Szczególna teoria względności/Wydłużenie podłużne a poprzeczne

Wydłużenie podłużne a poprzeczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wydłużenie (czy skrócenie) poprzeczne, a je podłużne 2Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni

Wydłużenie (czy skrócenie) poprzeczne, a je podłużne

Ułóżmy tak układ odniesienia o wymiarze przestrzeni zwykłej $n>2\;$, by oś OX pokrywała się z kierunkiem wektora ${\vec {V}}\;$ nowego układu odniesienia względem starego, a pozostałe osie są względem jego i siebie prostopadłe. Według symetrii jest wydłużenie (czy skrócenie) wzdłuż prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {V}}\;$ względem starego, czyli podłużne, ale sprawdźmy, czy istnieje ono poprzeczne. Według symetrii ono wzdłuż każdej osi współrzędnej układu odniesienia prostopadłego względem osi OX jest takie same, ale wzdłuż innej osi prostopadłego do osi OX niż te one, wygląda na to, że może być większe z definicji długości względem współrzędnych, a powinno być, że jest takie same, bo nie wiadomo, który kierunek prostopadły do osi OX jest wyróżniony, stąd w tych układach nie ma wydłużenia (czy skrócenia) poprzecznego, ale za to ono może występować w takich układach, ale dwuwymiarowych.

Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni

Wiemy jednak, że przy transformacji współrzędnych przestrzennych wektora ze starego układu odniesienia na nowy układ odniesienia zachodzi (2.12), w nim proponujemy macierz transformacji $M_{p}\;$, którą piszemy w zależności od wyróżnionego kierunku ${\vec {V}}\;$, przyjmując, że zachodzi (4.6):

$M_{p}=M_{p||}+M_{p\perp }=C_{p||}\gamma +C_{p\perp }\Rightarrow M_{p}=C_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp })\wedge M_{p||}=\gamma C_{p||}=\gamma C_{p}P_{||}\wedge M_{p\perp }=C_{p\perp }=C_{p}P_{\perp }\;$

(5.1)

Widzimy, że macierz $M_{p}\;$ zależy od macierzy $C_{p}\;$, a wzór (2.12) (ten pierwszy wzór) zależy od $M_{p}\;$, a także zależy od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, a zatem postać transformacji z jednego układu współrzędnych do drugiego jest niezależna od ustawień osi starego i nowego układu współrzędnych, a więc one spełniają zasadę izotropowości przestrzeni. Wzór na $M_{p}\;$ (5.1) jest tak napisany, by był wyróżniony kierunek ${\vec {V}}\;$, zatem $\gamma \;$ zależy tylko od wartości tej prędkości, a od innych zmiennych nie zależy. Widzimy, że aby szczególna teoria względności zgadzała się w zakresie stosowalności z transformacjami Galileusza (jak można zauważyć po postaci $\gamma \;$ jaką później wyliczymy), to musi zachodzić fizycznie dla prędkości nowego układu odniesienia $V\ll c\;$:

$\gamma (V\ll c)\simeq 1\Rightarrow M_{p}(V\ll c)=C_{p}(\gamma (V\ll c)P_{||}+P_{\perp })\simeq C_{p}(P_{||}+P_{\perp })=C_{p}\;$

(5.2)

oraz $M_{0x}\simeq 0\;$, $M_{x0}=-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\simeq -C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\;$ (na podstawie (2.13) (definicja) i (5.2) (przybliżenie)) i $m_{00}\simeq 1\;$. Ale $C_{p}\;$ w szczególnej teorii względności jest ta sama macierz co w transformacjach Galileusza. Gdzie $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$ są macierzami transformacji Galileusza występującymi w (4.6). Policzmy wiedząc, że zachodzi (4.1):

$X^{T}M_{p}^{T}A^{'}M_{p}X=X^{T}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)X=X^{T}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)^{T}A\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)X=\;$
$=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}AP_{||}+P_{\perp }^{T}AP_{\perp }+\gamma P_{\perp }^{T}AP_{||}+\gamma P_{||}^{T}AP_{\perp }\right)X=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}+P_{\perp }^{T}\right)AX^{T}=X^{T}A\left(\gamma ^{2}P_{||}+P_{\perp }\right)X^{T}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow X^{T}M_{p}^{T}A^{'}M_{p}X=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}+P_{\perp }^{T}\right)AX=X^{T}A\left(\gamma ^{2}P_{||}+P_{\perp }\right)X$

(5.3)

Parametr γ jest to parametr zależny od prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. A $P_{||}\;$ i $P_{\perp }\;$ są kolejno operatorami rzutowania równoległym i prostopadłym do prędkości nowego układu współrzędnych ${\vec {V}}\;$.