Szczególna teoria względności/Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski

Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Dalsze rozważania dotyczące lagrangianu (gęstości lagrangianu) układów punktowych i rozciągłych dla mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Ogólny lagrangian szczególnej teorii względności dla układów punktowych

W lagrangianie (30.1) (szczególna teoria względności) dla układów punktowych rozpiszmy według:

$f({\vec {r}},{\vec {v}},t)=f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(32.1)

Wtedy równość na ten lagrangian ogólnie według rozpisu (32.1) przedstawia się w formie:

$L=L_{k}+f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(32.2)

• $L_{k}\;$ to jest człon kinematyczny lagrangianu szczególnej teorii względności.

Wstawmy jedynkę do sumy w (32.2) do pierwszego składnika sumy (32.1) przedstawianą według równania (20.11), wtedy ten lagrangian przyjmuje równoważną inną formę:

$L=L_{k}+f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu }+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(32.3)

Ale funkcja $f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$ jest równa z symetrii stałej, bo zachodzi (15.26), podobnie zachodzi z funkcją $f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, a także z $f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, stąd składniki w (32.1) i cała jego suma są równe stałym. Wtedy równanie Eurela-Lagrange'a (29.6) przedstawia się w formie po wykorzystaniu (32.3) i (32.2), wtedy:

${{d\left(2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }\right)} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(32.4)

Równanie Eurela-Lagrange'a dla (32.2) przyjmuje postać (29.6), wtedy równość (32.4) przedstawia się w formie po rachunku całkowym:

$2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\operatorname {const} \Rightarrow f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)=\operatorname {const} \;$

(32.5)

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (32.2) i (32.3) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Zróbmy operacje różniczkowania w równaniu różniczkowym (32.4), co:

$2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\eta _{\mu \nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}+2{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }{{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(32.6)

Ale w szczególnej teori względności dla układów punktowych mamy (30.9), co na tej podstawie równość po przekształceniu i przenoszeniu wyrazów przyjmuje postać:

${{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}=-{{1} \over {2{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }}}\left({{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}\right)=C\;$

(32.7)

Ale prawa i lewe strona zależą od różnych wyrazów, i one są o dowolnej wartości, a więc te strony są równe stałej, ale obierzmy taki układ, w którym ${{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}=0\;$, stąd ta stała $C\;$ jest równa zero, stąd równość (29.6) jest spełniona, stąd jeśli lagrangian (32.2) jest niefizyczny, ale matematyczny, to również lagrangian lagrangian (32.3) jest niefizyczny, ale matematyczny, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Lagrangian (32.2) dla układów punktowych jest fizyczny w układach słabozakrzywionych.

Ogólna gęstość lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych

Rozważania dla gęstości lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (32.1).

Ogólny lagrangian mechaniki Newtona dla układów punktowych

Rozważania dla lagrangianu mechaniki Newtona dla układów punktowych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (32.1).

Ogólna gęstość lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych

Rozważania dla gęstości lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (32.1).

Tensory prędkości w szczególnej teorii względności i wektory prędkości w mechanice Newtona, cząstek kolejno w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej

Szczególna teoria względności

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynnikiem, tzn. (20.11), wiedząc, że: $c^{\mu }=\operatorname {const} \;$, wtedy mamy:

$L^{'}=L+\alpha \left[1-\left(u^{\mu }-c_{\mu }\right)g_{\mu \nu }\left(u^{\nu }-c^{\nu }\right)\right]\;$

(32.8)

Lagrangiany: $L^{'}\;$ i $L\;$, mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (29.7) przyjmuje postać:

$0={{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial L} \over {\partial {g_{\mu \nu ,\gamma }}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu }}}+\alpha \left(u^{\mu }-c^{\mu }\right)\left(u^{\nu }-c^{\nu }\right)\;$

(32.9)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (29.7), wtedy (32.9) przyjmuje postać:

$\alpha \left(u^{\mu }-c^{\mu }\right)\left(u^{\nu }-c^{\nu }\right)=0\Rightarrow u^{\mu }=c^{\mu }=\operatorname {const} ^{\mu }\;$

(32.10)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (32.8) występuje zamiast lagrangianu $L\;$ gęstość lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$. Czyli względna prędkość ciała w układzie globalnie płaskim jest zero względem innego ciała odniesienia o tej prędkości, bo w tym układzie globalnie ciała poruszają się z tą samą prędkością. A przypadku lokalnej prędkości lokalnie porusza się ciało ze stałą prędkością.

Mechanika Newtona

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynnikiem, tzn. (30.2), wiedząc, że: $C^{i}=\operatorname {const} \;$ i $c^{0}=\operatorname {const} \;$, wtedy mamy:

$L^{'}=L+\alpha \left[1-\left(U^{i}-C^{i}\right)g_{ij}\left(U^{j}-C^{j}\right)\right]+\beta [1-\left(u^{0}-c^{0}\right)g_{00}\left(u^{0}-c^{0}\right)]+\gamma [0-\left(u^{i}-c^{i}\right)g_{i0}\left(u^{0}-c^{0}\right)]+\;$
$+\omega [0-\left(u^{0}-c^{0}\right)g_{0i}\left(u^{i}-c^{i}\right)]\;$

(32.11)

Lagrangiany: $L^{'}\;$ i $L\;$, mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (29.9) przyjmuje postać:

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{ij,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{ij}}}+\alpha \left(U^{i}-C^{i}\right)\left(U^{j}-C^{j}\right)\;$

(32.12)

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{00,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{00}}}+\beta \left(u^{0}-c^{0}\right)\left(u^{0}-c^{0}\right)\;$

(32.13)

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{i0,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{i0}}}+\gamma \left(u^{i}-c^{i}\right)\left(u^{0}-c^{0}\right)\;$

(32.14)

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{0i,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{0i}}}+\omega \left(u^{0}-c^{0}\right)\left(u^{i}-c^{i}\right)\;$

(32.15)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (29.9), wtedy (32.12) i (32.13) przyjmują postać:

$\alpha \left(U^{i}-C^{i}\right)\left(U^{j}-C^{j}\right)=0\Rightarrow U^{i}=C^{i}\Rightarrow u^{i}=U^{i}u=c^{i}=\operatorname {const} ^{i}\wedge u={{dl} \over {ds}}\;$

(32.16)

$\beta \left(u^{0}-c^{0}\right)\left(u^{0}-c^{0}\right)=0\Rightarrow u^{0}=c^{0}=\operatorname {const} ^{0}\;$

(32.17)

$\gamma \left(u^{i}-c^{i}\right)\left(u^{0}-c^{0}\right)=0\Rightarrow u^{\mu }=c^{\mu }=\operatorname {const} ^{\mu }\;$

(32.18)

$\omega \left(u^{0}-c^{0}\right)\left(u^{i}-c^{i}\right)=0\Rightarrow u^{\mu }=c^{\mu }=\operatorname {const} ^{\mu }\;$

(32.19)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (32.11) występuje zamiast lagrangianu $L\;$ gęstość lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$. Czyli względna prędkość ciała w układzie globalnie płaskim jest zero względem innego ciała odniesienia o tej prędkości, bo w tym układzie globalnie ciała poruszają się z tą samą prędkością. A przypadku lokalnej prędkości lokalnie porusza się ciało ze stałą prędkością.

Dyskusja (dlaczego prawa fizyki są ściśle spełnione, a matematyka sprzeczna kontra niesprzeczna)

Na podstawie (32.10) dla szczególnej teorii względności i (32.19) dla mechaniki Newtona dowiadujemy się, że w matematyce niesprzecznej tensory prędkości $u^{\mu }$ są wielkościami stałymi, i również zachodzi (33.5), a przecież to nie prawda w przyrodzie, a jeżeli zastosujemy twierdzenie (Twier. 33.1), to jedynka wynikająca z definicji długości w czasoprzestrzeni (szczególna teoria względności) i przestrzenie zwykłej (mechanika Newtona) już według tego twierdzenia nie zachodzi z definicji tego twierdzenia, a więc do lagrangianu (przypadek dyskretny) i gęstości langrangianu (przypadek ciągły) nie ma sensu tam dodawać żadnych jedynek i zer w takim przypadku, stąd cała przyroda spełnia matematyka sprzeczna, a nie niesprzeczna, a więc teoria najmniejszego działania i stąd wynikające równanie Eulera-Lagrange'a jest ściśle sprzecznie spełniona. W fizyce i matematycznej, niesprzecznej, błędy od niesprzeczności w stronę sprzeczności są bardzo małe, czyli nasza dotychczasowa wiedza z matematyki i fizyki jest w przybliżeniu spełniona.