Szczególna teoria względności/Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w einsteinowskich układach odniesienia

Będziemy wyprowadzać wzór $E=mc^{2}\;$ dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc² (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka mas

Wyprowadżmy wzór $E=mc^{2}\;$ dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (19.16) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t₂ i t₁, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:

$W=\int {\vec {F}}d{\vec {r}}=\int {{d{\vec {p}}} \over {dt}}{\vec {v}}dt=\int {\vec {v}}d{\vec {p}}=\int {\vec {v}}d{{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}={\begin{Bmatrix}{\vec {v}}={\vec {e_{||}}}v\end{Bmatrix}}=\int {\vec {e_{||}}}vd{{m_{0}v{\vec {e_{||}}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=\;$
$=\int {\vec {e_{||}}}v\left\{e_{||}d{{m_{0}v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{{m_{0}v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\underbrace {d{\vec {e_{||}}} \over {d\phi }} _{\vec {-e_{\perp }}}d\phi \right\}=\int m_{0}vd{{v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=\int m_{0}v{{1\cdot {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-v{{1} \over {2{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left(-{{2v} \over {c^{2}}}\right)} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}dv=\;$
$=\int m_{0}v{{1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{v^{2}} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{3 \over 2}}}dv=\int {{m_{0}vdv} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{3 \over 2}}}={\begin{Bmatrix}1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}=t\\-2vdv=c^{2}dt\\vdv=-{{1} \over {2}}c^{2}dt\end{Bmatrix}}=-\int m_{0}t^{-{{3} \over {2}}}{{1} \over {2}}c^{2}dt=-m_{0}c^{2}{{1} \over {2}}\int t^{-{{3} \over {2}}}dt=\;$
$=-m_{0}c^{2}{{1} \over {2}}(-2)t^{-{{1} \over {2}}}+A={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+A\;$

(34.1)

Na podstawie obliczeń (34.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

$W=\int \limits _{stan1}^{stan2}dW={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v_{2}^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v_{1}^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(34.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

$E(v)=m(v)c^{2}={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(34.3)

• gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (34.3) jest napisana w punkcie (19.11), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (34.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.

$W=E(v_{2})-E(v_{1})\;$

(34.4)

Za pomocą (34.2), lub (34.4), (wielkość $dW\;$) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (34.3) możemy napisać moc siły ${\vec {F}}\;$ korzystając z definicji mocy, tzn.:

$P={{dW} \over {dt}}={{dE(v)} \over {dt}}=c^{2}{{dm} \over {dt}}\;$

(34.5)

Energia kinetyczna

Dla dowolnych prędkości $v<c\;$ energię kinetyczną einsteinowską formułujemy:

$E_{k}=E_{r}-E_{0}=m_{0}c^{2}\left({{1} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-1\right)=m_{0}c^{2}\left(\gamma -1\right)\;$

(34.6)

Sformułujmy wyrażenie, które nazwiemy energią kinetyczną newtonowską, do którego zastosujemy przybliżenie nierelatywistyczne, $v\ll c\;$, tzn. (16.11), stosując przybliżenie (19.12), w sposób:

$E_{k}=E_{r}-E_{0}={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-m_{0}c^{2}\simeq m_{0}c^{2}\left(1+{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)-m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}+m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-m_{0}c^{2}=m_{0}{{v^{2}} \over {2}}\Rightarrow E_{k}=E_{r}-E_{0}\simeq m_{0}{{v^{2}} \over {2}}\;$

(34.7)

Czyli według (34.7) energia kinetyczna newtonowska jest to energia relatywistyczna minus jego energia spoczynkowa, zatem dobrze sformułowalismy wzór na energię kinetyczną einstenowską w postaci (34.6).

Wzór E=mc² (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka mas

Wyprowadźmy wzór $E=mc^{2}\;$ dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał ${\vec {F}}\;$ (25.9) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał ${\vec {P}}\;$ (25.8) względem czasu. Wzory (34.3) i (34.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie $v\;$, ${\vec {v}}\;$, ${\vec {p}}\;$ i ${\vec {r}}\;$ to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość ${\vec {P}}\;$ (25.9) (wzór na pęd środka mas ciał) i ${\vec {R}}\;$ (25.1) (położenie środka masy) przedstawiamy w (34.1) zastępując: $v\rightarrow V\;$, ${\vec {v}}\rightarrow {\vec {V}}\;$, ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {P}}\;$ i ${\vec {r}}\rightarrow {\vec {R}}\;$, wtedy możemy napisać wzór (34.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową $M_{0}\;$, energię spoczynkową środka masy $E_{0}\;$, te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (34.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: $m_{0C}=\sum _{i}m_{0i}\;$, gdzie $i\;$ to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: $\Delta M=m_{0C}-M_{0}\;$, a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: $\Delta E=\Delta Mc^{2}\;$. Masa środka masy ciał spoczynkowa $M_{0}\;$ jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (20.49), którymi są $m_{0i}\;$ (masą spoczynkową i-tego elementu), $u_{i}^{\mu }\;$ (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas $U^{\mu }\;$.

Energia potencjalna pola potencjalnego

Powtarzając za wykładem z mechaniki teoretycznej wzór na siłę potencjalną (1.93) wyrażamy wzorem:

${\vec {F}}=-\operatorname {grad} U\;$

(34.8)

A siła jest potencjalna, gdy zachodzi, jak w tym wykładzie, następująco:

$\oint _{L}{\vec {F}}d{\vec {r}}=0\Rightarrow \operatorname {rot} {\vec {F}}=0\;$

(34.9)

Zasada zachowania energii w szczególnej teorii względności

Napiszmy drugą zasadę dynamiki Einsteina (19.16), dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu ${\vec {F}}_{pij}\;$ i zewnątrz ${\vec {F}}_{pik}^{'}\;$) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu ${\vec {F}}_{zij}\;$ i zewnątrz ${\vec {F}}_{zik}^{'}\;$), piszemy przy założeniu, że spełniona jest trzecia zasada dynami Einsteina (ciało-ciało), ale na pewno ona jest spełnione między ciało-pole według (23.20):

${{d\left(m_{i}{\vec {v}}\right)} \over {dt}}=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}\;$

(34.10)

Równanie (34.10) pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy:

${{d\left(m_{i}{\vec {v}}_{i}\right)} \over {dt}}{\vec {v}}_{i}dt=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow dE_{ri}=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}\;$

(34.11)

Równanie (34.11) opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej, wykorzystując wzór policzony na energię relatywistyczną w postaci (34.3):

$dE_{r}=\underbrace {\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}} _{dW_{1}}+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\underbrace {\sum _{ki}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}} _{dW_{2}}+\underbrace {\sum _{ki}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}} _{-dU_{2}}=dW_{1}+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+dW_{2}-dU_{2}=\;$
$=dW+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}-dU_{2}\;$

(34.12)

Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej (34.8) i z trzeciej zasady dynamiki Einsteina:

$\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+{\vec {F}}_{pji}d{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}-{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d\left({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{ij}=\;$
$=-\sum _{i,j,i<j}\left(-{\vec {F}}_{pij}\right)d{\vec {r}}_{ij}=-\sum _{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum _{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_{1}\;$

(34.13)

W obliczeniach (34.13) skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie (34.12) na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci:

$dE_{r}=dW-dU_{1}-dU_{2}\Rightarrow dE_{r}+d(U_{1}+U_{2})=dW\Rightarrow dE_{r}+dU=dW\Rightarrow \;$
$\Rightarrow d(E_{r}+U)=dW\wedge E=E_{r}+U=E_{k}+E_{0}+U\Rightarrow dE=dW\;$

(34.14)

Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo $E=E_{r}+U=E_{k}+E_{0}+U\;$), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ.

Gdy trzecia zasada dynamiki nie jest spełniona

Gdy trzecia zasada dynamiki Newtona nie jest spełniona, wtedy napiszmy:

$dE_{r}=\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}=dW+\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+{\vec {F}}_{pji}d{\vec {r}}_{j}\right)=dW+\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}-\left({\vec {F}}_{pij}-\Delta {\vec {F}}_{pij}\right)d{\vec {r}}_{j}\right)=\;$
$=dW+\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d\left({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\right)+\sum _{i,j,i<j}\Delta {\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{j}=dW+\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{ij}-dE_{pole}=dW-\sum _{i,j,i<j}\left(-{\vec {F}}_{pij}\right)d{\vec {r}}_{ij}-dE_{pole}=\;$
$=dW-\sum _{i,j,i<j}dU_{ij}-dE_{pole}=dW-dU-dE_{pole}\Rightarrow dW=dE=dE_{r}+dU+dE_{pole}\Rightarrow E=\operatorname {const} \;$ przy $dW=0\;$

(34.15)

Powyższe twierdzenie jest spełnione dla układu ciał bez sił zewnętrznych dla $dW=0\;$. Dla $dW\neq 0\;$, wtedy występują siły zewnętrzne, które powyżej uwzględniliśmy w końcowym wyniku na zmianę całkowitej energii układu ciał. Zatem energia całkowita ciała na podstawie (34.15) (bo wtedy jeszcze tam nie jest uwzględniona trzecia zasada dynamiki Einsteina ciało-ciało, ale w przypadku układów i ich pól relatywistycznych ta zasada nie jest spełniona), jest zapisana jako suma energii relatywistycznej ciał, energii potencjalnej też ciał i energii pola, który przekazuje siły ciało-ciało przedstawiona bezpośrednio poniżej, a także tam jest różniczka energii pola:

$E=E_{r}+U+E_{pole}\wedge dE_{pole}=-\sum _{i,j,i<j}\Delta {\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{j}\;$ gdzie: $-{\vec {F}}_{pij}+\Delta {\vec {F}}_{pij}={\vec {F}}_{pji}\Rightarrow \Delta {\vec {F}}_{pij}={\vec {F}}_{pij}+{\vec {F}}_{pji}\;$

(34.16)

Siła $-\Delta F_{pij}\;$ jest to siła działająca na pole, stąd pole ma masę relatywistyczną, trzecia zasada dynamiki szczególnej teorii względności jest spełniona dla pomiędzy ciałami, gdy pole nie ma masy, tak jest w mechanice Newtona, ale w szczególnej teorii względności, pole ma masę, między ciałami ta zasada nie jest spełniona, ale za to pomiędzy ciałem a polem natomiast trzecia zasada dynamiki Einsteina-Newtona jest spełniona, co uwzględniliśmy w różniczce zmiany energii pola, czyli pole ma energię relatywistyczną, którą nazywamy energią pola, jeśli pole uwzględnić w układzie mas jako masę, wtedy energię pola doliczamy do energii relatywistycznej układu mas, więc prawo (34.14) jest spełnione. Zasada zachowania energii przedstawiamy formułą:

$dE=dW\;$

(34.17)

Gdzie wzór na całkowitą energię przedstawiamy w (34.16).

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowej

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (19.15) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

$p^{2}={{m_{0}^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(34.18)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (34.18) i definicję energii relatywistycznej (34.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

$p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}={{m_{0}^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}={{m_{0}^{2}v^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}-m_{0}^{2}c^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}={{m_{0}^{2}c^{4}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\left({{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\right)^{2}=E^{2}\;$

(34.19)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (34.19), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m₀.

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\;$

(34.20)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej Minkowskiego

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (34.20) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

$\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(34.21)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała $p_{0}={{E} \over {c}}\;$ według (20.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (34.21) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

$p^{\mu }\eta _{\mu \nu }p^{\nu }=m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow ||{\mathcal {p}}||^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\Rightarrow ||{\mathcal {p}}||=m_{0}c^{2}\;$

(34.22)

• gdzie η_μν jest tensorem metrycznym (16.5) w szczególnej teorii względności.

Wzór (34.22) na podstawie (16.9) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (16.4) wychodząc z wzoru (34.22), a oto dowód:

$m_{0}^{2}c^{2}={\overline {p}}^{\mu }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }{\overline {p}}^{\nu }=p^{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }p^{\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }=p^{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }p^{\beta }=p^{\alpha }{\eta }_{\alpha \beta }p^{\beta }\Rightarrow p^{\alpha }{\eta }_{\alpha \beta }p^{\beta }$

Równość (34.22) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

$p_{\nu }p^{\nu }=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(34.23)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d{\vec {r}}^{T}Ad{\vec {r}}=-{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}^{T}\underbrace {\begin{bmatrix}-1&0\\0&A\end{bmatrix}} _{\eta }{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}^{T}\eta {\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}\;$

co wtedy wzór (34.21) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (20.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m₀:

$p_{\nu }p^{\nu }=-m_{0}^{2}c^{2}\;$

(34.24)

Równania (34.23) i (34.24) możemy zapisać jednym równaniem skalarno-tensorowym uwzględniając jednocześnie dwie sygnatury tensora metrycznego Minkowkiego szczególnej teorii względności, wtedy:

$p_{\nu }p^{\nu }=\pm m_{0}^{2}c^{2}\;$

(34.25)

Równość (34.25) możemy napisać dla układów rozciągłych w postaci:

${\mathfrak {p}}_{\mu }{\mathfrak {p}}^{\mu }=\pm \gamma ^{2}\left({{dm_{0}} \over {dV_{0}}}\right)^{2}c^{2}\Rightarrow {\mathfrak {p}}_{\mu }{\mathfrak {p}}^{\mu }=\pm \gamma ^{2}c^{2}\rho _{0}^{2}\;$

(34.26)

Widzimy, że równość (34.26) zależy od gęstości tensora pędu i gęstości masy spoczynkowej.