Szczególna teoria względności/Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji wektorowej z przejściem do tensorowejEdytuj

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy:

(23.1)

Dowód: Udowodnijmy prawo (23.1). Rozwińmy funkcję względem czasu, położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być, dla , w najprostszej postaci, w tym przedstawieniu mamy pewną macierz będącą stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało w układach spoczywających, która jest masą relatywistyczną pomnożoną przez macierz jednostkową, a jest wektorem prędkości ciała, i jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję w różniczkę zupełną z różniczką czasu, wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły ten dodatkowe człony są związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tych członów, a także pochodną wektora względem czasu nazwijmy siłą:

(23.2)

W (21.13) pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi . Napiszmy z definicji wektora siły w (23.2) tensor siły:

(23.3)

Ostatnie przedstawienie prawa na drugą zasadę dynamiki Newtona-Einsteina (23.3) jest w postaci tensorowej. Napiszmy transformację tensorową wektora siły tarcia, wiedząc o niezmienniczości transformacji długości wektorów i transformowalności dowolnych wektorów pomiędzy układami dowolnymi spoczywającymi względem siebie:

(23.4)

A jego tarcie przedstawiamy równaniem:

(23.5)

Zajmijmy się dodatkowym członem w (23.2) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy w postaci wektora siły, zakładając, że wielkość w nim jest dla układów stałą zależną od masy ciała dla klasy układów odniesienia względem siebie spoczywających:


(23.6)

Końcowe równanie (23.6) jest również słuszne z definicji transformacji wektora siły z jednego układu odniesienia do drugiego względem siebie spoczywających. Na podstawie (23.6) wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Widzimy, że wektor siły jest transformowalny w układzie spoczywającym dowolnym. Wzory: (23.6) i (23.5), stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona (23.2), czyli w takiej formie:

(23.7)

Zasada niezależności działania wektorów siłEdytuj

Ale siła jest wielkością wektorową i addytywną, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

  • Ale wiedząc, że jest i-tą prędkością z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a dalej rozważmy na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina, a zatem jest równa masie relatywistycznej rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową, a jest równa , stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w (21.13) w wektorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji wektorowej:

(23.8)

Na podstawie (23.8) siła jest wielkością addytywną i siła zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił.

Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji tensorowej z przejściem do wektorowejEdytuj

Jeżeli na ciało działa tensor siły niezrównoważony, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającego tensora siły i odwrotnie proporcjonalna do masy spoczynkowej tego ciała. Wielkość masy spoczynkowej występujący we wzorze Newtona-Einsteina nazywamy masą bezwładnościową spoczynkową. Tą zasadę formujemy:

(23.9)

Dowód: Udowodnijmy prawo (23.9). Rozwińmy funkcję względem interwału czasoprzestrzennego, tensora położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i interwału czasoprzestrzennego, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina (23.9), wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość jest pewną macierzą , w najprostszej postaci oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą spoczynkową pomnożoną przez macierz jednostkową, i jest tensorem siły, a także postać wzoru na tensor siły nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, dalej rozkładając tensor w różniczkę zupełną z różniczką interwału czasoprzestrzennego, tensora położenia i tensora prędkości, wiedząc, że w definicji tensora siły ten dodatkowy człon jest związany z dodatkowym tensorem siły będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na tensor siły napiszemy bez tych członów, a także pochodną tensora względem interwału czasoprzestrzennego nazwijmy tensorem siły:


(23.10)

W (23.10) drugi wyraz we wzorze na tensor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi . Napiszmy transformacje tensorów siły z jednego układu inercjalnego w drugi:

(23.11)

Na podstawie (23.10) i (23.11) mamy drugie prawo Newtona-Einsteina:

(23.12)

Wzór (23.12) jest spełniony dla wszystkich prędkości. Zatem na podstawie (23.12) jest spełniona druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina. Zajmijmy się wzorem na tarcie od ośrodka, robiąc to samo, co dla tensora oporu, przechodząc z (23.5):

(23.13)
  • gdzie jest to wartość siły nacisku na podłoże liczącego w układach dla prędkości .

Zajmijmy się dodatkowym członem w (23.10) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z definicji wektora siły oporu, przechodząc do postaci tensora siły z definicji tej siły w postaci wektorowej (23.6):

(23.14)

Wzory na tensor tarcia i oporu, od ośrodka, tzn. (23.13) i (23.14), są tensorami, bo w układach dla (mechaniki Newtona) są tensorami, na podstawie prawa niezależności działania tensorów sił dla tych samych prędkości, i transformacji obiektów tensorowych. Na podstawie (23.14) tensor siły odpowiedzialny za tarcie (23.13) i oporu (23.14), od ośrodka wkładamy do równania ruchu:

(23.15)

Jeśli uwzględniać tarcie i opór, od ośrodka, to wzór (23.15) dla spoczywającego ośrodka ruchu ciała dla wszystkich prędkości, nawet tych relatywistycznych, jest spełniony.

Zasada niezależności działania tensorów siłEdytuj

Ale wielkość wskaźnikowa siły jest wielkością tensorową, bo wielkość wskaźnikowa siły jest tensorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak tensor, zatem tensory siły działające na ciało dodają się jak wielkości tensorowe, wtedy dowód tego:

  • Ale wiedząc, że jest i-tym tensorem prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ty tensor sił z tensorów sił działających na to ciało, a zatem powinna być taka sama niezależna od i równa masie spoczynkowej rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych dowolnych tensorów prędkości i wielkości wskaźnikowej położenia, ponieważ gdyby pozostałe tensory sił były by równe zero inne niż i-ty tensor sił, stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w (23.10) w tensorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji tensorowej, to ona spełnia wzór (23.9), wtedy:

(23.16)

Na podstawie (23.16) wielkość wskaźnikowa siły ogólnie oznaczoną jest wielkością addytywną i jest tensorem, a także jest spełniona zasada niezależności działania tensorów sił.

Dowód trzeciej zasady dynamiki Newtona-EinsteinaEdytuj

Udowodnimy tutaj trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego i obrotowego.

Przypadek ruchu liniowegoEdytuj

Będziemy tutaj udowodniali trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego.

W przypadku, gdy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego jest spełnionaEdytuj

Na podstawie (21.15) mamy zależność dla szczególnej teorii względności (postać einsteinowska):


(23.17)
  • Ale ogólnie: .
  • gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola.

Na podstawie (21.16), mamy zależność dla mechaniki Newtona w postaci newtonowskiej:

(23.18)

lub rozważając w postaci einsteinowskiej według wzoru (21.15):

(23.19)

Na podstawie postaci einsteinowskiej (23.18) i newtonowskiej (23.19) w mechanice Newtona mamy, że suma sił działającej na ciało i pole jest równa zero, co:

(23.20)
  • gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola.

Zatem względem niezależności działania sił (23.8) rozważmy układ jedno pole i ciało, wtedy na tej podstawie suma sił działający na to pole i ciało jest równa zero na podstawie dowodu (23.17) (szczególna teoria względności) i (23.20) (mechaniki Newtona). Rozważmy przypadki podzbioru ciał, tzn.: i=1,2,3,...,k, ze zbioru wszystkich ciał ( ciał) wytwarzających pewne pola działających na ciała j-te dla j=1,2,...,n, wtedy na podstawie końcowego wzoru (23.17) (szczególna teoria względności) i (23.20) (mechanika Newtona) sumując obustronnie te wzory dla każdej z teorii sformułowane dla każdego i-tego przyjmując zasadę niezależności działania sił (23.8) nawet dla pól (co jest spełnione dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich), czyli przyjmując, że pole od jednego ciała jest niezależne od pól innych ciał:

(23.21)

Napiszmy przez i we formule (23.21), dzięki temu dochodzimy do wniosku:

(23.22)

Końcowy wzór (23.22) jest również spełniony w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy , to jest siła działająca na pola w układzie wszystkich pól i ciał. Suma sił wtedy w (23.22) jest równa zero jak tam napisano, co wynika z równania geodezyjnego ruchu ciała w układach słabozakrzywionych. Wedle wzoru w (23.22) zakładając, że suma sił działających na pola jest równa zero, bo te pola są wytwarzane przez ciała, jeżeli w ogóle to jest spełnione, tzn.: (tzn. przyjmujemy, że pole ma masę relatywistyczną prawie równą zero (co tutaj możemy przyjąć, że dokładnie) i jest natychmiastowe (można tak powiedzieć, bo prędkość światła, z którą rozpowszechnia się pole jest bardzo dużą prędkością, a więc można powiedzieć, że jest prędkością prawie nieskończoną), a to pole na pewno spełnia drugą zasadę dynamiki Newtona i w przybliżeniu Einsteina dla ruchu liniowego), wtedy:

(23.23)

Wzór (23.23) zachodzi dla każdego podzbioru ciał jeżeli przyjmniemy niezależność działania sił, wtedy podzbiór sił działający na ciało nadaje taką zmianę tensora pędu względem czasu opisującą ciało, jak gdy by sił innych niż w tym podzbiorze sił nie było. We wzorze (23.23) rozważając podukład dwóch ciał () z układu ciał:

(23.24)

Widzimy, że ze wzoru pierwszego (23.24) po sumowaniu go obustronnie względem wszystkich "i" i "j", mając na myśli i<j, mamy równanie (23.23) dla układu ciał, co powinno zachodzić. Wzór (23.24), który jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego przedstawia, że ciało i-te oddziałuje na ciało j-te z siłą , a ciało j-te na ciało i-te z siłą . Ale (23.24) jest dokładnie spełniona pomiędzy ciałem (cząstką materii) a polem na podstawie (23.17).

Kiedy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego nie jest spełnionaEdytuj

Z oczywistych powodów pole ma masę i rozprzestrzenia się ze skończoną prędkością, co ogólnie zachodzi , więc trzecia zasada dynamiki dla ruchu liniowego ogólnie nie jest spełniona.