.3), w postaci:

${{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.23)

Mechanika Newtona

Zatem wzór (36.6) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości masy-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (36.21) (patrz: (36.1)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (39.7) wiedząc o zależności pomiędzy tensorem siły a wielkością wskaźnikową siły według wzoru (20.42), w postaci:

${{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{\gamma } \over {c}}{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.24)

Dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznej dla układów słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj wzory na zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów słabozakrzywionych wynikłe ze wzorów dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Wzór (36.23) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, ale w wersji tensorowej z wersją z $dV_{0}\;$, co uwodocznimy w rachunku dla układów globalnie (lokalnie) płaskich przechodząc z wersji z $dV\;$ do $dV_{0}\;$ wykorzystując w tym rachunku skrócenie długości (18.7). Następnie przejdziemy tam do układów słabozakrzywionych, wtedy:

${{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\gamma }}_{\beta }{T_{k}^{\alpha \beta }}_{,\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dK^{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\gamma }}_{,\nu }{T_{k}^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{d{\overline {K}}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {\overline {c}}}{{\overline {T}}_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {K}}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}_{0}}}$

(36.25)

W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w (36.25) to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. (22.8) przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w (36.25) bez nadkresleń nad tensorami i prędkością światła, wykorzystując procedurę (Proc. 21.1) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (36.26) (w tych układach symbole Christoffela uważamy za równe zero), dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od (36.26) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do (36.27) opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: (36.25), tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd:

${{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}\left({T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }+T^{\gamma \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }+T_{k}^{\mu \gamma }{\Gamma ^{\nu }}_{\gamma \nu }\right)={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.26)

${{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.27)

Wielkość $\gamma \;$ jest zdefiniowana w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) oraz ma tam taką samą wartość w nich.

A wiec wzór (36.26) spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a (36.27) spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy płaskie krzywoliniowe lub układy płaskie we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa (36.26) i (36.27) przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych):

$0={{\partial T_{k}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}\Rightarrow 0=\partial _{\nu }T_{k}^{\mu \nu }\Rightarrow 0={T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }\;$

(36.28)

$0={T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }\;$

(36.29)

Równości (36.28) i (36.29) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu kinematycznego.

Mechanika Newtona

Wzór (36.24) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, wtedy:

${T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\gamma }}_{\beta }{T_{k}^{\alpha \beta }}_{,\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dF^{\alpha }} \over {dV}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\gamma }}_{,\nu }{T_{k}^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{d{\overline {F}}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\overline {T}}_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {F}}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}_{0}}}$

(36.30)

W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w (36.30) to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. (22.10) i (22.11) przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w (36.30) bez nadkresleń nad tensorami, wykorzystując procedurę (Proc. 21.1) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (36.31), tzn. uważając, że w tych układach symbole Christoffela za równe zero, dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od (36.31) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do (36.32) opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: (36.30), tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd:

${T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }+T_{k}^{\gamma \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }+T_{k}^{\mu \gamma }{\Gamma ^{\nu }}_{\gamma \nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }\simeq {{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.31)

${T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }\simeq {{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.32)

A wiec wzór (36.31) spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a (36.32) spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy krzywoliniowe lub układy we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa (36.31) i (36.32) przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych):

$0={{\partial T_{k}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}\Rightarrow 0=\partial _{\nu }T_{k}^{\mu \nu }\Rightarrow 0={T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }\;$

(36.33)

$0={T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }\;$

(36.34)

Równości (36.33) i (36.34) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu kinematycznego.

Inny dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego w układach słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj dowody na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędy kinematycznego wynikłe z definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego. Udowodnimy, do prawo dla mechaniki Newtona i Einsteina układów globalnie (lokalnie) płaskich, co na tej podstawie wiemy, że ono jestv również słuszne dla układów słabozakrzywionych.

Szczególna teoria względności

Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując definicję tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (36.20). Przejdźmy do dowodu równania (36.26) (pierwsze równanie) wykorzystując lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów ogólnie słabozakrzywionych (40.16) (pierwsze równanie), zatem w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wykorzystując pochodną zupełną ciśnienia względem interwału czasoprzestrzennego według (26.2) i też stosując twierdzenie (Twier. 20.1) pamiętając, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich symbole Christoffela w nich są równe zero, a także ze wzoru na lokalną zasadę zachowania energii-pędu (38.1). W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości całkując po infinitezymalnej objętości:

$\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left[(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p\right]_{;\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }d\tau +\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p_{;\nu }u^{\nu }u^{\mu }d\tau +\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p{u^{\nu }}_{;\nu }u^{\mu }d\tau +\;$
$+\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }pu^{\nu }{u^{\mu }}_{;\nu }d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\eta ^{\mu \nu }p_{,\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }d\tau +u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p_{;\nu }u^{\nu }d\tau +u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p{u^{\nu }}_{;\nu }d\tau +\;$
$+\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }pu^{\nu }{u^{\mu }}_{;\nu }d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\eta ^{\mu \nu }p_{,\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }d\tau +u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p_{,\nu }u^{\nu }d\tau +\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left[\left(pu^{\nu }u^{\mu }\right)_{,\nu }-u^{\mu }(pu^{\nu })_{,\nu }\right]d\tau +\;$
$\mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF^{\mu }} \over {dV}}d\tau +u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p_{,\nu }u^{\nu }d\tau +u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}pu^{\nu }dS_{\nu }-u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{\tau }pu^{\nu }dS_{\nu }\mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =\;$
$=\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF^{\mu }} \over {dV}}d\tau +u^{\mu }\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dp} \over {ds}}d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF^{\mu }} \over {dV}}d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}d\tau \Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.35)

Stosując definicję gęstości tensora siły w zależności od gęstości wielkości wskaźnikowej siły (39.3), a więc obliczenia (36.35) przyjmują zapis:

${T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}$

(36.36)

Równanie (36.36) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (36.26) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Stosujemy lokalne prawo zachowania masy-pędu (40.31) (pierwsze równanie), definicję tensora prędkości (20.9) i definicję tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (36.21), a także twierdzenie (Twier. 20.1), i również ze wzoru na lokalną zasadę zachowania masy-pędu (38.2). stąd obliczenia:

$\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left[\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }p\right]_{;\nu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{V}\eta ^{\mu \nu }p_{,\nu }d\tau =\lim _{V\rightarrow 0}\int _{\nu }\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =$
$=\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF^{\mu }} \over {dV}}d\tau \mp \lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }p^{,\mu }d\tau =\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}d\tau \Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(36.37)

Równanie (36.37) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (36.31) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.