Szczególna teoria względności/Układy inercjalne i nieinercjalne

Układy inercjalne i nieinercjalne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Istnienie układów inercjalnych 2Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia

Będziemy tutaj udowadniać, czy dowolne układy odniesienia (w szczególności inercjalne) istnieją choćby matematycznie, nad ich postacią transformacyjną z jednego układu odniesienia do drugiego.

Istnienie układów inercjalnych

Przyjmijmy, że $M\;$ jest stałe, co wykażemy, że on determinuje jej inercjalność. Jeśli we wzorze (2.11) przyjmiemy, że:

${\vec {R}}_{p0}=-M_{p}\left({\vec {X}}_{p0}-{\vec {V}}t_{0}\right)\;$

(6.1)

wtedy dostaniemy wniosek na ruch ciała odniesienia w starym układzie odniesienia:

${\vec {X}}_{u}^{'}=M_{p}{\vec {X}}_{pu}-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}ct-M_{p}\left({\vec {X}}_{p0}-{\vec {V}}t_{0}\right)\Rightarrow {\vec {X}}_{u}^{'}=M_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)-{\vec {X}}_{p0}\right)\wedge {\vec {X}}_{u}^{'}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=M_{p}({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)-{\vec {X}}_{p0})\Rightarrow {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}\left(t-t_{0}\right)+{\vec {X}}_{p0}\;$

(6.2)

• gdzie ${\vec {X}}_{u}^{'}\;$ to jest położenie ciała poruszającego się w nowym układzie odniesienia, a w szczególnym przypadku jest to ciało odniesienia lub ciało poruszające się w tym układzie z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak on.

Zatem nowy układ odniesienia porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia

Transformacje (2.1) rozszerzamy do układów nieinercjalnych, wtedy jest spełnione twierdzenie (2.2), którego przecałkujmy obie strony względem wielkości wektorów pionowych położenia w starym i nowym układzie odniesienia otrzymując:

$\Delta {\vec {X}}^{'}=\int _{{\vec {X}}_{0}}^{\vec {X}}{{\partial {\vec {f}}({\vec {X}})} \over {\partial {\vec {X}}}}d{\vec {X}}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\int _{{\vec {X}}_{0}}^{\vec {X}}d{\vec {X}}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\left({\vec {X}}-{\vec {X}}_{0}\right)\Rightarrow \Delta {\vec {X}}^{'}={{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}\Delta {\vec {X}}\;$

(6.3)

Przyjmijmy, że macierz transformacji wektora $\Delta {\vec {X}}\;$ na wektor $\Delta {\vec {X}}^{'}$ przedstawia się formie:

${{\partial {\vec {f}}\left({\vec {\xi }}\right)} \over {\partial {\vec {X}}}}=M\;$

(6.4)

A we wzorze (6.3) wektor $\xi \;$ leży na drodze pomiędzy ${\vec {X}}\;$ i ${\vec {X}}_{0}\;$ poruszania się ciała. Wzór (6.3) na podstawie (6.4) możemy przepisać w podobnej postaci do (2.12):

$\Delta {\vec {X}}^{'}=M\Delta {\vec {X}}\;$

(6.5)

zatem są spełnione transformacje (2.5), (2.6), (2.7), (2.8),..., (2.9), a tam wielkości ${\vec {X}}_{0}^{'}\;$ (z $\Delta {\vec {X}}^{'}={\vec {X}}^{'}-{\vec {X}}_{0}^{'}\;$) i ${\vec {X}}_{0}\;$ (z $\Delta {\vec {X}}={\vec {X}}-{\vec {X}}_{0}\;$) można włożyć do stałej macierzowej jednowskaźnikowej pionowej, a tam elementy ${m^{\mu }}_{\nu }\;$ są elementami macierzy $M\;$, czyli chcemy ułożyć transformację (2.10) (drugi wzór) lub (2.12) (też drugi wzór), ale tam wtedy macierz $M\;$ jest macierzą transformacji ogólnie niestałą, a udowodniliśmy też tam, że jednak jest stałą, stąd układy nieinercjalne płaskie nie istnieją, ale za to istnieją układy nieinercjalne słabozakrzywione.