Szczególna teoria względności/Pierwsza i druga zasada Lagrange'a

Pierwsza i druga zasada Lagrange'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Wyprowadzimy tutaj dwie zasady Lagrange'a z zasady d'Alemberta.

Pierwsza zasada Lagrange'a zapisana dla drugiej zasady dynamiki Einsteina w postaci wektorowej i tensorowej

Wersja wektorowa dla mechaniki Einsteina-Newtona

Wprowadźmy zasadę d'Alemberta wyprowadzoną dla szczególnej teorii względności w postaci, że przy wirtualnych przemieszczeniach punktu masowego siła reakcji więzów nie wykonuje pracy, w postaci:

${\vec {Z}}\delta {\vec {r}}=\left({{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0\;$

(27.1)

Zasada (27.1) dla ruchu bez więzów jest równoważna z definicją siły w szczególnej teorii względności (19.16) przy $\delta {\vec {r}}\;$ dowolnym. Weźmy f więzów określonymi równaniami, z którego z różniczki zupełnej otrzymamy równość przy przesunięciach w czasie, co z którego dla dt=0 przy przesunięciach wirtualnych $d{\vec {r}}=\delta {\vec {r}}\wedge dt=0\;$, czyli:

$g_{i}({\vec {r}},t)=0\Rightarrow dg_{i}({\vec {r}},t)=0\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}d{\vec {r}}+{{\partial g_{i}} \over {\partial t}}=0\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\delta {\vec {r}}=0\;$

(27.2)

Wykorzystajmy równość (27.2) przy wirtualnych przesunięciach (ostatni wzór) wykorzystując do (27.1) wiedząc, że dodanie zera nic nie zmienia w wartości tego równania, otrzymamy:

$\left({{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\delta r=0\;$

(27.3)

Równość (27.3) jest równoważna równaniu wektorowemu, w którym występuje siła niezwiązana z więzami i siła reakcji więzów ${\vec {Z}}\;$, wtedy:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}=0\Rightarrow {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\;$

(27.4)

Dla układu globalnie (lokalnie) ogólnie nieprostokątnego równość (27.4) piszemy po zastąpieniu ${\vec {r}}\;$ dla układu prostokątnego na ${\vec {r}}^{+}\;$ dla układu ogólnie nieprostokątnego (definicja: (3.9)), którego przejście piszemy podobnie jak w (27.7), tylko ${{dC_{p}} \over {dt}}=0\;$ jest w przeciwieństwie do układu słabozakrzywionego jest dokładną tożsamością, czyli wtedy otrzymamy dokładne równanie jako:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\;$

(27.5)

Według równości (27.4) siła reakcji więzów jest z definicji siły od więzów, które nie wykonują pracy, i jest ona zależna od stałych $\lambda _{i}\;$, które wyznaczamy biorąc równanie ruchu otrzymane z równaniami więzów, wtedy mamy 3nN-f równań więzów, i to równanie jest w postaci:

${\vec {Z}}=\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\;$

(27.6)

Równania (27.4) są słuszne w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, ale udowodnijmy, że one są słuszne w układach słabozakrzywionych według macierzy transformacji (10.1) i definicji tych układów słabozakrzywionych (22.7), wtedy tą równość transformujemy zastępując ${\vec {r}}\;$ przez ${\vec {r}}^{+}\;$ (definicja: (3.9)), co dla przestrzeni płaskiej prostokątnej nie ma znaczenia, lub korzystając z równania (27.5) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}_{p}{{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {F}}+\sum _{i}{\overline {\Lambda }}_{p}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\Rightarrow {{d{\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {p}}} \over {dt}}-{{d{\overline {\Lambda }}_{p}} \over {dt}}{\vec {p}}={\overline {\vec {F}}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {\vec {r}}}^{+}}}\Rightarrow {{d{\overline {\vec {p}}}} \over {dt}}\simeq {\overline {\vec {F}}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {\vec {r}}}^{+}}}\;$

(27.7)

Końcowe równanie (27.7) jest słuszne również dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie otrzymujemy w postaci równości (27.4) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Wersja tensorowa dla mechaniki Einsteina

Jeżeli zamiast wektora siły użyjemy tensor siły to porównując ze szczególną teorią względności, tylko zamiast kolejno ${\vec {r}}\;$ i ${\vec {v}}\;$ są $x^{\mu }\;$ i $u^{\mu }\;$, a zamiast ${\vec {p}}\;$ jest $p^{\mu }\;$, a także zamiast czasu względnego (mechanika Einsteina) jest interwał czasoprzestrzenny $s\;$, wtedy otrzymamy wzór d'Alemberta dla szczególnej teorii względności w postaci tensorowej wiedząc, że zachodzi z równania więzów:

$0=g_{i}(x^{\mu })\Rightarrow 0=dg_{i}={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }+{{\partial g_{i}} \over {\partial s}}ds\Rightarrow 0={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\nu }}}\delta x^{\nu }\Rightarrow 0={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }\;$

(27.8)

więc, wtedy wzór otrzymany z równań więzów (27.8) poddstawiamy do równania d'Alemberta (ten wzór tak wygląda, że praca tensora siły reakcji więzów w czasoprzestrzeni jest równa zero) dla równań czasoprzestrzennych:

$0=Z^{\mu }\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }=\left(m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}-K^{\mu }\right)\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }\Rightarrow \left({{dp^{\mu }} \over {ds}}-K^{\mu }-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\right)\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }=0\;$

(27.9)

Można napisać równanie więzów w postaci $g(x^{\mu })=0\;$, co z tego wynika z definicji różniczki zupełnej rozkładając funkcję $g_{i}\;$ względem współrzędnej czasowej $x^{0}\;$ i przestrzennych $x^{i}\;$, wtedy:

$0=dg={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{j}}}dx^{j}+{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}dx^{0}\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}=-{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{j}}}{{v^{j}} \over {c}}\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}=-\left({{\vec {v}} \over {c}},{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\;$

(27.10)

Wtedy pisząc równanie ruchu przy więzach, otrzymamy równanie ruchu i wzór na tensor siły reakcji więzów w postaci prawa tensorowego dla czasoprzestrzeni przy więzach w nim wykorzystując przy tym wzór wynikający z równania więzów (27.10), wtedy mając na myśli $-\lambda _{i}={{\gamma } \over {c}}\lambda _{i}^{'}\;$, w takim razie:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=K^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\;$

(27.11)

$Z^{\mu }=\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }=\sum _{i}\lambda _{i}{\begin{bmatrix}-\left({{\vec {v}} \over {c}},{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\\-{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},\sum _{i}\lambda _{i}^{'}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\\\sum _{i}\lambda _{i}^{'}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {Z}}\right)\\{\vec {Z}}\end{bmatrix}}\;$

(27.12)

Co kończy dowód, pierwszej zasady d'Alemberta dla tensorowych równań ruchu, czyli z tensorowej pierwszej zasady Lagrange'a wynika wektorowa pierwsza zasada Lagrange'a i odwrotnie w szczególnej teorii względności mając wzór na tensor siły $K^{\mu }\;$ w zależności od wektora siły ${\vec {F}}\;$ przedstawiony w punkcie (20.41). Równania (27.11) są słuszne w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, ale udowodnijmy, że one są słuszne w układach słabozakrzywionych według macierzy transformacji (10.1) i definicji tych układów słabozakrzywionych (22.7), wtedy tą równość transformujemy według:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=K^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }K^{\nu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\partial g_{i}} \over {\partial x_{\nu }}}\Rightarrow {{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }} \over {ds}}-{{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {ds}}p^{\nu }={\overline {K}}^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {x}}_{\mu }}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d{\overline {p}}^{\mu }} \over {ds}}\simeq {\overline {K}}^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {x}}_{\mu }}}\;$

(27.13)

Końcowe równanie (27.13) jest słuszne dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie to otrzymujemy równość (27.11) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Przejście do układów słabozakrzywionych od układu globalnie (lokalnie) płaskiego prawej strony równości (27.11) jest oczywiste z rachunku tensorowego, którą udowodniono w punkcie (27.13), a tensorowość lewej strony równości tego równania wynika też z obliczeń, w której udowodnioną tą tensorowość w postaci (22.18) i zastosowano procedurę (Proc. 21.1) po przejściu do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne od układów globalnie (lokalnie) płaskich i potem dokonano przejście do układów krzywoliniowych lub we współrzędnych uogólnionych, a więc równość udowodnioną innym sposobem, nie korzystając bezpośrednio z układów słabozakrzywionych (ale pośrednio korzystamy) i definicji tych układów (22.7), a więc stąd wynika, że równanie na pierwszą zasadę Lagrange'a (27.11) jest przybliżonym równaniem jak udowodniono teraz. A z definicji tensora siły (20.41), wzór na pierwszą zasadę Lagrange'a w wersji wektorowej (27.5) jest też przybliżonym wzorem, co wynika wiedząc, że z wersji tensorowej tego równania można udowodnić jego wersję wektorową według obliczeń (27.12) i definicji tensora siły (20.41).

Druga zasada Lagrange'a zapisana w postaci wektorowej i tensorowej

Wersja wektorowa dla mechaniki Einsteina-Newtona

Weźmy f więzów i niech mamy układ współrzędnych prostokątnych $x_{a}\;$ w układzie współrzędnym uogólnionym o współrzędnych $q_{k}\;$, w tym układzie jest N mas, nasz układ jest n-wymiarowy, tzn. wymiar przestrzeni zwykłej jest n. Nieskończenie małe przesunięcie w przestrzeni, pochodna czasowa w przestrzeni prostokątnej położenia względem czasu i stąd wynikający wniosek piszemy:

$\delta x_{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}\wedge {\dot {x}}_{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{{\partial x_{a}} \over {\partial t}}\Rightarrow {{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}={{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(27.14)

Przedstawiając wektor pędu w postaci (19.15) biorąc równanie d'Alemberta (27.1) (w mechanice Newtona przyjmujemy, że zachodzi $\gamma _{a}=1\;$ dla a-tej współrzędnej układu n-wymiarowego N cząstek), wtedy mamy:

$\sum _{a=1}^{nN}\left({{d(m_{0}\gamma _{a}v_{a})} \over {dt}}-F_{a}\right)\delta x_{a}=\sum _{a=1}^{nN}\left({{dp_{a}} \over {dt}}-F_{a}\right)\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}=0\;$

(27.15)

Z rachunku różniczkowego zachodzi w układzie n-wymiarowym prostokątnym mamy lagrangian kinematyczny w zależności od wektora współrzędnych prędkości w układzie prostokątnych i masy spoczynkowej N mas dla mechaniki Einsteina i Newtona kolejno:

$L_{k}=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{\sqrt {1-{{{\vec {v}}_{a}^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(Mechanika Einsteina)

(27.16)

$L_{k}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{v_{a}^{2}} \over {2}}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{{\vec {v}}_{a}^{2}} \over {2}}=\sum _{a=1}^{N}m_{a}{{{\vec {v}}_{a}^{2}} \over {2}}\;$

(Mechanika Newtona)

(27.17)

Do lagrangianu kinematycznego (27.16) stosujemy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: $v\ll c\;$, tzn. (16.11), a więc wtedy lagrangian kinematyczny (27.16), tzn. $L_{k}^{E}\;$ mechaniki Einsteina przechodzi w (27.17) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w lagrangian Newtona, tzn. $L_{k}^{N}\;$, z dokładnością do stałej, stosując przybliżenie (19.12), nastepująco:

$L_{k}^{E}=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{\sqrt {1-{{{\vec {v}}_{a}^{2}} \over {c^{2}}}}}\simeq -\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left(1-{{v_{a}^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}+\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{v_{a}^{2}} \over {2}}=\operatorname {const} +\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{v_{a}^{2}} \over {2}}=\operatorname {const} +L_{k}^{N}\;$

(27.18)

Możemy napisać wykorzystując ostatnią tożsamość w (27.14) i wzór na lagrangian kinematyczny (27.16) (mechaniki Einsteina) i (27.17) (mechanika Newtona), czyli policzmy pochodną cząstkową lagrangianu kinematycznego względem współrzędnych uogólnionych położenia, i pochodną cząstkową tego samego lagrangianu względem prędkości uogólnionej:

${{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(27.19)

${{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(27.20)

Policzmy pochodną zupełną obustronną wyrażenia pochodnej cząstkowej lagrangianu kinematycznego względem prędkości uogólnionej (27.20) względem czasu:

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}+\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}+{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(27.21)

Wykorzystując otrzymaną równość w (27.21) podstawiamy do tożsamości (27.15), w takim razie przy dowolnych wariacjach przesunięcia wirtualnego $\delta x_{a}\;$, mamy:

$\sum _{k=1}^{f}\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}-\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}=0\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(27.22)

Zdefiniujmy siłą uogólnioną jako sumę iloczynu nN współrzędnych siły o składowej a i pochodnej cząstkowej położenia o składowej a w układzie prostokątnym względem położenia w układzie we współrzędnych uogólnionych o składowej k:

$Q_{k}=\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\vec {F}}_{a}{{\partial {\vec {r}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\vec {F}}_{a}{\vec {e}}_{ak}g_{ak}=\sum _{a=1}^{N}({\vec {F}}_{a},{\vec {e}}_{ak})g_{ak}=\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {F}}_{ak}g_{ak}\;$

(27.23)

Na podstawie definicji siły uogólnionej przedstawionej w równaniu (27.23) końcowa tożsamość (27.22) przedstawia się:

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{k}\;$

(27.24)

Równość (27.24) jest równaniem ruchu w układzie we współrzędnych uogólnionych znając wzór na siłę uogólnioną $Q_{k}\;$ (27.23) i wzór na lagrangian kinematyczny dla dla układu mas (27.16). Weźmy lagrangian $L=L_{k}+L_{o}\;$, wtedy napiszmy zamiast $L_{k}\;$ jego wersję $L\;$, zatem wzór (27.24) w wersji jeszcze nie udowodnionej przedstawia się wzorem w zależności od siły zewnętrznej uogólnionej $Q_{zk}\;$:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(27.25)

Wiedząc, że zachodzi pewien wzór na $L\;$ podany wcześniej możemy powiedzieć wynikająco z (27.25):

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{za}-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(27.26)

Porównując wzory (27.26) z (27.24) dostajemy, że wzór (27.25) jest ogólnie spełniony i zachodzi wzór na siłę uogólnioną od oddziaływania i wzór na siłę uogólnioną, jako:

$Q_{ok}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(27.27)

$Q_{k}=Q_{zk}+Q_{ok}\;$

(27.28)

Weźmy we wzorze (27.24) zamiast $L_{k}\;$ wyrażenie $L\rightarrow L+L_{o}\;$, wtedy ten wzór nadal jest spełniony na podstawie udowodnionej spełniowości (27.25), wtedy też jest spełniony wzór na siłę uogólnioną (27.27) i addytywność sił uogólnionych (27.28). Równość (27.25) jest słuszna w układach globalnie (lokalnie) płaskich, ale udowodnijmy go w układach słabozakrzywionych korzystając z macierzy transformacji (10.1) i z własności tej macierzy w postaci (22.7), wtedy:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}={{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}Q_{zk}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}{{d{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}} \over {dt}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{i}}}={\overline {Q}}_{zi}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{i}}}\simeq {\overline {Q}}_{zi}\;$

(27.29)

Końcowe równanie (27.29) jest słuszne również dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie to otrzymujemy równość (27.25) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych, jako równość przybliżoną, nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Równanie (27.25) załóżmy, że jest słuszne dla układów płaskich prostokątnych, wtedy z definicji stałości macierzy transformacji $C_{p}\;$, tzn. ${{dC_{p}} \over {dt}}=0\;$ wynika, że jest spełniona równość dla dowolnych układów odniesienia płaskich ogólnie nieprostokątnych, według (27.25), a to równanie udowadnia się podobnie jak dla układu słabozakrzywionego (27.29), tylko że obliczenia są dokładne, wtedy:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\vec {r}}}^{+}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}={\vec {Q}}_{z}\;$

(27.30)

Wersja tensorowa równań Eulera-Lagrange'a dla mechaniki Einsteina - przejście z lagrangianu wektorowego mechaniki Newtona do tensorowego

Równanie (27.25) jest ogólnie spełnione w szczególnej teorii względności, weźmy interwał czasoprzestrzenny w mechanice Newtona (16.12) i na podstawie przedstawienia tensora siły w tej teorii (20.42) mamy, że element tensora siły czasowy jest równy zero, a lagrangian jest niezależny od czasu i elementu czasowego tensora prędkości, a więc przepiszmy równanie Eulera-Lagrange'a (27.25) dla tej teorii zastępują zamiast kolejno $t\;$, ${\dot {q}}_{k}\;$ i $Q_{zk}\;$ na $s=ct\;$, na wielkość kowariantną ${\dot {q}}_{\mu }\;$ i $Q_{z}^{\mu }\;$, wtedy otrzymamy równanie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich prostokątnych, wtedy pisząc dla czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej wynikająco dla teorii Newtona przedstawionej we współrzędnych nieuogólnionych $q^{\mu }\;$ układu prostokątnego, wtedy dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }\wedge Q_{z}^{\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K_{z}^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\vec {K}}_{z}^{a}{{\vec {e}}_{a}}^{\mu }{g_{a}}^{\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {K}}_{z}^{a}{g_{a}}^{\mu }=\mp cK_{z}^{\mu }\Leftrightarrow \;$
$\Leftrightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q^{\mu }}}=Q_{z\mu }\wedge Q_{z\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K_{z}^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\vec {K}}_{z}^{a}{\vec {e}}_{a\mu }g_{a\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {K}}_{z}^{a}g_{a\mu }=\mp cK_{z\mu }\;$

(27.31)

• Powyższe równości są również słuszne nie tylko w mechanice Newtona, ale i też w szczególnej teorii względności dla dowolnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych).

Udowodnijmy lagrangian tensorowy mechaniki Einsteina po przejściu z lagrangianu tensorowego mechaniki Newtona, z dokładnością do stałej:

$L_{m}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{v_{a}^{2}} \over {2}}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{{v_{a}^{2}} \over {2c^{2}}}=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left({{1} \over {2}}-{{v_{a}^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=-{{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left(u_{a}^{0}u_{a}^{0}-u_{a}^{i}u_{a}^{i}\right)=\;$
$=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left(u_{a}^{0}u_{a0}+u_{a}^{i}u_{ai}\right)=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }u_{a\mu }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }\eta _{a\mu \nu }u_{a}^{\nu }\Rightarrow L_{m}=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }\eta _{a\mu \nu }u_{a}^{\nu }\;$

(27.32)

Udowodnijmy niezmienniczość lagrangianu masowego szczególnej teorii względności z teorii transformacji i też wykorzystując definicję jedynki (20.10):

${\overline {L}}_{m}=-{{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{\overline {u}}_{a}^{\mu }{\overline {\eta }}_{a\mu \nu }{\overline {u}}_{a}^{\nu }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\alpha }{\overline {\eta }}_{a\mu \nu }u_{a}^{\beta }{{\overline {\Lambda }}_{a}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}_{a}^{\nu }}_{\beta }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\alpha }\eta _{a\alpha \beta }u_{a}^{\beta }=L_{m}\;$

(27.33)

Wersja tensorowa dla mechaniki Einsteina (dowód z lagrangianu tensorowego)

Weźmy lagrangian masowy kinematyczny wychodząc z (27.33), i go możemy ogólnie napisać w postaci dla współrzędnych ortonormalnych dla sygnatury dodatniej (znak u góry) i ujemnej (znak u dołu), dla $N\;$ mas dla układu współrzędnych $n\;$-wymiarowego czasoprzestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej:

$L_{k}=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a}^{nN}m_{0a}c^{2}{\dot {x}}_{a}^{\mu }{\dot {x}}_{a\mu }$

(27.34)

A zasada d'Alemberta możemy przedstawić wzorem (27.9), wtedy możemy napisać pochodną cząstkową lagrangianu tensorowego względem tensora położenia i też względem tensora prędkości, współrzędnych uogólnionych:

${{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\mu }}}=\mp \sum _{a}^{nN}m_{0a}c^{2}{\dot {x}}^{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\;$

(27.35)

${{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}=\mp \sum _{a=1}^{nN}m_{0a}c^{2}{\dot {x}}^{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}\;$

(27.36)

Policzmy pochodną zupełną obustronną wyrażenia pochodnej cząstkowej lagrangianu kinematycznego względem prędkości uogólnionej (27.36) względem interwału czasoprzestrzennego:

${{d} \over {ds}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{nN}{{dp^{a}} \over {ds}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\mp c^{2}\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}{\dot {x}}^{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{nN}{{dp^{a}} \over {ds}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}$

(27.37)

Równanie (27.37) jest napisane dla obu sygnatur, wtedy możemy napisać razem następująco po przepisaniu i zaznaczeniu czemu jest równy uogólniony tensor siły:

${{d} \over {ds}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\mu }}}=Q_{\mu }\wedge Q_{\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\;$

(27.38)

Równanie (27.38) dla drugą zasadę Lagrange'a jest takie samo jak równość (27.31). Napiszmy równość używając lagrangianu zamiast lagrangianu masowego kinematycznego:

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q^{\mu }}}=Q_{z\mu }\wedge Q_{z\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K_{z}^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}\;$

(27.39)

Możemy napisać, to $L=L_{k}+L_{z}\;$, w takim razie przechodzimy wtedy do równości początkowej (27.38) z (27.39).

Druga zasada Lagrange'a w wersji wektorowej i tensorowej, ale dla układów rozciągłych

W równaniu (27.25) napisanej w wersji wektorowej i (27.31) napisane w wersji tensorowej, wtedy pisząc lagrangian nieskończenie małego elementu zastąpmy $L\;$ przez $\delta L\;$, wtedy napiszmy:

${\mathfrak {L}}={{\delta L} \over {\delta V}}\;$

(27.40)

wykorzystując wnioski zastąpieniowe i podzieleniu tych równań obustronnie przez $\delta V\;$ otrzymujemy równania drugiej zasady Lagrange'a kolejno dla wersji wektorowej i tensorowej dla układów rozciągłych:

${{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q_{k}}}={\mathfrak {Q}}_{zk}\;$
${\mathfrak {Q}}_{zk}=\sum _{a=1}^{N}{\mathfrak {\vec {F}}}_{za}{{\partial {\vec {r}}_{a}} \over {\partial {\vec {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {F}}_{zak}g_{ak}\;$

(27.41)

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q_{\mu }}}={\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }\wedge {{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\mu }}}={\mathfrak {Q}}_{z\mu }\;$
${\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }=-c\sum _{\nu =1}^{nN}{\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }{{\partial x_{\nu }} \over {\partial q_{\mu }}}=-c\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {K}}_{z}^{a\mu }{g_{a}}^{\mu }\wedge {\mathfrak {Q}}_{z\mu }=-c\sum _{\nu =1}^{nN}{\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }{{\partial x_{\nu }} \over {\partial q^{\mu }}}=-c\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {K_{z\mu }^{a}}}g_{a\mu }\;$

(27.42)

• gdzie niektóre wielkości występujące we wzorach (27.41) i (27.42), zatem:

${\mathfrak {Q}}_{zk}\;$ to jest k-ta współrzędna gęstości siły uogólnionej zewnętrznej,

${\mathfrak {\vec {\mathtt {F}}}}_{zak}\;$ to jest gęstość wektora siły zewnętrznej a-tego ciała k-tej współrzędnej w układzie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych),

${\mathfrak {\mathtt {K}}}_{z\mu }^{a}\;$ to jest gęstość tensora siły zewnętrznej a-tego ciała μ-tej współrzędnej w układzie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych),

${\mathfrak {\vec {F}}}_{za}\;$ to jest gęstość wektora siły zewnętrznej a-tego ciała,

${\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }={{dQ_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$ i ${\mathfrak {Q}}_{z\mu }={{dQ_{z\mu }} \over {dV}}\;$ to są gęstości tensora siły uogólnionej zewnętrznej, pierwszy kontrawariantny i drugi kowariantny,

${\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }={{dK_{z}^{\nu }} \over {dV}}\;$ to jest $\nu \;$ współrzędna gęstości tensora siły kontrawariantnej zewnętrznej współrzędnych N-tych ciał.

Wzór na tensor sił uogólnionych i jego addytywność

We wzorze tensorowym na drugą zasadę Lagrange'a dla szczególnej teorii względności (27.31) weźmy $L\rightarrow L_{o}+L\;$, wtedy otrzymujemy wzór na tensor siły uogólnionej i jego addytywność dla wskaźników górnych:

$Q_{o}^{\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{\mu }}}\right)\;$

(27.43)

$Q^{\mu }=Q_{z}^{\mu }+Q_{o}^{\mu }\;$

(27.44)

$Q_{o\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q^{\mu }}}\right)\;$

(27.45)

$Q_{\mu }=Q_{z\mu }+Q_{o\mu }\;$

(27.46)

Czyli stąd wiemy, że jak siła (23.8), czy tensor sił (23.16), to podobnie tensor siły uogólnionej też jest addytywny na podstawie (27.44) (wskaźniki na górze) i (27.46) (wskaźniki na dole).

Wzór na gęstość tensora sił uogólnionych i jego addytywność

Wzory (27.43), (27.44), (27.45) i (27.46) są też spełnione, gdy zamiast wielkości $L_{o}\;$, $Q_{o}^{\mu }\;$, $Q_{z}^{\mu }\;$ i $Q^{\mu }\;$ występują ich gęstości objętościowe, tzn. przedstawiają się w postaci:

${\mathfrak {Q}}_{o}^{\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial {\dot {\mathfrak {q}}}_{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial q_{\mu }}}\right)\;$

(27.47)

${\mathfrak {Q}}^{\mu }={\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }+{\mathfrak {Q}}_{o}^{\mu }\;$

(27.48)

${\mathfrak {Q}}_{o\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial q^{\mu }}}\right)\;$

(27.49)

${\mathfrak {Q}}_{\mu }={\mathfrak {Q}}_{z\mu }+{\mathfrak {Q}}_{o\mu }\;$

(27.50)

Czyli na podstawie (27.48) (wskaźniki na górze) i (27.50) (wskaźniki na dole) gęstość tensora siły uogólnionej jest wielkością addytywną.