Szczególna teoria względności/Układy inercjalne i nieinercjalne

Szczególna teoria względności

Układy inercjalne i nieinercjalne

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Postulaty szczególnej teorii względności i rodzaje układów 2Podstawy teorii względności 3Przypomnienie o operatorach rzutowych 4Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji 5Wydłużenie podłużne a poprzeczne 6Układy inercjalne i nieinercjalne 7Transformacje prędkości - początek rozważań 8Transformacje różniczek czasu i położenia 9Transformacje prędkości - równania końcowe 10Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne 11Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione 12Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia 13Równoważności macierzy transformacji 14Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych 15Przechodniość macierzy transformacji 16Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła 17Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona 18Własności czasoprzestrzeni 19Trzy zasady dynamiki Einsteina 20Tensory w czasoprzestrzeni 21Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona 22Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona 23Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił 24Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego 25Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona 26Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości 27Pierwsza i druga zasada Lagrange'a 28Teoria funkcji lagrangianu 29Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie 30Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności 31Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona 32Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski 33Anormalne układy, tylko matematyczne, a nie fizyczne 34Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu 35Niezmienniczość ciśnienia od układu odniesienia 36Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu 37Lokalna zasada zachowania tensora pędu 38Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu 39Dyskretne i ciągłe równanie ruchu 40Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu 41Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu 42Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu 43Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona 44Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu

Spis treści
1Istnienie układów inercjalnych 2Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia

Następny rozdział: Transformacje prędkości - początek rozważań. Poprzedni rozdział: Wydłużenie podłużne a poprzeczne.

Podręcznik: Szczególna teoria względności.

Będziemy tutaj udowadniać, czy dowolne układy odniesienia (w szczególności inercjalne) istnieją choćby matematycznie, nad ich postacią transformacyjną z jednego układu odniesienia do drugiego.

Istnienie układów inercjalnych

Przyjmijmy, że $M\;$ jest stałe, co wykażemy, że on determinuje jej inercjalność. Jeśli we wzorze (2.11) przyjmiemy, że:

{\vec {R}}_{p0}=-M_{p}\left({\vec {X}}_{p0}-{\vec {V}}t_{0}\right)\;

(6.1)

wtedy dostaniemy wniosek na ruch ciała odniesienia w starym układzie odniesienia:

{\vec {X}}_{u}^{'}=M_{p}{\vec {X}}_{pu}-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}ct-M_{p}\left({\vec {X}}_{p0}-{\vec {V}}t_{0}\right)\Rightarrow {\vec {X}}_{u}^{'}=M_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)-{\vec {X}}_{p0}\right)\wedge {\vec {X}}_{u}^{'}=0\Rightarrow \;

\Rightarrow 0=M_{p}({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)-{\vec {X}}_{p0})\Rightarrow {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)+{\vec {X}}_{p0}\;

(6.2)

gdzie ${\vec {X}}_{u}^{'}\;$ to jest położenie ciała poruszającego się w nowym układzie odniesienia, a w szczególnym przypadku jest to ciało odniesienia lub ciało poruszające się w tym układzie z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak on.

Zatem nowy układ odniesienia porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia

Transformacje (2.1) rozszerzamy do układów nieinercjalnych, wtedy jest spełnione twierdzenie (2.2), którego przecałkujmy obie strony względem wielkości wektorów pionowych położenia w starym i nowym układzie odniesienia otrzymując:

\Delta {\vec {X}}^{'}=\int _{{\vec {X}}_{0}}^{\vec {X}}{{\partial {\vec {f}}({\vec {X}})} \over {\partial {\vec {X}}}}d{\vec {X}}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\int _{{\vec {X}}_{0}}^{\vec {X}}d{\vec {X}}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\left({\vec {X}}-{\vec {X}}_{0}\right)\Rightarrow \Delta {\vec {X}}^{'}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\Delta {\vec {X}}\;

(6.3)

Przyjmijmy, że macierz transformacji wektora $\Delta {\vec {X}}\;$ na wektor $\Delta {\vec {X}}^{'}$ przedstawia się formie:

{{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}=M\;

(6.4)

A we wzorze (6.3) wektor $\xi \;$ leży na drodze pomiędzy ${\vec {X}}\;$ i ${\vec {X}}_{0}\;$ poruszania się ciała. Wzór (6.3) na podstawie (6.4) możemy przepisać w podobnej postaci do (2.12):

\Delta {\vec {X}}^{'}=M\Delta {\vec {X}}\;

(6.5)

zatem są spełnione transformacje (2.5), (2.6), (2.7), (2.8),..., (2.9), a tam wielkości ${\vec {X}}_{0}^{'}\;$ (z $\Delta {\vec {X}}^{'}={\vec {X}}^{'}-{\vec {X}}_{0}^{'}\;$ ) i ${\vec {X}}_{0}\;$ (z $\Delta {\vec {X}}={\vec {X}}-{\vec {X}}_{0}\;$ ) można włożyć do stałej macierzowej jednowskaźnikowej pionowej, a tam elementy ${m^{\mu }}_{\nu }\;$ są elementami macierzy $M\;$ , czyli chcemy ułożyć transformację (2.10) (drugi wzór) lub (2.12) (też drugi wzór), ale tam wtedy macierz $M\;$ jest macierzą transformacji ogólnie niestałą, a udowodniliśmy też tam, że jednak jest stałą, stąd układy nieinercjalne płaskie nie istnieją, ale za to istnieją układy nieinercjalne słabozakrzywione.