Szczególna teoria względności/Transformacje prędkości - początek rozważań

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Transformacje prędkości - początek rozważań

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy udowodniali niektóre wnioski z transformacji prędkości z układu K do K'.

Wynikające wnioski z transformacji prędkości od układu odniesienia K do K' do obliczeń pierwszego i drugiego rozwiązania m00 z minusem i plusem, a jednakowość prędkości światła we wszystkich układach odniesieniaEdytuj

Prędkość w układzie K' względem układu K jest liczona jako pochodna zupełna wielkości (2.12) względem czasu w nowym układzie współrzędnych (2.5):

(7.1)
  • gdzie:
- jest to prędkość ciała względem układu K'.
- jest to prędkość ciała w układzie K.
Ale idąc dalej, jest to prędkość nowego układu współrzędnych względem starego.

Macierz iloczynu skalarnego w nowym i starym układzie odniesienia obowiązującego w przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą wyrażoną wzorem:

(7.2)

Natomiast długość pewnego wektora w nowym i starym układzie odniesienia w tej przestrzeni wyrażamy za pomocą iloczynu skalarnego, przedstawia się jako:

(7.3)

Jeśli wykorzystamy definicję iloczynu skalarnego (7.3) i samą transformację (7.1), wtedy wzór na wartość prędkości w nowym układu odniesienia piszemy:

(7.4)

W tożsamości (7.4) możemy pomnożyć obustronnie przez mianownik prawego ułamka w tym obiekcie przy założeniu, że i :

(7.5)

Weźmy w równości (7.5) zamienienie według schematu , tak powstały układ równań, którego równości dodajmy i odejmijmy od siebie, wtedy mamy w rezultacie dwa końcowe równania po dokonaniu tejże operacji. Te równania wyglądają:

(7.6)
(7.7)

Weźmy , czyli powiemy:

(7.8)

Mnożymy obie strony równania (7.8) przez prędkość ciała vj, i wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy możemy napisać:

(7.9)

Jeśli dla i-tej współrzędnej mamy vj=c, a dla pozostałych współrzędnych oczywiście jest vj=0, bo prędkość światła wynosi c wedle wzoru dla przestrzeni n-wymiarowej:

(7.10)

Zajmijmy się teraz równaniem (7.7) podstawiając do niego wyprowadzoną tożsamość (7.10) przy założeniu wtedy , w takim przypadku mamy równanie poniżej, w którym pomnożymy obustronnie przez wyrażenie m002:

(7.11)

W równości (7.11) przegrupujmy wyrazy względem m00, w taki sposób by otrzymać równanie kwadratowe:

(7.12)

Jeśli w (7.12) potraktować , wtedy wyróżnik trójmianu powyższego równania kwadratowego jest:

(7.13)

Zatem pierwiastki równania (7.12) są:

(7.14)

Wynikające wnioski z transformacji prędkości ze starego układu odniesienia do nowego do obliczeń prędkości starego układu współrzędnych względem nowego w szczególnej teorii względnościEdytuj

Równanie transformacyjne prędkości ciała względem starego układu współrzędnych na nowe jest wyrażone wzorem (7.1), co po podstawieniu do niego tożsamości (7.10) otrzymujemy tożsamość:

(7.15)

Ze wzoru (7.15) możemy wyprowadzić prędkość starego układu współrzędnych względem nowego:

(7.16)

Pierwszego rozwiązania (ze znakiem minus, czyli ) i drugiego rozwiązania, w (7.14), we wzorze (7.16) nie będziemy wykorzystywali, bo jak udowodnimy później jest to rozwiązanie bezsensowne, dlatego że nie otrzymujemy tego, co chcielibyśmy. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego, według (7.16) przy rozwiązaniu , w zależności od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, jest:

(7.17)

Stąd wzór na prędkość starego układu odniesienia względem nowego (7.17) w szczególnej teorii względności jest taki sam jak w transformacji Galileusza w mechanice Newtona (4.7). Stary układ odniesienia względem nowego porusza się w stronę przeciwną niż nowy układ odniesienia względem starego, co to widać po znaku minus we wzorze (7.17). A wartość prędkości starego układu odniesienia względem nowego na podstawie transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej (4.1) przedstawia się:

(7.18)

Zatem prędkość starego układu odniesienia względem nowego i prędkość nowego układu współrzędnych względem starego na podstawie (7.18) są co do wartości sobie równe. Parametr zależy tylko od wartości prędkości nowego układu odniesienia względem starego i parametr zależy tylko od wartości prędkości starego układu odniesienia względem nowego kolejno w transformacji prostej i transformacji odwrotnej wzdłuż wyróżnionego kierunku tych transformacji, stąd na podstawie zachodzącej równości końcowej (7.18):

(7.19)