Szczególna teoria względności/Przypomnienie o operatorach rzutowych

Przypomnienie o operatorach rzutowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Formułowanie operatora rzutowego równoległego

Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego ${\vec {V}}\;$:

$X=X_{||}+X_{\perp }\;$

(3.1)

Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora ${\vec {V}}\;$ mamy z definicji $X_{||}=\lambda {\vec {V}}\;$:

$({\vec {V}},X)=({\vec {V}},X_{||}+X_{\perp })=({\vec {V}},X_{||})=({\vec {V}},\lambda {\vec {V}})=\lambda V^{2}\Rightarrow \lambda ={{({\vec {V}},X)} \over {V^{2}}}\;$

(3.2)

Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do ${\vec {V}}\;$, czyli $X_{||}\;$, którą liczymy na podstawie wniosku (3.2):

$X_{||}=\lambda {\vec {V}}={\vec {V}}{{({\vec {V}},X)} \over {V^{2}}}=\underbrace {{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A} _{P_{||}}X=P_{||}X\Rightarrow P_{||}={{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A\;$

(3.3)

Właściwości kwadratu operatora rzutowego równoległego

Policzmy kwadrat operatora rzutowego $P_{||}\;$ (3.3) i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi $V^{2}=({\vec {V}},{\vec {V}})={\vec {V}}^{T}A{\vec {V}}\;$, co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry:

$P_{||}^{2}=P_{||}P_{||}={{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A={{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A=P_{||}\Rightarrow P_{||}^{n}=P_{||}\;$

(3.4)

Formułowanie operatora rzutowego prostopadłego

Z warunku na wektor $X\;$ (3.1) i na wektor $X_{||}\;$ (3.3), wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą $X_{\perp }\;$ względem wyróżnionego kierunku ${\vec {V}}\;$:

$X_{\perp }=X-X_{||}=X-P_{||}X=(\underbrace {I-P_{||}} _{P_{\perp }})X=P_{\perp }X\Rightarrow P_{\perp }=I-P_{||}\;$

(3.5)

Kwadrat operatora rzutowego prostopadłego

Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego $P_{\perp }\;$ (3.5) i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy:

$P_{\perp }^{2}=(1-P_{||})^{2}=1+P_{||}^{2}-2P_{||}=1+P_{||}-2P_{||}=1-P_{||}=P_{\perp }\Rightarrow P_{\perp }^{n}=P_{\perp }\;$

(3.6)

Iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy

Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi (3.5):

$P_{\perp }P_{||}=(1-P_{||})P_{||}=P_{||}-P_{||}^{2}=P_{||}-P_{||}=0\;$

(3.7)

Z wiadomych względów według wzoru (3.5) zachodzi:

$I=P_{||}+P_{\perp }\;$

(3.8)

Wektor prędkości kontrawariantny definiowany przez wektor prędkości kowariantny

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego $P_{||}\;$ (3.3) obierając nowy parametr ${\vec {V}}^{+}\;$ w sposób:

${\vec {V}}=A^{-1}{\vec {V}}^{+}\;$

(3.9)

Definicja operatora rzutowego równoległego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną

Powiemy z definicji operatora ${\vec {V}}\;$ poprzez ${\vec {V}}^{+}\;$ i macierzy iloczynu skalarnego, tzn. (3.9):

$P_{||}^{T}=\left({{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A\right)^{T}=A^{T}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}=AA^{-1}{{{\vec {V}}^{+}{{\vec {V}}^{+}}^{T}} \over {{V^{+}}^{2}}}A^{-T}={{{\vec {V}}^{+}{{\vec {V}}^{+}}^{T}} \over {{V^{+}}^{2}}}A^{-1}=P_{||}^{+}\Rightarrow P_{||}^{T}=P_{||}^{+}\;$

(3.10)

Definicja operatora rzutowego prostopadłego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego $P_{\perp }\;$ (3.5):

$P_{\perp }^{T}=(I-P_{||})^{T}=I^{T}-P_{||}^{T}=I-P_{||}^{+}=P_{\perp }^{+}\Rightarrow P_{\perp }^{T}=P_{\perp }^{+}\;$

(3.11)

Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych równa iloczynowi skalarnemu wektorów kowariantnych

Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując (3.9):

$({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})={\vec {V}}_{1}^{T}A{\vec {V}}_{2}={{\vec {V}}_{1}}^{+T}A^{-1}AA^{-1}{{\vec {V}}_{2}}^{+}={{\vec {V}}_{1}}^{+T}A^{-1}{{\vec {V}}_{2}}^{+}=\left({\vec {V}}_{1}^{+},{\vec {V}}_{2}^{+}\right)^{+}\;$

(3.12)

Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego

Można udowodnić dla operatorów rzutowych jakie zachodzą tożsamości:

$AP_{||}=A{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A=\left({{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A\right)^{T}A={P^{+}}_{||}A=P_{||}^{T}A\;$

(3.13)

Związek operatora rzutowego prostopadłego i macierzy iloczynu skalarnego

Zachodzi tożsamość na podstawie (3.11):

$AP_{\perp }=A(I-P_{||})=A-AP_{||}=IA-P_{||}^{+}A=IA-P_{||}^{+}A=(I-P_{||}^{+})A=P_{\perp }^{+}A=P_{\perp }^{T}A\;$

(3.14)

Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych

Udowodnijmy jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych:

$P_{||}^{T}AP_{||}=\left({{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A\right)^{T}A{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A=A{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A=AP_{||}\Rightarrow P_{||}^{T}AP_{||}=AP_{||}=P_{||}^{T}A\;$

(3.15)

Iloczyn skalarny operatorów rzutowych prostopadłych

Wykorzystując wnioski z (3.15) i (3.8) zachodzące na operatorach rzutowych:

$P_{\perp }^{T}AP_{\perp }=(I-P_{||})^{T}A(I-P_{||})=A-AP_{||}-P_{||}^{T}A+P_{||}^{T}AP_{||}=A-AP_{||}-P_{||}^{T}AP_{||}+P_{||}^{T}AP_{||}=A(I-P_{||})=AP_{\perp }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow P_{\perp }^{T}AP_{\perp }=AP_{\perp }=P_{\perp }^{T}A\;$

(3.16)

Iloczyn skalarny operatorów rzutowych równoległych i prostopadłych

Zachodzi na podstawie związku (3.15):

$P_{||}^{T}AP_{\perp }=P_{||}^{T}A-P_{||}^{T}AP_{||}=P_{||}^{T}AP_{||}-P_{||}^{T}AP_{||}=0\Rightarrow P_{||}^{T}AP_{\perp }=P_{\perp }^{T}AP_{||}=0\;$

(3.17)

Analogiczne związki dla operatorów rzutowych kowariantnych i podobieństwa do ich wersji kontrawariantnych

Podobne wnioski jak dla (3.13), (3.14), (3.15), (3.16) i (3.17) zachodzą, gdy zastąpimy $P_{||}\;$ przez $P_{||}^{+}\;$ i $P_{\perp }\;$ przez $P_{\perp }^{+}\;$, a także zastępując $A\;$ przez $A^{-1}\;$.