Szczególna teoria względności/Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego

Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Pierwsza zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego

Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym.

Dowód: Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa (24.1) ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się.

Druga zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}\;$

(24.1)

Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona (23.3). Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową.

Dowód: Wzór (24.1) i addytywność momentów sił ${\vec {N}}\;$ wyprowadźmy. Rozwińmy funkcję ${\vec {f}}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})\;$ względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia kątowego i czasu, zakładając, że pochodna ${\vec {f^{'}}}_{\omega }(t,{\vec {\alpha }},\omega ,{\hat {I}})\;$ jest w najprostszy postaci równą tensorowi bezwładności oraz ${\vec {f^{'}}}_{\hat {I}}(t,{\vec {\alpha }},\omega ,{\hat {I}})\;$ jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego (24.1) i definicji na moment pędu ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {r}}\;$, a także ${{df} \over {dt}}\;$ jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy:

${\vec {N}}dt={{d{\vec {f}}} \over {dt}}dt={{{\vec {f}}^{'}}_{t}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})}dt+{{{\vec {f}}^{'}}_{\vec {\alpha }}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})}d{\vec {\alpha }}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{\vec {\omega }}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})} _{\hat {I}}d{\vec {\omega }}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{\hat {I}}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})} _{\vec {\omega }}d{\hat {I}}\Rightarrow {\vec {N}}dt={\hat {I}}d{\vec {\omega }}+{\vec {\omega }}d{\hat {I}}=\;$
$={{d({\hat {I}}{\vec {\omega }})} \over {dt}}dt={{d({\hat {I}}\omega )} \over {dt}}dt={{d{\vec {K}}} \over {dt}}dt\Rightarrow {\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}\;$

(24.2)

Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi:

${\vec {N}}^{'}=C_{p}{\vec {N}}=C_{p}{{d{\vec {K}}} \over {dt}}={{d{\vec {K}}^{'}} \over {dt}}\Rightarrow {\vec {N}}^{'}={{d{\vec {K}}^{'}} \over {dt}}\;$

(24.3)

Zatem na podstawie (24.3) jest spełnione prawo (24.2). Napiszmy wzór na moment pędu tarcia od ośrodka napisany na podstawie pierwszego wyrazu po drugiej równości w (24.2):

${\vec {N}}_{T}={{{\vec {f}}^{'}}_{t}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})}=-\mu N{\vec {r}}\times {{\vec {v}} \over {v}}\;$

(24.4)

Zajmijmy się dodatkowym członem w (24.2) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz $B\;$ jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego:

${\vec {N}}^{'}=C_{p}N\Rightarrow {\vec {N}}^{'}=C_{p}{\vec {N}}=C_{p}B{\vec {\omega }}=C_{p}BC_{p}^{-1}C_{p}{\vec {\omega }}=C_{p}BC_{p}^{-1}{\vec {\omega }}^{'}\Rightarrow B^{'}=C_{p}BC_{p}^{-1}\Rightarrow B=-b{\hat {I}}\Rightarrow {\vec {N}}=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}=-b{\vec {K}}\;$

(24.5)

Na podstawie (24.5) moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu, przedstawiający moment siły działający od ośrodka, dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły (23.6) przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu, zatem:

$N=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}=-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times b{\vec {p}}_{i}=-\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times b({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})=-b\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}\Rightarrow {\vec {N}}=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}=-b{\vec {K}}\;$

(24.6)

Wzory: (24.4) i (24.5), stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego (24.2), czyli w takiej formie:

${{d{\vec {K}}} \over {dt}}={\vec {N}}=-\mu N{\vec {r}}\times {{\vec {v}} \over {v}}-b{\vec {K}}+{\vec {N}}_{z}\;$

(24.7)

Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że ${\vec {\omega }}_{i}\;$ jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna ${{\vec {f}}^{'}}_{{\vec {\omega }}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})\;$ jest tensorem bezwładności ${\hat {I}}_{i}\;$ i ${{\vec {f}}^{'}}_{{\hat {I}}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})\;$ jest prędkością obrotową ${\vec {\omega }}_{i}\;$, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił (24.2), wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w (24.1) w wektorze momenu siły w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego:

${\vec {N}}dt={{d{\vec {f}}} \over {dt}}dt=d{\vec {f}}=\sum _{i}\left(\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{{\vec {\omega }}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})} _{{\hat {I}}_{i}}d{\vec {\omega }}_{i}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{{\hat {I}}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})} _{{\vec {\omega }}_{i}}d{\hat {I}}_{i}\right)=\sum _{i}\left({\hat {I}}_{i}d{\vec {\omega }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}d{\hat {I}}_{i}\right)=\sum _{i}d({\hat {I}}_{i}{\vec {\omega }}_{i})=\sum _{i}d{\vec {K}}_{i}=\;$
$=\sum _{i}{{d{\vec {K}}_{i}} \over {dt}}dt=\sum _{i}{\vec {N}}_{i}dt\Rightarrow {\vec {N}}=\sum _{i}N_{i}\;$

(24.8)

Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}={{d(mr^{2}{\vec {\omega }})} \over {dt}}={{d(mr{\vec {\omega }}r)} \over {dt}}={{d(m{\vec {r}}\times {\vec {v}}))} \over {dt}}={{d({\vec {r}}\times {\vec {p}})} \over {dt}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}\Rightarrow {\vec {N}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}\;$

(24.9)

A zatem według (24.9) moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej.

Przypadek ruchu obrotowego

Będziemy tutaj udowodniali trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego.

W przypadku, gdy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego jest spełniona

Na podstawie (23.17) (szczególna teoria względności) i (23.20) (mechanika Newtona) mamy zależność:

${\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0\Rightarrow {\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{2}=0\Rightarrow {\vec {N}}_{1}+{\vec {N}}_{2}=0\;$

(24.10)

Rozważmy przypadki podzbioru $k\;$ ciał, tzn.: i=1,2,3,...,k, ze zbioru wszystkich ciał ($n\;$ ciał) wytwarzających pewne pola działających na ciała j-te dla j=1,2,...,n, wtedy na podstawie końcowego wzoru (24.10) sumując obustronnie te wzory sformułowane dla każdego i-tego przyjmując zasadę działania niezależności działania momentów sił nawet dla pól (co jest spełnione dla układów prawie płaskich, bo druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina, a w niej, bo moment sił jest wektorem) i przyjmując, że pole od jednego ciała jest niezależne od pól innych ciał:

$\sum _{i=1}^{k}{\vec {N}}_{1i}+\sum _{i=1}^{k}{\vec {N}}_{2i}=0\;$

(24.11)

Napiszmy przez ${\vec {N}}_{mech}=\sum _{i=1}^{k}{\vec {N}}_{1i}\;$ i ${\vec {N}}_{pole}=\sum _{i=1}^{k}{\vec {N}}_{2i}\;$ we formule (24.11), dzięki temu dochodzimy do wniosku:

${\vec {N}}_{mech}+{\vec {N}}_{pole}=0\;$

(24.12)

Końcowy wzór (24.12) jest również spełniony w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy ${\vec {N}}_{pole}\;$, to jest moment sił działająca na pola w układzie wszystkich pól i ciał. Suma momentów sił wtedy w (24.12) jest równa zero jak tam napisano, co wynika z równania geodezyjnego ruchu ciała w układach słabozakrzywionych. Wedle wzoru w (24.12) zakładając, że suma momentów sił działających na pola jest równa zero, bo te pola są wytwarzane przez ciała, jeżeli w ogóle to jest spełnione, tzn.: ${\vec {N}}_{pole}=0\;$ (tzn. przyjmujemy, że pole ma masę relatywistyczną prawie równą zero (co tutaj możemy przyjąć, że dokładnie) i jest natychmiastowe (można tak powiedzieć, bo prędkość światła, z którą rozpowszechnia się pole jest bardzo dużą prędkością, a więc można powiedzieć, że jest prędkością prawie nieskończoną), a to pole na pewno spełnia drugą zasadę dynamiki Newtona i w przybliżeniu Einsteina dla ruchu obrotowego), wtedy:

${\vec {N}}_{mech}=0\;$

(24.13)

Wzór (24.13) zachodzi dla każdego podzbioru ciał jeżeli przyjmiemy niezależność działania momentów sił na podstawie (MT-1.47), wtedy podzbiór momentów sił działający na ciało nadaje taką zmianę momentów pędu względem czasu opisującą ciało, jak gdy by moment sił innych niż w tym podzbiorze momentów sił nie było. We wzorze (24.13) rozważając podukład dwóch ciał, tzn.: $k=2\;$, z układu ciał wszystkich ciał, tzn.: $n\;$ ciał:

${\vec {N}}_{1ij}+{\vec {N}}_{1ji}=0\Rightarrow {\vec {N}}_{1ij}=-{\vec {N}}_{1ji}\;$

(24.14)

Widzimy, że ze wzoru pierwszego (24.14) po sumowaniu go obustronnie względem wszystkich "i" i "j", mając na myśli i<j, mamy równanie (24.13) dla układu ciał, co powinno zachodzić. Wzór (24.14), który jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego przedstawia, że ciało i-te oddziałuje na ciało j-te z momentem siły ${\vec {N}}_{1ij}\;$, a ciało j-te na ciało i-te z momentem sił ${\vec {N}}_{1ji}=-{\vec {N}}_{1ij}\;$. Ale (24.14) jest dokładnie spełniona pomiędzy ciałem (cząstką materii) a polem na podstawie (24.10).

Kiedy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego nie jest spełniona

Z oczywistych powodów pole ma masę i rozprzestrzenia się ze skończoną prędkością, co ogólnie zachodzi ${\vec {N}}_{pole}\neq 0\;$, więc trzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ogólnie nie jest spełniona.