Szczególna teoria względności/Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Pochodne ciśnienia względem wielkości wskaźnikowej położenia xμ, a różniczka ciśnienia 2Gęstość spoczynkowa wielkości zachowanej (np. ładunek elektryczny, masa, koncentracja, itp. spełniające lokalne prawa zachowania), jej pochodna zupełna względem interwału czasoprzestrzennego, pochodne cząstkowe względem wielkości wskaźnikowej położenia i różniczka zupełna

Będziemy się zajmowali tutaj układami globalnie (lokalnie) płaskimi o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, i powiemy, że w tych układach wielkość ciśnienia jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą. Także też mamy, że dowolna wielkość jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą, nie tylko względem czasu, ale też względem współrzędnych przestrzennych ze względu na specyfikę tych układów współrzędnych.

Pochodne ciśnienia względem wielkości wskaźnikowej położenia x^μ, a różniczka ciśnienia

A także zachodzi ogólny wniosek dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wiedząc, że w nim:

$dp=0\wedge p_{,0}=p_{,i}=0\Rightarrow p_{,\mu }=0\;$

(26.1)

który wynika z tego, że globalnie (lokalnie) w tym wspomnianym układzie tensory (wektory) prędkości są stałe globalnie (lokalnie), więc globalnie (lokalnie) nie ma zderzeń w nim, więc zachodzi (26.1) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona (patrz: (15.26)). Oczywiste jest, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości mamy: $dp=0\;$, a w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) zachodzi ogólnie: $dp\neq 0\;$, bo jak udowodnimy później wszechświat w układach globalnie płaskich jest punktem (Patrz: 33.1) i dlatego zachodzi to pierwsze, a w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) wszechświat nie jest punktem, tylko ma rozmiary skończone, a więc zachodzi to drugie, a według transformacji ciśnienia: ${\overline {p}}=p\;$ (według dalszych rozważań), ciśnienie dla poszczególnych części tego punktowego wszechświata w układach płaskich jest takie same w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych), stąd na tej podstawie zachodzi: (26.1), i wynika dalsze rozważanie:

$0=dp=p_{,0}dx^{0}+p_{,i}dx^{i}\Rightarrow p_{,0}={{\partial p} \over {\partial x^{0}}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{dx^{i}} \over {dx^{0}}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{dx^{i}} \over {cdt}}=-{{p_{,i}v^{i}} \over {c}}=\left(-\nabla p,{{\vec {v}} \over {c}}\right)\Rightarrow p_{,0}=\left(-\nabla p,{{\vec {v}} \over {c}}\right)\;$

(26.2)

To co uzyskaliśmy w punkcie (26.1) tak zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, a w układach zakrzywionych, w tym słabozakrzywionych, już tak nie musi zachodzić, bo macierz transformacji może być ogólnie funkcją uogólnioną, a te zera, które we wszechświecie, w układach globalnie płaskich, który jest punktem, są nieoznacznościami matematycznymi, bo następuje dzielenie zera przez zero i wychodzi z tego zero, a one w wspomnianym punkcie: (26.1), są częściami zmiennych pochodzącym od ciśnienia tensora siły, a więc pochodne ciśnienia względem wielkości wskaźnikowej położenia $x^{\mu }\;$ w układzie zakrzywionym po transformacji od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości są w ogólności nierówne zero.

Gęstość spoczynkowa wielkości zachowanej (np. ładunek elektryczny, masa, koncentracja, itp. spełniające lokalne prawa zachowania), jej pochodna zupełna względem interwału czasoprzestrzennego, pochodne cząstkowe względem wielkości wskaźnikowej położenia i różniczka zupełna

Pochodna gęstości spoczynkowej wielkości zachowanej, tzn. np.: masy, czy ładunku elektrycznego, koncentracji, itp. spełniające lokalne prawa zachowania według szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanych kolejno w (16.6) i (16.12) pisząc względem zmiennych w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym, wielkości zachowane oznaczmy ogólnie przez $\phi _{0}\;$, gdzie przez to oznaczamy gęstość spoczynkową masy $\rho _{0m}\;$, gęstość spoczynkowa ładunku $\rho _{0q}\;$, koncentrację spoczynkową $n_{0}\;$, co z innymi wielkościami zachowanymi jest podobnie:

${{d} \over {ds}}\phi _{0}={{\partial \phi _{0}} \over {\partial {x}^{\alpha }}}{\dot {x}}^{\alpha }+{{\partial \phi _{0}} \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}{\ddot {x}}^{\alpha }={{\partial \phi _{0}} \over {\partial {x}^{0}}}{\dot {x}}^{0}=0\Rightarrow {{d} \over {ds}}\phi _{0}=0\;$

(26.3)

To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, w której panuje mechanika Newtona i zachodzi w niej na podstawie właściwości tego układu: ${\dot {x}}^{i}=0\;$ i ${\dot {x}}^{0}=1$, ale też z tego samego mamy: ${\ddot {x}}^{\alpha }=0\;$, co też wiadomo też tam, a więc:

${{\partial \phi _{0}} \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\phi _{0}v^{i}=0\Rightarrow {{\partial \phi _{0}} \over {\partial t}}+v^{i}{{\partial \phi _{0}} \over {\partial x^{i}}}+\phi _{0}{{\partial v^{i}} \over {\partial x^{i}}}=0\Rightarrow {{\partial \phi _{0}} \over {\partial t}}=0\Rightarrow {{\partial \phi _{0}} \over {\partial x^{0}}}=0\;$

(26.4)

• gdzie: $x^{0}=ct\;$.

Zatem jest spełniona równość (26.3), która z niezmienniczości interwału czasoprzestrzennego $s\;$ w szczególnej teorii względniości i mechanice Newtona oraz gęstości spoczynkowej $\phi _{0}\;$ jest słuszna w dowolnym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (26.3):

$0={{d\phi _{0}} \over {ds}}ds={{\partial \phi _{0}(x^{\mu },u^{\nu }(x^{\gamma }))} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\alpha }\Rightarrow {{\partial \phi _{0}(x^{\mu },u^{\nu }(x^{\gamma }))} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(26.5)

Czyli gęstość spoczynkowa nie zależy od wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni globalnie (lokalnie). Wnioski (26.3) i (26.5) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor (wektor) prędkości choćby lokalnie, a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\phi _{0}\neq 0\;$ (a nie zawsze (26.3)) i nie jest spełnione (26.5), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną. Na podstawie (26.5) zachodzi ogólnie:

$d\phi _{0}={{\partial \phi _{0}(x^{\mu },u^{\nu }(x^{\gamma }))} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\alpha }=0\Rightarrow d\phi _{0}=0\;$

(26.6)

W ostatnim równaniu (26.6) dowolna różniczka gęstości spoczynkowej na podstawie (26.5) (pochodnej cząstkowej gęstości spoczynkowej względem wielkości wskaźnikowej położenia) jest równa zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.