Szczególna teoria względności/Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona

Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj rozważali równania ruchu, a także jak transformują się wielkości tensorowe i wskaźnikowe.

Definicja postaci einsteinowskiej i newtonowskiej

Postać einsteinowska jest to, co opisuje czasoprzestrzeń, a czas w niej nie jest parametrem, tylko współrzędną. A postać newtonowska jest to, co opisuje przestrzeń zwykłą, a czas w niej nie jest współrzędną, tylko parametrem. Postać newtonowska jest podzbiorem postaci einsteinowskiej. W postaci newtonowskiej jest spełniona absolutność czasu (tzn. przy przejściu z jednego układu współrzędnych do drugiego czas jest niezmienniczy), a w postaci einsteinowskiej już nie musi tak być.

Jak transformować zmienne kowariantne i kontrawariantne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Powiemy jak transformują się zmienne kowariantne i kontrawariantne bez nadkreślenia i z nadkreśleniem. W następnych dwóch rozdziałach będziemy rozważać jak wygląda macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ i ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\;$ działająca na pewne typy zmiennych w rozważanych transformacjach typu:

${\overline {X}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }X^{\nu }\wedge {\overline {X}}_{\mu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }X_{\nu }\Rightarrow X^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\overline {X}}^{\nu }\wedge X_{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\overline {X}}_{\nu }\;$

(21.1)

Jak dla transformacji tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawiantnych, podobnie jest jak w tensorach $X^{\nu }\;$, $X_{\nu }\;$, ${\overline {X}}^{\nu }\;$ i ${\overline {X}}_{\nu }\;$, gdy wskaźnik występuje po przecinku w układach globalnie (lokalnie) płaskich lub po średniku w układach zakrzywionych. Podobne są rozważania, gdy transformujemy względem jakiegoś wskaźnika (gdy wskaźników górnych i dolnych są jakieś liczby w zmiennych), jak jest w przemyśleniach w (21.1) dla jednego wskaźnika.

Szczególna teoria względności

Do szczególnej teorii względności będziemy stosowali tylko postać einsteinowską. Do rozważań będziemy stosowali transformację tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawariantnych (21.1), którą można uoogólnić dla tensorów o iluś wskaźnikach górnych i dolnych. Dla szczególnej teorii względności macierz transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji (11.2) mamy ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=M\;$ (a z nadkreśleniem ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=M^{-1}\;$), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=M^{-1}\;$ (a z nadkreśleniem ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=M\;$), a dla przestrzeni słabozakrzywionych dla współrzędnych kontrawiariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji (11.7) mamy ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}\;$ (a z nadkreśleniem ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}^{-1}\;$), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}^{-1}\;$ (a z nadkreśleniem ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}\;$).

Mechanika Newtona

Do mechaniki Newtona będziemy stosowali postać newtonowską i einsteinowską. Do rozważań będziemy stosowali transformację tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawariantnych (21.1), którą można uoogólnić dla tensorów o iluś wskaźnikach górnych i dolnych. W mechanice Newtona, jeśli traktować czas $t\;$ jako parametr to macierz transformacji jest ${{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\;$ (lub ${\Lambda ^{k}}_{l}\;$) to wtedy będziemy stosowali postać newtonowską, a jeśli tam traktować czas jako współrzędną to macierz jest wtedy taka ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ (lub ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\;$), zatem wtedy dla mechaniki Newtona będziemy stosować transformację jak w postaci einsteinowskiej, wtedy macierz transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji (11.15), mamy ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=M\;$ (a z nadkreśleniem ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=M^{-1}\;$), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=M^{-1}\;$ (a z nadkreśleniem ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=M\;$), a dla przestrzeni słabozakrzywionych dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji (11.20)}, mamy ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}\;$ (a z nadkreśleniem ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}^{-1}\;$), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreslenia jest w postaci: ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}^{-1}\;$ (a z nadkreśleniem ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }={\overline {M}}\;$).

Układy globalnie (lokalnie) płaskie globalnie (lokalnie) spoczynkowe i o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Z istniejących matematycznie układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, w których zachodzi w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej, tzn. o definicjach zgodnych wynikających też z symetrii (15.26):

${{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\wedge {\dot {x}}^{i}=0\wedge {\dot {x}}^{0}=1\;$

(21.2)

${{\dot {x}}^{s}}_{,\nu }=0\wedge {\dot {x}}^{s}=0\;$

(21.3)

przechodząc do istniejących też matematycznie układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, w których zachodzi w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej, tzn. o definicjach zgodnych wynikających też z symetrii (15.26):

${{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\;$

(21.4)

${{\dot {x}}^{s}}_{,\nu }=0\;$

(21.5)

wtedy na podstawie definicji tych pierwszych układów, tzn. o definicji (21.2) i (21.3), mamy kolejno dla postaci einsteinowskiej (21.6) i mechaniki newtonowskiej (21.7) definicję układów tych drugich z teorii transformacji tensorów (wektorów), tzn. o definicji (21.4) i (21.5), czyli te dwa rodzaje układów są ze sobą zgodne z definicji, ale też możemy transformować między sobą układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. o definicji (21.4) i (21.5), według tych samych wspomnianych kolejno wzorów, a te układy też są między sobą zgodne z definicji, a więc:

${{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{;\nu }={{\dot {\overline {x}}}^{\alpha }}_{;\beta }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\nu }={{\dot {\overline {x}}}^{\alpha }}_{,\beta }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\nu }=0\;$

(21.6)

${{\dot {x}}^{k}}_{,\mu }={{\dot {x}}^{k}}_{;\mu }={\left({\dot {\overline {x}}}^{s}-{\overline {V}}^{s}\right)}_{;\nu }{\Lambda ^{k}}_{s}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }={\left({\dot {\overline {x}}}^{s}-{\overline {V}}^{s}\right)}_{,\nu }{\Lambda ^{k}}_{s}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }=\;$
$={{\dot {\overline {x}}}^{s}}_{,\nu }{\Lambda ^{k}}_{s}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }-{{\overline {V}}^{s}}_{,\nu }{\Lambda ^{k}}_{s}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }=0\;$

(21.7)

W (21.7) zakładaliśmy, że nowy układ odniesienia porusza się względem starego z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, tzn.:

${\overline {V}}^{s}={\overline {\operatorname {const} }}^{s}\wedge V^{s}=\operatorname {const} ^{s}\Rightarrow {{\overline {V}}^{s}}_{,\mu }=0\wedge {V^{s}}_{,\mu }=0\;$

(21.8)

Na podstawie zachodzącej tożsamości globalnej (lokalnej) (15.26) uzyskany na podstawie symetrii, mamy kolejno:

$d{\dot {x}}^{\mu }=0\;$

(21.9)

$d{\dot {x}}^{k}=0\;$

(21.10)

Ale też zachodzi na podstawie (21.9) (postać einsteinowska) i (21.10) (postać newtonowska) dla kolejno różniczek tensorów położenia $dx^{\nu }\;$ i $dx^{l}\;$ dowolnych nieskończenie małych, z których można wysnuć kolejno wnioski w układach globalnie (lokalnie) płaskich, tzn.: (21.6) (globalności (lokalności) stałego tensora prędkości) i (21.7) (globalności (lokalności) stałego wektora prędkości), według kolejno przedstawień:

$0=d{\dot {x}}^{\mu }={{\partial {\dot {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }dx^{\nu }\;$

(21.11)

$0=d{\dot {x}}^{k}={{\partial {\dot {x}}^{k}} \over {\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }={{\dot {x}}^{k}}_{,\mu }dx^{\mu }={{\dot {x}}^{k}}_{,l}dx^{l}+{{\dot {x}}^{k}}_{,0}dx^{0}={{\dot {x}}^{k}}_{,l}dx^{l}+{{\dot {x}}^{k}}_{,0}cdt\;$

(21.12)

Z zapisów (21.11) i (21.12) zachodzą kolejno wnioski (21.6) i (21.7), a także zachodzą z (21.6) i (21.7) wnioski (21.11) i (21.12) przy założeniu istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, czyli dowodzi to założenie, że przyśpieszenie jest efektem zakrzywienia czasoprzestrzeni, co jest zgodne z ogólną teorią względności, na podstawie prędkości względem układu odniesienia można wysnuć wniosek, że związek różniczkowy mówiący o zmianie tensora prędkości, wiedząc definicję interwału czasoprzestrzennego (16.1) w szczególnej teorii względności i czasu absolutnego w mechanice Newtona, mamy kolejno:

${{\dot {x}}^{\mu }}_{,\beta }=0\Rightarrow {{d{\dot {x}}^{\mu }} \over {ds}}=0\;$

(21.13)

${{\dot {x}}^{k}}_{,l}=0\wedge {{\dot {x}}^{k}}_{,0}=0\Rightarrow {{d{\dot {x}}^{k}} \over {dt}}=0\;$

(21.14)

W układach słabozakrzywionych zachodzi na podstawie (21.13) w szczególnej teorii względności i (21.14) w mechanice Newtona zastępując przecinek średnikiem, tzn. przechodząc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do zakrzywionych (w tym przypadku do słabozakrzywionego układu), przy tym ich macierze transformacji kolejno: ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ i ${{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\;$, mogą być funkcjami uogólnionymi, wtedy mamy kolejno (21.15) wychodząc z (21.13) (pierwszy wzór) i (21.16) wychodząc od równania (21.14) (pierwszy wzór).

Równanie geodezyjne ruchu ciała (cząstki materii) w postaci einsteinowskiej

Wyprowadźmy wzór na linię geodezyjną dla zakrzywionej czasoprzestrzeni zaczynając od wzoru (21.13) (pierwszy wzór) w postaci einsteinowskiej zamieniając ${x}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych (tutaj rozważamy układy słabozakrzywione jako układy zakrzywione) zakładając, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną (np.: typu (15.31)), że przy tej macierzy transformacji podczas transformacji lewej strony tego wzoru następuje zamiana przecinka na średnik, a prawa strona, która jest zerem, nie zależy od żadnych zmiennych, więc po transformacji przyjmuje wartość zero:

${{\dot {q}}^{\mu }}_{;\beta }=0\Rightarrow {{d{\dot {q}}^{\mu }} \over {ds}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\Rightarrow {{d{\dot {q}}^{\mu }} \over {ds}}=-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }\Rightarrow {{dp^{\mu }} \over {ds}}=K^{\mu }\wedge K^{\mu }=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{p}^{\beta }\;$

(21.15)

• gdzie:

${\dot {q}}^{\mu }=u^{\mu }\;$ - to jest tensor prędkości na podstawie (22.1), jako pochodna wielkości wskaźnikowej położenia względem interwału czasoprzestrzennego.

$p^{\mu }=m_{0}c{\dot {q}}^{\mu }=m_{0}cu^{\mu }\;$ - to jest tensor pędu na podstawie (22.3), ale przy czym $m_{0}\;$ jest to masa spoczynkowa ciała.

$K^{\mu }\;$ - to jest wielkość wskaźnikowa siły, która dla układów słabozakrzywionych na podstawie (22.14) jest w przybliżeniu tensorem.

${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$ - to jest symbol Christoffela, który na podstawie (21.24) dla układów słabozakrzywionych jest w przybliżeniu tensorem.

Na podstawie pierwszego równania w (21.15) wynika, że układy globalnie (lokalnie) płaskie są o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, bo wtedy symbole Christoffela są równe zero. Te symbole Christoffela w układach słabozakrzywionych są małe i należy wiedzieć kiedy z tymi symbolami pewne wyrazy pominąć.

Równanie geodezyjne ruchu ciała (cząstki materii) w postaci newtonowskiej

Wyprowadźmy wzór na linię geodezyjną dla zakrzywionej czasoprzestrzeni zaczynając od wzoru (21.14) (pierwszy wzór) w konwencji newtonowskiej zamieniając ${x}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{k}\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości do zakrzywionych (tutaj rozważamy układy słabozakrzywione jako układy zakrzywione) zakładając, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\;$ może być funkcją uogólnioną (np.: typu (15.31)), że przy tej macierzy transformacji podczas transformacji lewej strony tego wzoru następuje zamiana przecinka na średnik, a prawa strona, która jest zerem, nie zależy od żadnych zmiennych, więc po transformacji przyjmuje wartość zero. Napiszmy równanie geodezyjne mając nowy układ współrzędnych poruszający się względem starego z prędkością ${\vec {V}}\;$, a więc go tutaj zastosujmy:

${{\dot {q}}^{q}}_{;\mu }=0\wedge {V^{s}}_{;\mu }=0\Rightarrow ({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{;\mu }=0\Rightarrow ({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }+{\Gamma ^{k}}_{\mu s}({\dot {q}}^{s}-V^{s})=0\Rightarrow ({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }({\dot {q}}^{\mu }-V^{\mu })+\;$
$+{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})=0\Rightarrow ({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }{\dot {q}}^{\mu }-({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }V^{\mu }+{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})=0\Rightarrow {{d} \over {dt}}({\dot {q}}^{k}-V^{k})+\;$
$-({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }V^{\mu }+{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})=0\Rightarrow {{d} \over {dt}}({\dot {q}}^{k}-V^{k})+{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})-({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }V^{\mu }=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}{\dot {q}}^{k}=-{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})+{{d} \over {dt}}V^{k}+({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }V^{\mu }\Rightarrow F^{k}=m_{0}{{d} \over {dt}}{\dot {q}}^{k}={{dp^{k}} \over {dt}}\wedge \;$
$\Rightarrow F^{k}=-m_{0}{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})+m_{0}{{d} \over {dt}}V^{k}+({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }m_{0}V^{\mu }\;$

(21.16)

• gdzie:

${\dot {q}}^{k}=v^{k}\;$ - to jest wielkość wskaźnikowa prędkości na podstawie (22.2), jako pochodna wielkości wskaźnikowej położenia względem czasu absolutnego.

$p^{k}=m_{0}{\dot {q}}^{k}=m_{0}v^{k}\;$ - to jest wielkość wskaźnikowa pędu na podstawie (22.4), ale przy czym $m_{0}\;$ jest to masa ciała.

$F^{k}\;$ - to jest wielkość wskaźnikowa siły, która dla układów słabozakrzywionych na podstawie (22.15) jest w przybliżeniu tensorem.

${\Gamma ^{k}}_{sb}\;$ - to jest symbol Christoffela, który na podstawie (21.25) dla układów słabozakrzywionych jest w przybliżeniu tensorem.

Na podstawie równania po pierwszym wynikaniu w (21.16) wynika, że układy globalnie (lokalnie) płaskie są o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości na podstawie (21.8) (ostatni wzór), bo wtedy symbole Christoffela są równe zero. Te symbole Christoffela w układach słabozakrzywionych są małe i należy wiedzieć kiedy z tymi symbolami pewne wyrazy pominąć.

Paradoks niespełnienia równania geodezyjnego w układach słabozakrzywionych

Weźmy równanie geodezyjne w postaci tensorowej dla czasoprzestrzeni przy konwencji einsteinowskiej w postaci (21.15) (pierwsze równanie) i napiszmy go dla układów globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\dot {q}}_{p}^{\mu }}_{;\beta }=0\;$

(21.17)

Weźmy całkowitą macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ w teorii transformacji Lorentza i Galileusza naszego problemu fizycznego, transformujące od układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych. Układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych uogólnionych (w szczególnym przypadku krzywoliniowe), i go rozłóżmy na dwie macierze, jedną przedstawiającą transformację od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne ${{\overline {\Lambda }}_{s}^{\mu }}_{\nu }\;$, a drugą dla transformacji od układu słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu słabozakrzywionego napisane we współrzędnych uogólnionych ${{\overline {\Lambda }}_{u}^{\mu }}_{\nu }\;$ (w szczególnym przypadku krzywoliniowych ${{\overline {\Lambda }}_{k}^{\mu }}_{\nu }\;$) będąca dopełnieniem tego pierwszego, wtedy:

${{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\beta }={{\overline {\Lambda }}_{kiu}^{\alpha }}_{\mu }{{\overline {\Lambda }}_{s}^{\mu }}_{\beta }\;$

(21.18)

Macierze występujące w problemie (21.18), tzn. ${{\overline {\Lambda }}_{s}^{\alpha }}_{\mu }\;$ jest to macierz (21.19), a macierz ${{\overline {\Lambda }}_{kiu}^{\mu }}_{\beta }\;$ jest to macierz (21.20) lub (21.21), są przedstawione w:

${{\overline {\Lambda }}_{s}^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\lambda _{s}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{sp}\end{bmatrix}}\;$

(21.19)

${{\overline {\Lambda }}_{k}^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{k}\end{bmatrix}}\;$

(21.20)

${{\overline {\Lambda }}_{u}^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}{\overline {\Lambda }}_{u11}&{\vec {\overline {\Lambda }}}_{u12}\\{\vec {\overline {\Lambda }}}_{u21}^{T}&{\overline {\Lambda }}_{u22}\end{bmatrix}}\;$

(21.21)

Zamiast macierzy kolejno ${{\overline {\Lambda }}_{k}^{\mu }}_{\nu }\;$ w rozważanych problemach fizycznych może być macierz ${{\overline {\Lambda }}_{u}^{\mu }}_{\nu }$. Weźmy problem transformacji równania (21.17) przy całkowitej macierzy transformacji (21.18), wtedy:

${{\dot {q}}_{p}^{\alpha }}_{;\beta }=0\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\dot {q}}_{p}^{\alpha }}_{;\beta }{\Lambda ^{\beta }}_{\nu }={{\dot {\overline {q}}}^{\mu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}_{kiu}^{\mu }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}_{s}^{\xi }}_{\alpha }{{\dot {q}}_{p}^{\alpha }}_{;\beta }{\Lambda _{kiu}^{\gamma }}_{\nu }{\Lambda _{s}^{\beta }}_{\gamma }={{\dot {\overline {q}}}^{\mu }}_{;\nu }=0\wedge {\dot {\overline {q}}}^{\mu }={\dot {q}}_{p}^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }$

(21.22)

W teorii transformacji zwykle nie wiemy jaka jest macierz transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne ${{\overline {\Lambda }}_{s}^{\xi }}_{\alpha }\;$, i tylko wiemy jaka jest za to macierz transformacji z układu płaskiego (w tym przypadku słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne) do układu we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) zanurzonych w układach słabozakrzywionych uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, w takim razie równanie geodezyjne nie jest spełnione, a to wyrażenie zaraz poniżej nie jest ogólnie równe zero, jak pokazano poniżej:

${{\dot {q}}_{p}^{\alpha }}_{;\beta }\neq 0\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}_{kiu}^{\mu }}_{\alpha }{{\dot {q}}_{p}^{\alpha }}_{;\beta }{\Lambda _{kiu}^{\beta }}_{\nu }={{\dot {\overline {q}}}_{kiu}^{\mu }}_{;\nu }\neq 0\wedge {\dot {\overline {q}}}^{\mu }={\dot {q}}_{p}^{\nu }{{\overline {\Lambda }}_{kiu}^{\mu }}_{\nu }\;$

(21.23)

Gdzie ${\dot {q}}_{p}^{\nu }\;$ jest współrzędną tensora prędkości w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a ${\dot {q}}^{\nu }\;$ jest współrzędną tensora prędkości w układach słabozakrzywionych uważanych za układy we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych). Czyli w układach słabozakrzywionych uważanego za płaskie we współrzęnych nieprostokątnych lub krzywoliniowych (uogólnionych) równanie geodezyjne nie jest spełnione przy założeniu płaskości czasoprzestrzeni, w której jest zanurzony układ krzywoliniowy lub we współrzędnych uogólnionych, ale w rzeczywistości jest spełnione, a dlaczego myślimy, że jest przeciwnie, bo to wynika z nieznajomości macierzy transformacji do układu słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne od układu globalnie (lokalnie) płaskiego ${{\overline {\Lambda }}_{s}^{\mu }}_{\nu }\;$.

Czy symbole Christoffela są co najwyżej w przybliżeniu tensorami dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich w równaniu geodezyjnym w dwóch postaciach

Będziemy tutaj rozważali przemyślenia dotyczące równań geodezyjnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich, tzn. dla nich powiemy, kiedy symbole Christoffela są w przybliżeniu tensorowami, a kiedy dokładnie.

Postać einsteinowska

Na podstawie przedstawienia w postaci einsteinowskiej równania geodezyjnego ruchu (21.15) zakładając, że spełniony jest wzór dla macierzy transformacji (22.7):

${{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\Rightarrow {{d} \over {ds}}\left({{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\gamma }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\omega }}_{\zeta }{\dot {q}}^{\xi }{\dot {q}}^{\zeta }\simeq 0\Rightarrow {\ddot {\overline {q}}}^{\nu }+{{\overline {\Gamma }}^{\nu }}_{\gamma \omega }{\dot {\overline {q}}}^{\gamma }{\dot {\overline {q}}}^{\omega }=0\wedge \;$
$\wedge {{\overline {\Gamma }}^{\nu }}_{\gamma \omega }\simeq {{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\omega }\;$

(21.24)

Gdy rozważamy w postaci einsteinowskiej układy globalnie (lokalnie) płaskie, wtedy symbole Christoffela są dokładnie tensorami, a w układach słabozakrzywionych tylko w przybliżeniu są tensorami.

Postać newtonowska z domieszką postaci einsteinowskiej

Wykorzystamy w postaci newtonowskiej równania geodezyjne, ale też równania transformacyjne w postaci newtonowskiej i einsteinowskiej. Na podstawie przedstawienia w postaci newtonowskiej równania geodezyjnego ruchu (21.16) zakładając, że spełniony jest wzór dla macierzy transformacji (22.9), (22.10) i (22.11) dla układów słabozakrzywionych wykorzystając postać transformacyjną tensora prędkości w postaci einsteinowskiej (22.1) i tensorowość wielkości $v^{l}-V^{l}\;$, tzn. (22.28), więc:

${{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}{{d} \over {dt}}\left({\dot {q}}^{n}-V^{n}\right)-{{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}({\dot {q}}^{n}-V^{n})_{,\alpha }{\delta ^{\alpha }}_{\gamma }V^{\gamma }+{{\overline {\Lambda }}^{n}}_{n}{\Gamma ^{n}}_{kl}{\delta ^{k}}_{s}{\delta ^{l}}_{r}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{r}-V^{r})=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {ds}}\left({{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}({\dot {q}}^{n}-V^{n})\right)-{{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}({\dot {q}}^{n}-V^{n})_{,\alpha }{\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\gamma }V^{\gamma }+{{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}{\Gamma ^{n}}_{kl}{\Lambda ^{k}}_{s}{\Lambda ^{l}}_{b}{{\overline {\Lambda }}^{s}}_{r}{{\overline {\Lambda }}^{b}}_{p}({\dot {q}}^{r}-V^{r})({\dot {q}}^{p}-V^{p})\simeq 0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}\left({\dot {\overline {q}}}^{m}-{\overline {V}}^{m}\right)-({\dot {\overline {q}}}^{m}-{\overline {V}}^{m})_{,\mu }{\overline {V}}^{\mu }+{{\overline {\Gamma }}^{m}}_{sb}({\dot {\overline {q}}}^{s}-{\overline {V}}^{s})({\dot {\overline {q}}}^{b}-{\overline {V}}^{b})=0\wedge {{\overline {\Gamma }}^{m}}_{sb}\simeq {{\overline {\Lambda }}^{m}}_{n}{\Gamma ^{n}}_{kl}{\Lambda ^{k}}_{s}{\Lambda ^{l}}_{b}\;$

(21.25)

Gdy rozważamy w postaci newtonowskiej układy globalnie (lokalnie) płaskie, wtedy symbole Christoffela są dokładnie tensorami, a w układach słabozakrzywionych tylko w przybliżeniu są tensorami.

Wnioski wynikające z tensorowości nawet przybliżonej symboli Christoffela

Stąd na podstawie transformacji symboli Christoffela pomiędzy układami słabozakrzywionymi (21.24) w postaci einsteinowskiej i (21.25) w postaci newtonowskiej nie ma fizycznych układów globalnie (lokalnie) płaskich (one są o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, bo zachodzi w tych układach (15.26) oraz stąd wynikający (21.13) (szczególna teoria wzglęności) i (21.14) (mechanika Newtona)), ale one są matematycznie, bo wtedy macierze transformacji do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich są wtedy funkcjami uogólnionymi, a gdyby one nie były takie to w każdym układzie współrzędnych symbole Christoffela byłyby równe zero, a ponieważ dałoby się znależć fizycznie układ globalnie (lokalnie) płaski to cała przestrzeń byłaby globalnie płaska o globalnie stałym tensorze prędkości, a wiemy, że tak nie jest, stąd nie da się ich znaleźć fizycznie, ale matematycznie już tak, a więc w rozważanych tutaj teoriach przestrzeń jest tylko słabozakrzywiona.

Procedura uniezerowacyjna (nierówność zer) dla równań ruchu w konwencji einsteinowskiej i newtonowskiej

Procedurę (Proc. 21.1) stosujemy dla układów czasoprzestrzeni, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, słabozakrzywionych, ogólnie dynamicznych, według konwencji einsteinowskiej (tu używamy symbole będące wskaźnikami napisane literami greckimi) oraz dla układów słabozakrzywionych w mechanice Newtona według konwencji newtonowskiej statycznych lokalnie czasowo według prędkości (tu używamy symbole będące wskaźnikami napisane literami łacińskimi).

Procedura uniezerowacyjna (nierówność zer) (Proc.  21.1)
Układami słabozakrzywionymi będziemy uważać w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona za układy opisywane jako przejście z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów opisywanych przez macierz (21.19), a układy słabozakrzywione uważamy za płaskie ogólnie nieprostokątne (one są w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne, ale nie dokładnie), tzn. wybieramy, z nich tylko wyrazy niezwiązane z symbolami Christoffer'a, czyli zastępujemy zerowe ${u^{\mu }}_{;\nu }\;$ (${u^{i}}_{;j}\;$) (bo równanie geodezyjne (21.15) (konwencja einsteinowska) i (21.16) (konwencja newtonowska)) przez ogólnie niezerowe ${u^{\mu }}_{,\nu }\;$ (${u^{i}}_{,j}\;$), a to w tak przestrzeniach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne możemy zastąpić ${u^{\mu }}_{,\nu }\;$ (${u^{i}}_{,j}\;$) przez nowe ogólnie niezerowe ${u^{\mu }}_{;\nu }\;$ (${u^{i}}_{;j}\;$) przy zerowych symbolach Christoffela (bo tą czasoprzestrzeń po tej operacji uważamy za płaską ogólnie nieprostokątną), wtedy to ogólnie niezerowe ${u^{\mu }}_{;\nu }\;$ (${u^{i}}_{;j}\;$) transformujemy na układy we współrzędnych uogólnionych (druga zasada Lagrange'a), a w szczególności na układy we współrzędnych krzywoliniowych jako szczególny przypadek zmiennych uogólnionych, jak to jest zawarte wszystko w równaniach Einsteina (22.18) i Newtona (22.19). A tą procedurę zastosowaliśmy dla tensora prędkości $u^{\mu }\;$ ($u^{i}\;$), ale też ona się stosuje dla innych wielkości tensorowych. W tej procedurze tensor metryczny (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej) układu słabozakrzywionego (jako układu zakrzywionego, nie płaskiego, ale w przybliżeniu płaskiego) zastępujemy przez tensor metryczny Minkowskiego (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej).

Dowód procedury uniezerowacyjnej (nierówności zer) (Dow.  21.1)
Widzimy, że równanie ruchu (pierwszy sposób) na tensor (wektor) siły dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (tzn. te układy są w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne) wynikający w tym przypadku z równości na linie geodezyjne w teoriach: mechanika Einsteina i Newtona, w notacji einsteinowskiej (21.15) i newtonowskiej (21.16) oraz równanie ruchu (drugi sposób) według wzoru na tensor (wektor) siły w tych teoriach kolejno w (22.18) i (22.19), aby względem tych dwóch sposobów równania ruchu były takie same, wynika, że w tym drugim sposobie należy zastosować (Proc. 21.1), tzn. należy zastąpić ${u^{\mu }}_{;\nu }=0\;$ (${u^{i}}_{;j}=0\;$) (bo linie geodezyjne) przez ${u^{\mu }}_{,\nu }\;$ (${u^{i}}_{,j}\;$), czyli zamiast tensora metrycznego $g_{\mu \nu }\;$ ($g_{ij}\;$) wstawiamy tensor metryczny Minkowskiego $\eta _{\mu \nu }\;$ (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej $a_{ij}\;$). A we wzorach w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina i Newtona zastępowanie dowolnego tensora metrycznego układu słabozakrzywionego tensorem metrycznym Minkowskiego (macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej) wynika też z tego, że obie strony zależą od zmiennych niezależnych tensora (wektora) położenia, tensora (wektora) prędkości i tensora metrycznego (macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej), co jest ważne tutaj, by równania pisać w formie tensorowej (wektorowej). A przed zastosowaniem (Proc. 21.1) mamy, że obie ich strony są równe zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych (Patrz: 22.1) ich część kinematyczna jest równa zero, a dynamiczna różna od zera, mimo zastosowania transformacji będących funkcjami uogólnionymi, a po zastosowaniu tej procedury są sobie równe według (21.15). W takim razie, a dlaczego po przetransformowaniu tensora (wektora) siły (część dynamiczna równania drugiej zasady dynamiki) z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego przed zastosowaniem tej procedury nie daje jego wartości ogólnie znów zerowej, tylko ogólnie niezerową, a z naszych rozważań powinna dawać nadal wartość zerową, a po pierwsze funkcja transformacji jest funkcją uogólnioną, a po drugie równania fizyczne zostały pierwotnie przyszykowane dla układów płaskich ogólnie nieprostokątnych, a nie zakrzywionych, a więc równania mechaniki Einsteina i Newtona z tensorem metrycznym Minkowskiego (macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej) opisują układ słabozakrzywiony w sposób przybliżony, a nie dokładny, a mechanika Einsteina i Newtona są teoriami tylko przybliżonymi, bo zakłada się, że szczególna teoria względności jest zgodna w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a wiadomo, że układy płaskie globalnie (lokalnie) nie istnieją fizycznie (istnieją tylko matematycznie) w szczególnej teorii względności, a układy według transformacji symboli Christoffer'a z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego (21.24) istnieją fizycznie. Gdyby czasoprzestrzeń była globalnie (lokalnie) płaska fizycznie, to cała szczególna teoria względności byłaby w sobie sprzeczna fizycznie, bo według transformacji symboli Christoffer'a cała czasoprzestrzeń byłaby wtedy, nie lokalnie, tylko globalnie płaska. Co kończy dowód tej procedury.

Szczególne przypadki zastosowań procedury uniezerowacyjnej

Dla układów globalnie (lokalnie) płaskich z przejściem do układów słabozakrzywionych możemy napisać w (21.26), w której zastosujemy tą procedurę dla konwencji einsteinowskiej i newtonowskiej kolejno:

${T^{\mu }}_{,\nu }={T_{x^{\gamma }}^{\mu }}_{,\nu }+{T_{u^{\gamma }}^{\mu }}_{,\gamma }{u^{\gamma }}_{,\nu }\Rightarrow {T^{\mu }}_{;\nu }={T_{x^{\gamma }}^{\mu }}_{;\nu }+{T_{u^{\gamma }}^{\mu }}_{;\alpha }{u^{\alpha }}_{;\nu }\;$

(21.26)

${T^{i}}_{,j}={T_{x^{k}}^{i}}_{,j}+{T_{u^{k}}^{i}}_{,l}{u^{l}}_{,j}\Rightarrow {T^{i}}_{;j}={T_{x^{k}}^{i}}_{;j}+{T_{u^{k}}^{i}}_{;l}{u^{l}}_{;j}\;$

(21.27)

Jeżeli stosujemy tą procedurę dla tensora prędkości, to też stosujemy dla innych wielkości tensorowych, tzn. przestrzeń słabozakrzywioną, jeżeli uznajemy za płaską ogólnie nieprostokątną dla tensora prędkości, to też dla innych wielkości tensorowych, stąd to stosujemy dla równości ostatniej (21.26), by otrzymać jego pierwotną postać dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, by otrzymać pierwsze równanie w (21.26).

Weźmy równanie ruchu ciała w mechanice Einsteina w polu elektromagnetycznym, pisząc wzór na tensor siły pochodzącej od oddziaływania elektromagnetycznego według (EK-26.61), łącząc go ze wzorem tensorowym drugiej zasady dynamiki Einsteina (22.16), a to wszystko stosujemy w układach słabozakrzywionych, dalej stosując tą procedurę dla konwencji einsteonowskiej stosując równania Einsteina:

$m_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }u^{\nu }=K^{\mu }=-qF^{\mu \nu }u_{\nu }=-qF^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow m_{0}c{u^{\mu }}_{,\nu }u^{\nu }=K^{\mu }=-qF^{\mu \nu }u_{\nu }=-qF^{\mu \alpha }\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\;$

(21.28)

A dalej stosując tą procedurę dla konwencji Newtonowskiej, stosując równania Newtona:

$m_{0}{v^{i}}_{;j}v^{j}=F^{i}\Rightarrow m_{0}{v^{i}}_{,j}v^{j}=F^{i}\Rightarrow m_{0}{{dv^{i}} \over {dt}}=F^{i}\;$

(21.29)

Wiedząc jakie jest równanie geodezyjne szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona) według (21.15) ((21.15)) i wzór na tensor (wektor) siły (22.16) ((22.17)), dochodzimy do wniosku, że prawa i lewa strona równości (21.28) są równe zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, a po przejściu do układu słabozakrzywionego są sobie nierówne (bo funkcje transformacji są funkcjami uogólnionymi), a układy słabozakrzywione uważamy za płaskie ogólnie nieprostokątne, co potem stosujemy tą procedurę w układach słabozakrzywionych, dalej obie strony zaczynają być sobie równe.

Długość wektora, wartość iloczynu skalarnego i różniczka interwału czasoprzestrzennego przed i po zastosowaniu procedury uniezerowacyjnej

Przed zastosowaniem tej procedury długość danego wektora, wartość danego iloczynu skalarnego i dana różniczka interwału czasoprzestrzennego, w różnych układach słabozakrzywionych i w układach globalnie (lokalnie) płaskich, są takie same na podstawie (10.9) (długość wektora), (10.8) (iloczyn skalarny) i (16.10) (różniczka interwału czasoprzestrzennego), ale różne po zastosowaniu tej procedury, bo wtedy zmienia się $g_{\mu \nu }\;$ układu słabozakrzywionego na $\eta _{\mu \nu }\;$ (tensor Minkowkiego) układu płaskiego podczas stosowania tej procedury.

Dowód drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina z równania geodezyjnego - wersji tensorowej i wektorowej

Na podstawie (21.15) (postać einsteinowska) i (21.16) (postać newtonowska) dowodu na wzór na wielkość wskaźnikową siły wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona i Einsteina na podstawie, że wzór na siłę ma taką samą postać dla wszystkich prędkości, są kolejno (21.30) i (21.31):

$K^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(21.30)

$F^{k}={{dp^{k}} \over {dt}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(21.31)

Jak się przekonamy według (22.14) i (22.15), że wzory na wielkość wskaźnikową siły kolejno w (21.30) i (21.31) są w przybliżeniu tensorami, a nie dokładnie, kolejno w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej.