Szczególna teoria względności/Transformacje prędkości - równania końcowe

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Transformacje prędkości - równania końcowe

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Transformacje prędkości przy pierwszym rozwiązaniu m00 w szczególnej teorii względnościEdytuj

Transformacja prędkości względem nowego układu współrzędnych do prędkości względem starego układu współrzędnych wygląda tak jak poniżej, do której później podstawialiśmy wzór (7.15) i (7.16), wykorzystując przy tym pierwsze rozwiązania na m00 (7.14), wtedy w ten sposób otrzymujemy transformację tej samej prędkości na tą samą w starym układzie współrzędnych:




(9.1)

Mamy sobie wektor , dalej rozłóżmy sobie go na wektor równoległy i prostopadły do prędkości nowego układu odniesienia :

(9.2)

Pozłóżmy prędkość względem nowego układu współrzędnych na część jego prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu odniesienia, wtedy możemy napisać:

(9.3)
(9.4)

Macierz możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadłą:

(9.5)

Ale zachodzi podstawie definicji (5.1) oraz iloczynów macierzy (8.2) i (8.3) stąd:

(9.6)

Macierze Mp||, Mp⊥ mają takie własności, że spełniają warunki na podstawie wzorów (4.6):

(9.7)
(9.8)

Jeśli do wzoru na całkowitą prędkość ciała względem starego układu współrzędnych (9.2) podstawić wyrażenie (9.4), a na podstawie tego możemy napisać wyrażenie (9.2) opisujące prędkość prostopadłą i równoległą prędkości w starym układzie współrzędnych względem w jednym równaniu:

(9.9)

Równanie (9.9) możemy rozłożyć na dwa niezależne równania transformujące dla prędkości równoległej, czy to dla prostopadłej prędkości, względem prędkości nowego układu odniesienia w starym układzie odniesienia.

(9.10)
(9.11)

Równość (9.10) dzielimy obustronnie przez , która jest w ogólności wielkością niezerową:

(9.12)

A teraz mnożymy obie strony końcowego równania (9.12) przez kwadrat wartości prędkości nowego układu współrzędnych, czyli przez V2 i mając (4.14) (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości ), w końcu otrzymamy rozwiązanie wiedząc, że parametr przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, ponieważ przy poniższe twierdzenie jest prawdziwe:


(9.13)

W końcu możemy wykorzystać równość (9.11) i otrzymamy własność na macierz wiedząc że zachodzi (8.9) (wzór na ) i (4.15) (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości ), a więc tą równość przekształcamy do wzoru:

(9.14)

Ale ponieważ zachodzi (9.13) i (9.14), stąd lemat (5.1) jest na pewno spełniony i nie jest sprzeczny. Mając już określone Mp|| i Mp⊥, możemy transformować prędkość równoległą i prostopadłą względem prędkości nowego układu współrzędnych w starym układzie współrzędnym.

Korzystając ze wzoru transformacyjnego prędkości ciała z układu K na K', dla wielkości (7.15), możemy napisać wzory dla jego składowych równoległej i prostopadłej w nowym układzie współrzędnych względem prędkości nowego układu współrzędnych K':

(9.15)
(9.16)

Przy (9.16) przy definicji (7.14) obraliśmy ze znakiem plus i dla , bo jak udowodniliśmy wcześniej nie może być, bo gdy było nie było by spełnione transformacje Galileusza dla prędkości prostopadłej do prędkości nowego układu odniesienia względem starego układu odniesienia przy prędkości bardzo małych w porównaniu z prędkością światła. Ostatecznie można powiedzieć, że transformacja prędkości , ze starego układu współrzędnych K do nowego K' jest napisana według transformacji (9.15) i (9.16), które to zbierając to wszystko razem:

(9.17)

Do tego samego wniosku możemy dojść dzieląc równość obustronnie (8.16) przez (8.4) licząc . Gdy jest małe w porównaniu z prędkością światła, to mamy: , czyli przechodzimy do transformacji Galileusza (4.3), czyli jest to macierz transformacji z układu K do K', czyli taką samą jak przy transformacji nierelatywistycznej w przestrzeni ogólnie nieprostokątnej.