Szczególna teoria względności/Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj rozważali, czy poszczególne wielkości są tensorami, czy tylko wektorami, w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej prędkości w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiejEdytuj

Wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem z definicji różniczki zupełnej dla postaci einsteinowskiej (22.1) i nie jest tensorem w postaci newtonowskiej według (22.2):

(22.1)
(22.2)

Według (22.1) wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor prędkości, ale dla przestrzeni zwykłej, według (22.2) nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy jest równe zero. Transformacja tensorowa (22.1) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie (10.3) i jego definicji (22.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (22.2) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (22.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej pędu w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiejEdytuj

Ale mamy z definicji tensora pędu jako tensora i jego transformacji z jednego układu współrzędnych do innego na podstawie tensorowości wielkości wskaźnikowej prędkości (22.1) (postać insteinowska) i (22.2) (postać newtonowska) mamy kolejno (22.3) i (22.4):


(22.3)

(22.4)

Według (22.3) wielkość wskaźnikowa pędu jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor pędu, ale dla przestrzeni zwykłej, według (22.4) nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy jest równe zero. Transformacja tensorowa (22.3) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie tożsamości dla układów słabozakrzywionych (10.3) i jego definicji (22.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (22.4) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (22.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej siły w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskichEdytuj

Będziemy badali tutaj układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie ogólnie nieprostokątne oraz słabozakrzywione i płaskie, ale krzywoliniowe.

Układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i globalnie (lokalnie) płaskie ogólnie nieprostokątneEdytuj

Korzystając ze wzoru (21.30) (postać einsteinowska) i (21.31) (postać newtonowska) na definicję odpowiednio tensora i wektora siły oraz wzorów na transformację tensora i wektora pędu kolejno (22.3) i (22.4), a także z niezmienniczości różniczki kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego wiedząc, że zachodzi globalna (lokalna) stałość wektora prędkości nowego układu odniesienia względem starego, tzn.: (21.8), co wtedy kolejno (22.5) i (22.6) przedstawiają się:


(22.5)

(22.6)

Do wyprowadzeń w punkcie (22.6) stosowaliśmy (21.8), tzn. prędkość układu odniesienia względem innego jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich pochodna zupełna macierzy transformacji z jednego układu odniesienia do drugiego względem kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego oraz cząstkowa względem wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej i czasu są równe zero w sposób przybliżony w układach słabozakrzywionych, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) dokładnie, tzn. dla postaci einsteinowskiej (22.7) i (22.8) oraz newtonowskiej (22.9), (22.10) i (22.11):

(22.7)
(22.8)
(22.9)
(22.10)
(22.11)

Wzory (22.7) i (22.8) w postaci einsteinowskiej oraz (22.9), (22.10) i (22.11) w postaci newtonowskiej w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości są dokładnie równe zero. Udowodnijmy wzory na pochodną cząstkową macierzy transformacji względem tensora położenia (22.8) (postać einsteinowska) i (22.10) (postać newtonowska) na podstawie pochodnej zupełnej macierzy transformacji względem kolejno interwału czasoprzestrzennego (22.7) i czasu absolutnego (22.9):

(22.12)
(22.13)

Ale ponieważ w układach słabozakrzywionych (22.7) (postać einsteinowska) i (22.9) (postać newtonowska) zachodzą w dowolnym kierunku dla dowolnego tensora (wektora) prędkości, stąd spełnione są kolejno wzory (22.8) oraz (22.10) i (22.11) na podstawie dowodów dla nich kolejno (22.12) i (22.13). Oczywiste jest, że kolejno z przedstawień (22.8) oraz (22.10) i (22.11) wynikają kolejno z nich (22.7) i (22.9) na podstawie formuł kolejno (22.12) i (22.13).

Weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski, w którym mamy wielkość wskaźnikową będącą tam tensorem , a ponieważ zachodzą związki dla mechaniki Einsteina (22.8) oraz Newtona (22.10) i (22.11), zatem możemy powiedzieć, że po transformacji otrzymujemy dwa wzory ze sobą równoważne, pierwszy z wykorzystaniem związków układu słabozakrzywionego, a drugi z wykorzystaniem własności tensorowych, ale , co stąd z definicji pochodnej tensorowej wynika, że symbole Christoffela w takich układach są w przybliżeniu równe zero , czyli układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie.

  • Tensor siły (pierwsza równość) w (21.30) według równania geodezyjnego (21.15) (notacja einsteinowska) i na podstawie wniosku, wynikającego z (22.8) (mechanika Einsteina) lub (22.10) i (22.11) (mechanika Newtona), dotyczącego, jakie wartości przyjmują symbole Christoffela, mechanika Einsteina i Newtona są niespełnione dla bardzo dużych sił, bo symbole Christoffela są małe.

Co na podstawie kolejno zapisów (22.7) i (22.9) wzory na transformację wielkości wskaźnikowej siły coś w rodzaju wielkości tensorowych kolejno (22.5) i (22.6) przybierają postać:

(22.14)
(22.15)

Stąd wielkości wskaźnikowe siły coś w rodzaju wielkości tensorowych na podstawie przybliżonych transformacji (22.14) (postać einsteinowska) i (22.15) (postać newtonowska) są w przybliżeniu tensorami w układach słabozakrzywionych i dokładnie w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Widzimy, że jeśli nie są spełnione (22.7) i (22.9) to już nie są spełnione kolejno wzory (22.14) i (22.15) to wielkości (21.30) i (21.31) nie są tensorami nawet w przybliżeniu, co jest spełnione dla układów zakrzywionych w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej, ale nie globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywiownych. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich na podstawie co najwyżej przybliżonej tensorowości w postaci einsteinowskiej (22.14) i newtonowskiej (22.15) prawa fizyki są ogólnie spełnione.

Układy słabozakrzywione jako przestrzenie opisywane przez mechanikę Einsteina i NewtonaEdytuj

Weźmy w szczególnej teorii względności wzór na tensor siły i w mechanice Newtona wzór wektor siły i napiszemy je w postaci tensorowej:


(22.16)

(22.17)

Napiszmy równania transformacyjne równań ruchu kolejno (22.16) i (22.17) wiedząc, że w tym pierwszym tensor prędkości jest tensorem, a w tym drugim wielkość wskaźnikowa prędkości jest też tensorem:

(22.18)
(22.19)

W układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i we układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tensory siły w szczególnej teorii względności na podstawie (22.18) i wielkości wskaźnikowa siły w mechanice Newtona na podstawie (22.19) są w przybliżeniu tensorami, tzn. transformują się jak tensory. We wzorach (22.16) i (22.17) już nie zachodzi ogólnie i według równości na linie geodezyjne na podstawie (21.15) (pierwszy wzór), bo postępujemy według (Proc. 21.1).

  • Prawą część wzorów[Patrz: 22.1] w (22.18) i (22.19) nazywamy częścią kinematyczną, a lewą dynamiczną.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej położenia w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiejEdytuj

Udowodnijmy, że różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni według postaci einsteinowskiej jest tensorem w sposób przybliżony, a różniczka dokładnie, na podstawie tego, że tensor prędkości jest dokładnie tensorem (22.1), a różnica wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej według postaci newtonowskiej nie jest tensorem nawet w posób przybliżony, a jego różniczka też, na podstawie (22.2), co to wszystko kolejno o tym powiemy w przypadku o postaci einsteinowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym jest równa:

(22.20)

lub w przypadku o postaci newtonowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym układem jest równa:


(22.21)

Widzimy, że wzór (22.20) dla opisu ruchu w czasoprzestrzeni przyjmując, że , zgadza się dla dowolnych układów odniesienia zakrzywionych, słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich ze wzorem (6.5). Jeśli zachodzi (22.20) (postać einsteinowska) i (22.21) (postać newtonowska), wtedy różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest w przybliżeniu tensorem, gdy macierz transformacji kolejno praktycznie się nie zmienia na drodze od do , a nie jest tensorem dla przestrzeni zwykłej, nawet gdy macierz transformacji praktycznie się nie zmienia na drodze od do i od do , ale gdy kolejno , to wtedy różniczka wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest tensorem w postaci (22.22), a gdy i to według (22.23) różniczka położenia nie jest tensorem w przestrzeni zwykłej:

(22.22)
(22.23)

Ze wzorów (22.22) i (22.23) kolejno wynikają wzory (22.20) i (22.21). Wzory (22.22) i (22.23) kolejno wynikają też bezpośrednio ze wzorów (22.1) i (22.2). Wzory (22.20) i (22.22) oraz (22.21) i (22.23) są też spełnione dla układów zakrzywionych kolejno dla czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej. Transformacja tensorowa (22.22) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie (10.3) i jego definicji (22.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (22.23) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (22.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wyrażenia wskaźnikowego: dxs-Vsdt, vs-Vs i ps-m0Vs, w postaci newtonowskiejEdytuj

Rozpatrzmy postać Newtonowską, wtedy z układu do oraz z układu do transformacje piszemy w postaci:

(22.24)
(22.25)
  • gdzie jest współrzędną prędkości układu względem układu , a jest współrzędną prędkości układu względem układu .

Łącząc wzory (22.24) i (22.25) stronami, mamy:


(22.26)

A więc wzór (22.26) zapiszmy w postaci lepszej właściwej z nadkreśleniami w układzie i pisząc macierz transformacji też z nadkreśleniem, stąd:

(22.27)

Na podstawie (22.27) wielkość różniczkowa transformuje się jak tensor i jest tensorem w postaci newtonowskiej. Gdy układy, tzn.: (wtedy ), to transformacja tensorowa (22.27) przechodzi w (22.23). Na podstawie (22.27), która jest dla postaci newtonowskiej, różnica jest tensorem też w postaci newtonowskiej, to otrzymujemy dzieląc obustronnie ten wzór przez różniczkę czasu absolutnego , czyli:

(22.28)

Wzór (22.28) przechodzi w (22.2), gdy zachodzi (wtedy ). Na podstawie (22.28) możemy napisać pewne prawo transformacji w postaci newtonowskiej:

(22.29)

Wielkość jest tensorem w postaci newtonowskiej. Wzór (22.29) przechodzi w (22.4), gdy zachodzi (wtedy ). Wzory transformacyjne wielkości wskaźnikowych w (22.27), (22.28) i (22.29) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (22.9) (postać newtonowska) też zachodzą w układach słabozakrzywionych.