Szczególna teoria względności/Transformacje prędkości - równania końcowe

Transformacje prędkości - równania końcowe

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Transformacje prędkości przy pierwszym rozwiązaniu m00 w szczególnej teorii względności

Transformacje prędkości przy pierwszym rozwiązaniu m⁰₀ w szczególnej teorii względności

Transformacja prędkości względem nowego układu współrzędnych do prędkości względem starego układu współrzędnych wygląda tak jak poniżej, do której później podstawialiśmy wzór (7.15) i (7.16), wykorzystując przy tym pierwsze rozwiązania na m⁰₀ (7.14), wtedy w ten sposób otrzymujemy transformację tej samej prędkości na tą samą w starym układzie współrzędnych:

${\vec {v}}={{M_{p}^{'}({\vec {v}}^{'}-{\vec {V}}^{'})} \over {{m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {_{{m^{0}}_{0}}}}{{({\vec {v}}^{'},{\vec {V}}^{'})} \over {c^{2}}}}}={{M_{p}^{'}\left({{M_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})} \over {{m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}-\left({-{{M_{p}V} \over {{m^{0}}_{0}}}}\right)\right)} \over {{m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {_{{m^{0}}_{0}}}}{{\left({{M_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})} \over {{m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}},-{{M_{p}V} \over {{m^{0}}_{0}}}\right)} \over {c^{2}}}}}={{{M_{p}^{'}M_{p}\left[{m^{0}}_{0}({\vec {v}}-{\vec {V}})+V\left({m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)\right]} \over {({m^{0}}_{0})^{2}\left(1-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)}} \over {{m^{0}}_{0}\left(1+{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{\gamma ^{2}\left(({\vec {v}},{\vec {V}})-{\vec {V}}^{2}\right)} \over {c^{2}({m^{0}}_{0})^{2}\left(1-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)}}\right)}}=\;$
$={{{({m^{0}}_{0})^{2}M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {V}}{{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}}\right)} \over {({m^{0}}_{0})^{2}\left(1-{{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}}\right)}} \over {{({m^{0}}_{0})^{4}c^{2}\left(1-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)+\gamma ^{4}(({\vec {v}},{\vec {V}})-V^{2})} \over {c^{2}({m^{0}}_{0})^{2}\left(1-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)}}}={{c^{2}({m^{0}}_{0})^{2}M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {V}}{{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}}\right)} \over {({m^{0}}_{0})^{4}c^{2}\left(1-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)+\gamma ^{4}\left(({\vec {v}},{\vec {V}})-V^{2}\right)}}{\xrightarrow[{({m^{0}}_{0})^{2}=\gamma ^{2}}]{}}\;$
${\xrightarrow[{({m^{0}}_{0})^{2}=\gamma ^{2}}]{}}{{\gamma ^{2}c^{2}M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {V}}{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right) \over c^{2}}\right)} \over {\gamma ^{4}c^{2}\left(1-{{\left({\vec {v}},{\vec {V}}\right)} \over {c^{2}}}\right)+\gamma ^{4}\left(\left({\vec {v}},{\vec {V}}\right)-V^{2}\right)}}={{c^{2}M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {V}}{{\left({{\vec {V}},{\vec {v}}}\right)} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}c^{2}\left(1-{V^{2} \over {c^{2}}}\right)}}={{M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {u}}{{\left({{\vec {V}},{\vec {v}}}\right)} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}\left(1-{V^{2} \over {c^{2}}}\right)}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\vec {v}}={{M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}-{\vec {V}}{{\left({{\vec {V}},{\vec {v}}}\right)} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}\left(1-{V^{2} \over {c^{2}}}\right)}}\;$

(9.1)

Mamy sobie wektor ${\vec {v}}\;$, dalej rozłóżmy sobie go na wektor równoległy i prostopadły do prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {u}}\;$:

${\vec {v_{\perp }}}+{\vec {v_{||}}}={\vec {v}}\;$

(9.2)

Pozłóżmy prędkość względem nowego układu współrzędnych na część jego prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu odniesienia, wtedy możemy napisać:

${\vec {v_{||}}}=P_{||}{\vec {v}}={\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {V^{2}}}\;$

(9.3)

${\vec {v}}_{\perp }=P_{\perp }{\vec {v}}=(I-P_{||}){\vec {v}}={\vec {v}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {V^{2}}}\;$

(9.4)

Macierz $M_{p}^{'}M_{p}$ możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadłą:

$M_{p}=M_{p||}+M_{p\perp }\;$

(9.5)

Ale zachodzi podstawie definicji $M_{p}\;$ (5.1) oraz iloczynów macierzy (8.2) i (8.3) stąd:

$M_{p}^{'}M_{p}=M_{p||}^{'}M_{p||}+M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }+M_{p\perp }^{'}M_{p||}+M_{p||}^{'}M_{p\perp }=M_{p||}^{'}M_{p||}+M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }\;$

(9.6)

Macierze M_p, M_p⊥ mają takie własności, że spełniają warunki na podstawie wzorów (4.6):

$M_{p||}{\vec {v}}_{\perp }=\gamma C_{p||}{\vec {v}}_{\perp }=\gamma C_{p}P_{||}{\vec {v}}_{\perp }=0\;$

(9.7)

$M_{p\perp }{\vec {v}}_{||}=C_{p\perp }{\vec {v}}_{||}=C_{p}P_{\perp }v_{||}=0\;$

(9.8)

Jeśli do wzoru na całkowitą prędkość ciała względem starego układu współrzędnych (9.2) podstawić wyrażenie (9.4), a na podstawie tego możemy napisać wyrażenie (9.2) opisujące prędkość prostopadłą i równoległą prędkości w starym układzie współrzędnych względem ${\vec {V}}\;$ w jednym równaniu:

${\vec {v}}_{\perp }+{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}={{M_{p}^{'}M_{p}\left({\vec {v}}_{\perp }+{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}{{({{\vec {V}},{\vec {v}}_{||}})} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}(1-{V^{2} \over {c^{2}}})}}\Rightarrow {\vec {v}}_{\perp }+{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}={{M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }+M_{p||}^{'}M_{p||}\left({\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}(1-{V^{2} \over {c^{2}}})}}\;$

(9.9)

Równanie (9.9) możemy rozłożyć na dwa niezależne równania transformujące dla prędkości równoległej, czy to dla prostopadłej prędkości, względem prędkości nowego układu odniesienia w starym układzie odniesienia.

${\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}={{M_{p||}^{'}M_{p||}\left({\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}{{({{\vec {V}},{\vec {v}}_{||}})} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}\left(1-{V^{2} \over {c^{2}}}\right)}}\;$

(9.10)

${\vec {v_{\perp }}}={{M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }{\vec {v_{\perp }}}} \over {\gamma ^{2}\left(1-{V^{2} \over {c^{2}}}\right)}}\;$

(9.11)

Równość (9.10) dzielimy obustronnie przez $({\vec {V}},{\vec {v}}_{||})\;$, która jest w ogólności wielkością niezerową:

${{1} \over {V^{2}}}{\vec {V}}={{M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}\left({{1} \over {V^{2}}}-{{1} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)}}\;$

(9.12)

A teraz mnożymy obie strony końcowego równania (9.12) przez kwadrat wartości prędkości nowego układu współrzędnych, czyli przez V² i mając (4.14) (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości $v\rightarrow 0\;$), w końcu otrzymamy rozwiązanie wiedząc, że parametr $\gamma \;$ przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, ponieważ przy $\gamma ^{'}=\gamma \;$ poniższe twierdzenie jest prawdziwe:

${\vec {V}}={{M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)} \over {\gamma ^{2}\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)}}=\gamma ^{-2}M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}\Rightarrow M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}=\gamma ^{2}{\vec {V}}\Rightarrow M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}=(\gamma C_{p||}^{'})(\gamma C_{p||}){\vec {V}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow M_{p||}^{'}M_{p||}{\vec {V}}=(\gamma ^{'}C_{p||}^{'})(\gamma C_{p||}){\vec {V}}\Rightarrow M_{p||}=\gamma C_{p||}\;$

(9.13)

W końcu możemy wykorzystać równość (9.11) i otrzymamy własność na macierz $M_{p\perp }\;$ wiedząc że zachodzi (8.9) (wzór na $\gamma \;$) i (4.15) (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości $v\rightarrow 0\;$), a więc tą równość przekształcamy do wzoru:

${\vec {v_{\perp }}}={{M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }{\vec {v_{\perp }}}} \over {\gamma ^{2}(1-{V^{2} \over {c^{2}}})}}\Rightarrow M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }={\vec {v}}_{\perp }\Rightarrow M_{p\perp }^{'}M_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }\Rightarrow M_{p\perp }=C_{p\perp }\;$

(9.14)

Ale ponieważ zachodzi (9.13) i (9.14), stąd lemat (5.1) jest na pewno spełniony i nie jest sprzeczny. Mając już określone M_p i M_p⊥, możemy transformować prędkość równoległą i prostopadłą względem prędkości nowego układu współrzędnych w starym układzie współrzędnym.

Korzystając ze wzoru transformacyjnego prędkości ciała z układu K na K', dla wielkości ${\vec {v}}^{'}\;$ (7.15), możemy napisać wzory dla jego składowych równoległej i prostopadłej w nowym układzie współrzędnych względem prędkości nowego układu współrzędnych K':

${{\vec {v}}_{||}}'={{M_{p||}\left({\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}\right)} \over {{m^{0}}_{0}\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}{{\gamma ^{2}} \over {(m_{0}^{0})^{2}}}\right)}}{\xrightarrow {{m^{0}}_{0}=\gamma }}{{\gamma C_{p||}\left({\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}\right)} \over {\gamma \left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)}}={{C_{p||}\left({\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}\right)} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}={{C_{p}\left({\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}\right)} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\;$

(9.15)

${{\vec {v}}_{\perp }'}={{M_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }} \over {{m^{0}}_{0}\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}\right)}}={{C_{p\perp }{\vec {v}}_{\perp }{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}} \over {1-{{\left({\vec {v}},{\vec {V}}\right)} \over {c^{2}}}}}={{C_{p}{\vec {v}}_{\perp }{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\;$

(9.16)

Przy (9.16) przy definicji ${m^{0}}_{0}=\pm \gamma \;$ (7.14) obraliśmy ze znakiem plus i $\gamma >0\;$ dla $v<c\;$, bo jak udowodniliśmy wcześniej $v>c\;$ nie może być, bo gdy było ${m^{0}}_{0}<0\;$ nie było by spełnione transformacje Galileusza dla prędkości prostopadłej do prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {V}}\;$ względem starego układu odniesienia ${\vec {v_{\perp }}}'=C_{p}{\vec {v}}_{\perp }\;$ przy prędkości $V\;$ bardzo małych w porównaniu z prędkością światła. Ostatecznie można powiedzieć, że transformacja prędkości ${\vec {v}}_{||}\;$, ${\vec {v}}_{\bot }\;$ ze starego układu współrzędnych K do nowego K' jest napisana według transformacji (9.15) i (9.16), które to zbierając to wszystko razem:

${\vec {v}}^{'}={\vec {v}}_{||}^{'}+{\vec {v}}_{\perp }^{'}={{C_{p}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\left[\left({\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}\right)+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }\right]={{C_{p}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\left[\left({\vec {V}}{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}\right)+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\left({{\vec {v}}-{\vec {V}}{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {V^{2}}}}\right)\right]\;$

(9.17)

Do tego samego wniosku możemy dojść dzieląc równość obustronnie (8.16) przez (8.4) licząc ${\vec {v}}^{'}={{d{\vec {r}}^{'}} \over {dt^{'}}}\;$. Gdy $V\;$ jest małe w porównaniu z prędkością światła, to mamy: ${\vec {v}}^{'}=C_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})\;$, czyli przechodzimy do transformacji Galileusza (4.3), czyli $C_{p}\;$ jest to macierz transformacji z układu K do K', czyli taką samą jak przy transformacji nierelatywistycznej w przestrzeni ogólnie nieprostokątnej.