Szczególna teoria względności/Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne

Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Transformacje pomiędzy układami słabozakrzywionymi oraz od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego

Transformacje pomiędzy układami słabozakrzywionymi oraz od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego

Weźmy macierz transformujący z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych, w których jest to samo ciało odniesienia, w postaci:

${\overline {\Lambda }}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}\;$

(10.1)

Macierz ${\overline {\Lambda }}\;$, a w nim ${\overline {\Lambda }}_{p}\;$, może być funkcją uogólnioną. Macierzą odwrotną do (10.1) jest macierz w postaci:

${\overline {\Lambda }}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\end{bmatrix}}\;$

(10.2)

Weźmy transformacje tensora położenia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układów słabozakrzywionych:

${\overline {X}}={\overline {\Lambda }}X\;$

(10.3)

Sformujmy twierdzenie jak się zmienia czas i wektor przestrzenny przy transformacji (10.3) przy definicji macierzy transformacji (10.1) z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego:

${\begin{bmatrix}c{\overline {t}}\\{\vec {\overline {X}}}_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {X}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c{\overline {t}}\\{\vec {\overline {X}}}_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\lambda t\\{\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {X}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\overline {t}}=\lambda t\wedge {\vec {\overline {X}}}_{p}={\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {X}}_{p}\;$

(10.4)

• gdzie:
  • ${\overline {t}}\;$ i ${\overline {X}}_{p}\;$ to jest kolejno czas i wektor przestrzenny w układzie słabozakrzywionym, a $t\;$ i $X_{p}\;$ to jest kolejno czas i wektor przestrzenny w układzie globalnie (lokalnie) płaskim.
  • $c\;$ jest to prędkość światła w układach globalnie (lokalnie) płaskich.

W układzie globalnie (lokalnie) płaskim te same wielkości wektorowe charakteryzujce coś, jeżeli są sobie równe w różnych punktach, to one w układach słabozakrzywionych są ogólnie różne, aby przejść w układzie słabozakrzywionym z tą wielkością do pewnego punktu, tzn. z punktu jeden (tam panuje ${\overline {\Lambda }}_{p1}\;$) do dwa (tam panuje ${\overline {\Lambda }}_{p2}\;$), to na podstawie (10.4) (ostatnie równanie) piszemy:

$X_{p}=X_{p}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}_{p1}^{-1}{\overline {X}}_{p1}={\overline {\Lambda }}_{p2}^{-1}{\overline {X}}_{p2}\Rightarrow {\overline {X}}_{p2}={\overline {\Lambda }}_{p2}{\overline {\Lambda }}_{p1}^{-1}{\overline {X}}_{p1}\;$

(10.5)

Czyli jeśli mamy wielkość $X_{p1}\;$ w jakimś punkcie układu słabozakrzywionego to mamy tą samą wielkość $X_{p2}\;$ w drugim punkcie tego samego układu. Weźmy transformację macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego w szczególnej teorii względności (4.1) i go udowodnijmy dla transformacji od układu słabozakrzywionego do słabozakrzywionego:

$A=C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}_{p}^{-T}A{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}={\overline {\Lambda }}_{p}^{-T}C_{p}^{T}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{T}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-T}A^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {C}}_{p}={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\wedge {\overline {A}}={\overline {\Lambda }}_{p}^{-T}A{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\wedge \;$
$\wedge {\overline {A}}^{'}={{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-T}A^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {A}}={\overline {C}}_{p}^{T}{\overline {A}}^{'}{\overline {C}}_{p}\;$

(10.6)

Czyli widzimy, że na podstawie (10.6) transformacja macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego jest formalnie taka sama jak transformacja iloczynu skalarnego przestrzennego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego (4.1). Weźmy transformację bazy przestrzennej od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego (4.19) i sprawdźmy jak wygląda transformacja bazy przestrzennej od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego na podstawie transformacji macierzy transformacji $C_{p}\;$ w (10.6), co:

$B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{-1}\Rightarrow B_{p}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}=B_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}C_{p}^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {B}}_{p}^{'}=B_{p}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}\wedge {\overline {B}}_{p}=B_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {B}}_{p}^{'}={\overline {B}}_{p}\left({\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\right)^{-1}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {B}}_{p}^{'}={\overline {B}}_{p}{\overline {C}}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {B}}_{p}^{'}={\overline {B}}_{p}{\overline {C}}_{p}^{'}$

(10.7)

Czyli widzimy, że na podstawie (10.7) transformacja macierzy bazy przestrzennej od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego jest formalnie taka sama jak transformacja macierzy mazy od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego (4.19). Udowodnijmy, czy iloczyn skalarny w układach słabozakrzywionych ma taką wartość, co w u układach globalnie (lokalnie) płaskich wykorzystując ostatnią równość na transformację wektora przestrzennego (10.4):

$({\vec {\overline {X}}}_{1},{\vec {\overline {X}}}_{2})={\vec {\overline {X}}}_{1}^{T}{\overline {A}}{\vec {\overline {X}}}_{2}={\vec {X}}_{1}^{T}{\overline {\Lambda }}_{p}^{T}{\overline {A}}{\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {X}}_{2}=({\vec {X}}_{1}|{\overline {\Lambda }}_{p}^{T}{\overline {A}}{\overline {\Lambda }}_{p}|{\vec {X}}_{2})=({\vec {X}}_{1}|A|{\vec {X}}_{2})=({\vec {X}}_{1}|{\vec {X}}_{2})=({\vec {X}}_{1},{\vec {X}}_{2})\Rightarrow ({\vec {\overline {X}}}_{1},{\vec {\overline {X}}}_{2})=({\vec {X}}_{1},{\vec {X}}_{2})\;$

(10.8)

Na podstawie obliczeń (10.8) iloczyn skalarny jest nieznienniczy przy przejściu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Udowodnijmy niezmienniczość normy przy przejściu do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego na podstawie dowodu na niemienniczość iloczynu skalarnego (10.8):

$||{\vec {\overline {X}}}||^{2}=({\vec {\overline {X}}},{\vec {\overline {X}}})=({\vec {X}},{\vec {X}})=||{\vec {X}}||^{2}\Rightarrow ||{\vec {\overline {X}}}||=||{\vec {X}}||\;$

(10.9)

Na podstawie ostatniego wzoru w (10.9) udowodnijmy transformację $\gamma \;$ przy jego definicji (8.9) (wybierając $\gamma \;$ z plusem) przy przejściu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, że ona jest niezmiennicza:

${\overline {\gamma }}={\overline {\gamma }}({\overline {u}})={\overline {\gamma }}(u)=\gamma (u)=\gamma \Rightarrow {\overline {\gamma }}=\gamma \;$

(10.10)

Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy równoległy (3.3) transformując od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z (10.6) i (10.9):

${\overline {\Lambda }}_{p}P_{||}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}={\overline {\Lambda }}_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}{\overline {\Lambda }}^{T}{\overline {\Lambda }}^{-T}A{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}={{{\vec {\overline {V}}}{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {{\overline {V}}^{2}}}{\overline {A}}={\overline {P}}_{||}\Rightarrow {\overline {P}}_{||}={\overline {\Lambda }}_{p}P_{||}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}$

(10.11)

Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy prostopadły (3.5) transformując od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z (10.6) i (10.9):

${\overline {\Lambda }}_{p}P_{\perp }{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}={\overline {\Lambda }}_{p}(I-P_{||}){\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}=I-{\overline {\Lambda }}_{p}P_{||}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}=I-{\overline {P}}_{||}={\overline {P}}_{\perp }\Rightarrow {\overline {P}}_{\perp }={\overline {\Lambda }}_{p}P_{\perp }{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}$

(10.12)

Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy równoległy (3.3) i jego wzór transformacyjny (4.22) transformując go od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z (10.6) i (10.11):

$P_{||}^{'}=C_{p}P_{||}C_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}_{p}^{'}P_{||}^{'}{{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}}^{-1}={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}P_{||}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}C_{p}^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {P}}_{||}^{'}={\overline {C}}_{p}{\overline {P}}_{||}{\overline {C}}_{p}^{-1}\;$

(10.13)

Czyli widzimy, że postać transformacyjna operatora rzutowania (10.13) ma taką samą postać co (4.22). Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy prostopadły (3.5) i jego wzór transformacyjny (4.23) transformując go od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z (10.6) i (10.12):

$P_{\perp }^{'}=C_{p}P_{\perp }C_{p}^{-1}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}P_{\perp }^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}P_{\perp }{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}C_{p}^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}_{p}^{-1}\Rightarrow {\overline {P}}_{\perp }^{'}={\overline {C}}_{p}{\overline {P}}_{\perp }{\overline {C}}_{p}^{-1}\;$

(10.14)

Czyli widzimy, że postać transformacyjna operatora rzutowania (10.14) ma taką samą postać co (4.23). A więc transformację macierzy transformacji od układu słabozakrzywionego do układ słabozakrzywionego przedstawiamy w postaci:

$X^{'}=MX\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}{\overline {X}}^{'}=M{\overline {\Lambda }}^{-1}{\overline {X}}\Rightarrow {\overline {X}}^{'}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}{\overline {X}}\Rightarrow {\overline {M}}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}\wedge {\overline {X}}^{'}={\overline {M}}{\overline {X}}\;$

(10.15)