Szczególna teoria względności/Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {V}}\;$.

Transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich

Podamy tutaj transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich transformujące wielkości pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi.

Wzór na transformację prędkości

Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości jest napisana:

${\vec {v}}^{'}={{C_{p}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\left\{{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\left[{{\vec {v}}-{\vec {V}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {V^{2}}}}\right]\right\}={{C_{p}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\left[{\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }\right]=\;$
$=C_{p}\left\{{{{\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}+{{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\right\}\;$

(14.1)

Wzór (14.1) jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację różniczki położenia

Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy:

$d{\vec {r'}}=C_{p}\left\{{{{\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}dt} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+d{\vec {r}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}\right\}=C_{p}\left\{{{d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+d{\vec {r}}_{\perp }\right\}\;$

(14.2)

Równanie (14.2) jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację położenia w przestrzeni zwykłej

Gdy założymy, że dla $t^{'}=t=0\;$ mamy ${\vec {r}}^{'}={\vec {r}}=0\;$, wtedy wzór (14.2) przedstawia się w formie:

${\vec {r'}}=C_{p}\left\{{{{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {r}})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}t} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{\vec {r}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},{\vec {r}})} \over {V^{2}}}\right\}=C_{p}\left\{{{{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}t} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{\vec {r}}_{\perp }\right\}\;$

(14.3)

Wzór na transformację różniczki czasu

Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób:

$dt'={dt-{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(14.4)

Równanie (14.4) jest spełnione dla ogólnie nieprostokątnego układu współrzędnych starego i nowego.

Wzór na transformację czasu

Podobnie jak dla (14.3) tak samo zakładamy, więc:

$t'={t-{{({\vec {V}},{\vec {r}})} \over {c^{2}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(14.5)

Wzór na transformację kwadratu prędkości

Policzmy kwadrat wyrażenia ${v'}^{2}=\left({\vec {v}}^{'},{\vec {v}}^{'}\right)={{\vec {v}}^{'}}^{T}A^{'}{{\vec {v}}^{'}}\;$ mając wzór na transformacje macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego (4.1) i wzór na transformację prędkości (14.1), wtedy:

${v^{'}}^{2}={\vec {v^{'}}}^{T}A^{'}{\vec {v^{'}}}=\left\{{{{\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}+{{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\right\}^{T}\underbrace {C_{p}^{T}A^{'}C_{p}} _{A}\left\{{{{\vec {v}}_{||}-{\vec {V}}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}+{{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\right\}=\;$
$={{v_{||}^{2}+V^{2}+\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)v_{\perp }^{2}-2({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}={{v^{2}+V^{2}-2({\vec {V}},{\vec {v}})-{{V^{2}} \over {c^{2}}}v_{\perp }^{2}} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}={{v^{2}+V^{2}-2({\vec {V}},{\vec {v}})-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(v^{2}-v_{||}^{2}\right)} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}=\;$
$={{v^{2}+V^{2}-2({\vec {V}},{\vec {v}})-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(v^{2}-{{{({\vec {V}},{\vec {\vec {v}}})}^{2}} \over {V^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}=c^{2}\left[{{{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{V^{2}} \over {c^{2}}}-2{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}-{{V^{2}} \over {c^{4}}}v^{2}+{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)^{2}} \over {c^{4}}}} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]=\;$
$=c^{2}\left[{{{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-2{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}+{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)^{2}} \over {c^{4}}}} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]=c^{2}\left[{{{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-1+1-2{{({\vec {V}},{\vec {v}})} \over {c^{2}}}+{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)^{2}} \over {c^{4}}}} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]=\;$
$=c^{2}\left[{{{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-1+\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)^{2}} \over {c^{4}}}\right)^{2}} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]=c^{2}\left[1-{{1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]=\;$
$=c^{2}\left[1-{{\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]\Rightarrow {v^{'}}^{2}=c^{2}\left[1-{{\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}\right]$

(14.6)

Wzór (14.6) przedstawia transformacje kwadratu prędkości ${\vec {v}}\;$ ze starego układu odniesienia do nowego, a transformacja odwrotna wygląda odwrotnie. Gdy $v=c\;$ otrzymujemy $v^{'}=c\;$ i odwrotnie.

Wzór na transformację przyśpieszenia

Obliczamy różniczkę obustronną równości (14.1), co na podstawie tego otrzymujemy równość:

$d{\vec {v}}^{'}=C_{p}{{\left({\vec {a}}_{||}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}a_{\perp }\right)\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)-\left(v_{||}-{\vec {V}}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }\right)\left(-{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}dt=\;$
$=C_{p}{{\left({\vec {a}}_{||}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}a_{\perp }\right)\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)+\left(v_{||}-{\vec {V}}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }\right){{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}dt=\;$
$=C_{p}{{{\vec {a}}_{||}+{\vec {a}}_{\perp }{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}-{\vec {a}}_{||}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}-{\vec {a}}_{\perp }{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}+{\vec {a}}_{||}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}-{\vec {a}}_{||}{{V^{2}} \over {c^{2}}}+{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}{\vec {v}}_{\perp }{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}dt=\;$
$=C_{p}{{{\vec {a}}_{||}{\left({\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)}^{2}+\left[\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right){\vec {a}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right]{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{2}}}dt$

(14.7)

Równość (14.7) podzielmy obustronnie przez (14.4) przedstawiający transformację różniczki czasu, wtedy otrzymujemy:

${\vec {a}}^{'}=C_{p}{{\left\{{\vec {a}}_{||}{\left({\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)}^{2}+\left[\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right){\vec {a}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right]{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\right\}{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{3}}}=\;$
$=C_{p}{{{\vec {a}}_{||}{\left({\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)}^{3}+\left[\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right){\vec {a}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right]\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{3}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\vec {a}}=C_{p}\left\{{\vec {a}}_{||}\left({{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}} \over {1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\right)^{3}+\left[\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right){\vec {a}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }{{({\vec {a}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right]{{1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\right)^{3}}}\right\}$

(14.8)

Stąd policzmy przyśpieszenie równoległe i prostopadłe do prędkości nowego układu odniesienia:

${\vec {a}}_{||}^{'}=C_{p}{\vec {a}}_{||}\left({{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}} \over {1-{{\left({\vec {V}},{\vec {v}}\right)} \over {c^{2}}}}}\right)^{3}\;$

(14.9)

${\vec {a}}_{\perp }^{'}=C_{p}\left[\left(1-{{\left({\vec {v}},{\vec {V}}\right)} \over {c^{2}}}\right){\vec {a}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }{{\left({\vec {V}},{\vec {a}}\right)} \over {c^{2}}}\right]{{1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{\left({\vec {v}},{\vec {V}}\right)} \over {c^{2}}}\right)^{3}}}$

(14.10)

Transformacje dla układów słabozakrzywionych

Transformacja (14.1), (14.2), (14.3), (14.6) i (14.8) (czyli też (14.9) i (14.10)) są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, do nich są podobne transformacje, tylko że z nadkreśleniami, dla układów słabozakrzywionych transformujące wielkości pomiędzy układami słabozakrzywionymi na podstawie (10.6) (transformacji macierzy $C_{p}\;$, tzn. z układu globalnie (lokalnie) płaskiego, na ${\overline {C}}_{p}\;$, tzn. do układu słabozakrzywionego), (10.4) (transformacji czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego), (10.4) (transformacji wektora wodzącego z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego), (10.8) (niezmienniczości iloczynu skalarnego przestrzenni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozaskrzywionego) i (10.9) (niezmienniczości długości przestrzeni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego).

Równoważność macierzy S i M

Macierzowo transformacje n+1 wymiarowego tensora położenia w czasoprzestrzeni $dx^{\mu }=[cdt,d{\vec {r}}]^{T}\;$ w n+1-wymiarowy wektor $d{x^{'}}^{\mu }=[cdt',d{\vec {r}}']^{T}\;$ można napisać na podstawie wzorów: (14.2) i (14.4), w sposób:

${\begin{bmatrix}cdt'\\d{\vec {r}}'\end{bmatrix}}=S{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-\gamma C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\left(\gamma {{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A+I-{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}A\right)\end{bmatrix}} _{S}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\left(\gamma P_{||}+\underbrace {I-P_{||}} _{P_{\perp }}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&\gamma C_{p||}+C_{p\perp }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}} _{M}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}$

(14.11)

Stąd macierz transformacji $S\;$ jest równa macierzy transformacji $M\;$, czyli $S=M\;$.