Elektrodynamika klasyczna/Elektrodynamika relatywistyczna

Elektrodynamika relatywistyczna

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy rozpatrywać elektrodynamikę jako równania magnetyzmu i elektryczności jako zjawisko czysto relatywistyczne. W elektrodynamice relatywistycznej przyjmujemy tensor metryczny o dwóch możliwych sygnaturach, tzn. gdy w zdiagonalizowanej macierzy Minkowskiego są elementy na diagonalnej (1,-1,-1,-1), to tą sygnaturę nazywamy dodanią, a gdy na diagonalnedj występują liczby (-1,1,1,1), to tą sygnaturę nazywamy ujemną, gdy będziemy pisać we wzorach matematycznych fizyki w elektrodynamice relatywistycznej, to $\pm \;$ lub $\mp \;$, to znak na górze jest to sygnatura dodatnia, a na dole ujemna.

Gęstość ładunku, wektor gęstości prądu i czterowektor gęstości prądu

Objętość pewnego elementu V względem jej wartości spoczynkowej V₀, tzn. objętość cząstki materii, gdy ona jest w spoczynku, jest wyrażona przez:

$V={\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}V_{0}=\gamma ^{-1}V_{0}\;$

(26.1)

Z tożsamości (26.1) gęstość danej cząstki materii można ją wyrazić poprzez gęstość spoczynkową tej samej cząstki wedle:

$\rho ={{q} \over {V}}={{q} \over {V_{0}}}\gamma =\rho _{0}\gamma =\rho _{0}u^{0}\;$

(26.2)

Gęstość prądu w przypadku relatywistycznym jest podobnie definiowany jak w punkcie (16.9), tylko gęstość ładunku elektrycznego w nim występującą wyrażamy poprzez:

${\vec {J}}=\rho {\vec {v}}=\gamma \rho _{0}{\vec {v}}\;$

(26.3)

Wprowadzając gęstości prądu przy pomocy przestrzennych elementów czterowektora prędkości prędkości uⁱ, to jego definicja jest:

$J^{i}=\rho _{0}\gamma v^{i}=c\rho _{0}u^{i}\;$

(26.4)

W elektrodynamice relatywistycznej wprowadza się czerowektor prędkości, którego element czasowy to jest gęstość ładunku elektrycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a jej element przestrzenny to jest wielkość wektora gęstości prądu elektrycznego, zatem jego definicja jest:

$J^{\mu }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)=\left(c\rho ,{\vec {J}}\right)\;$

(26.5)

Elementy tensora (26.5) możemy w sposób ogólny zapisać za pomocą czterowektora prądu objętościowego J^μ łącząc jego dwa przypadki wedle wzorów na część czasową czerowektora prędkości (26.2) i na elementy przestrzenne czerowektora prądu elektrycznego (26.4), wtedy otrzymujemy schemat liczenia czerowektora prądu elektrycznego:

$J^{\mu }=c\rho _{0}u^{\mu }\;$

(26.6)

Tensorowe równanie ciągłości

Równanie ciągłości zapisane w punkcie (16.11) można tak zapisać, że przy tym równaniu jej część czasową tak zapisujemy, że mnożymy jego licznik i mianownik przez prędkość światła c i biorąc definicję czerowekta gęstości prądu (26.5), to:

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0\Rightarrow {{\partial c\rho } \over {\partial ct}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0\Rightarrow {{\partial c\rho } \over {\partial ct}}+{{\partial J_{1}} \over {\partial x}}+{{\partial J_{2}} \over {\partial y_{2}}}+{{\partial J_{3}} \over {\partial y}}=0\;$

(26.7)

Przyjmijmy oznaczenia występujące powyżej w (26.7) wedle schematu: x⁰=ct, x¹=x, x²=y, x³=z. Następnie korzystając z końcowej równości (26.7), to równanie ciągłości zapisujemy:

${{\partial J^{\mu }} \over {\partial x^{\mu }}}=0{\mbox{ lub }}\partial _{\mu }J^{\mu }=0{\mbox{ lub }}{J^{\mu }}_{,\mu }=0\;$

(26.8)

Tensory w elektrodynamice pól elektromagnetycznych

Będziemy się zajmować tensorami pól elektromagnetycznych i też tensorem dualnym do tensora pola elektromagnetycznego.

Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni

Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni jest:

$F^{\mu \nu }=\pm {\begin{bmatrix}0&{{E_{x}} \over {c}}&{{E_{y}} \over {c}}&{{E_{z}} \over {c}}\\-{{E_{x}} \over {c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\-{{E_{y}} \over {c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\-{{E_{z}} \over {c}}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}\;$

(26.9)

Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni jest tensorem antysymetrycznym.

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii jest:

$S^{\mu \nu }=\pm {\begin{bmatrix}0&cD_{x}&cD_{y}&cD_{z}\\-cD_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\-cD_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\-cD_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{bmatrix}}\;$

(26.10)

Porównując (26.10) z tensorem pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9), to ten drugi tensor pola elektromagnetycznego dla materii powstaje poprzez zastąpienie wedle schematu, tzn. ${{\vec {E}} \over {c}}\rightarrow c{\vec {D}}$ oraz też wedle schematu w tym samym tensorem dla materii ${\vec {B}}\rightarrow {\vec {H}}$.

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii jest tensorem antysymetrycznym.

Tensor dualny pola magnetycznego dla próżni i materii

Tensor dualny dla elektromagnetyzmu jest w postaci:

$G^{\mu \nu }=\pm {\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-{{E_{z}} \over {c}}&{{E_{y}} \over {c}}\\-B_{y}&{{E_{z}} \over {c}}&0&-{{E_{x}} \over {c}}\\-B_{z}&-{{E_{y}} \over {c}}&{{E_{x}} \over {c}}&0\\\end{bmatrix}}\;$

(26.11)

Można zauważyć, że tensor dualny (26.11) powstaje z tensora pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9) przez podstawianie: ${{\vec {E}} \over {c}}\rightarrow {\vec {B}}\;$, a także przez ${\vec {B}}\rightarrow -{{\vec {E}} \over {c}}\;$.

Tensor dualny jest tensorem antysymetrycznym.

Tensorowe równania Maxwella

Przedstawimy tutaj tensorowe równania elektrodynamiki dla próżni i dla materii.

Tensorowe równania Maxwella dla próżni

Korzystając z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni i tensora dualnego, to równania Maxwella możemy zapisać w postaci tensorowej:

${{\partial F^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(26.12)

${{\partial G^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(26.13)

Co (26.12) i (26.13) są równoważne dwom równaniom tensorowym:

$\partial _{\nu }F^{\mu \nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }{\mbox{ lub }}{F^{\mu \nu }}_{,\nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(26.14)

$\partial _{\nu }G^{\mu \nu }=0{\mbox{ lub }}{G^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\;$

(26.15)

Najpierw udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12) dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9). I jak się przekonamy otrzymamy pierwsze prawo Maxwella (15.14) przy definicji czasowej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

${{\partial F^{0\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial F^{00}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial F^{01}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial F^{02}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial F^{03}} \over {\partial x^{3}}}=\pm {{1} \over {c}}\left({{\partial E_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial E_{y}} \over {\partial y}}+{{\partial E_{z}} \over {\partial z}}\right)=\pm {{1} \over {c}}\nabla \cdot {\vec {E}}=\pm \mu _{0}J^{0}=\pm \mu _{0}c\rho \Rightarrow \;$
$\Rightarrow \nabla \cdot {\vec {E}}=\mu _{0}c^{2}\rho \Rightarrow \nabla \cdot {\vec {E}}={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}\;$

(26.16)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12), dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.17) zapisaną dla jej współrzędnej iksowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

${{\partial F^{1\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial F^{10}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial F^{11}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial F^{12}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial F^{13}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c^{2}}}{{\partial E_{x}} \over {\partial t}}\pm {{\partial B_{z}} \over {\partial y}}\mp {{\partial B_{y}} \over {\partial z}}=\left(\mp \mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\pm \nabla \times {\vec {B}}\right)_{x}=\pm \mu _{0}J^{1}=\pm \mu _{0}J_{x}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {B}}\right)_{x}=\mu _{0}J_{x}\;$

(26.17)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12) dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.17) zapisaną dla jej współrzędnej igrekowy przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

${{\partial F^{2\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial F^{20}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial F^{21}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial F^{22}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial F^{23}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c^{2}}}{{\partial E_{y}} \over {\partial t}}\mp {{\partial B_{z}} \over {\partial x}}\pm {{\partial B_{x}} \over {\partial z}}=\left(\mp \mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\pm \nabla \times {\vec {B}}\right)_{y}=\pm \mu _{0}J_{y}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {B}}\right)_{y}=\mu _{0}J_{y}$

(26.18)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12) dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.17) zapisaną dla jej współrzędnej zetowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

${{\partial F^{3\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial F^{30}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial F^{31}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial F^{32}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial F^{33}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c^{2}}}{{\partial E_{z}} \over {\partial t}}\pm {{\partial B_{y}} \over {\partial x}}\mp {{\partial B_{x}} \over {\partial y}}=\left(\mp \mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\pm \nabla \times {\vec {B}}\right)_{z}=\pm \mu _{0}J_{z}\Rightarrow \;$
$\left(-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {B}}\right)_{z}=\mu _{0}J_{z}$

(26.19)

Zatem dla μ=1,2,3 otrzymujemy czwarte prawo Maxwella (15.17) przy pomocy dowodów ostatnich trzech równań, tzn. (26.17), (26.18) i w końcu (26.19).

Teraz udowodnijmy drugi wzór tensorowy (26.13) dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni (26.9). I jak się przekonamy otrzymamy drugie prawo Maxwella (15.16) zapisaną przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

$0={{\partial G^{0\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial G^{00}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial G^{01}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial G^{02}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial G^{03}} \over {\partial x^{3}}}=\pm \left({{\partial B_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial B_{y}} \over {\partial y}}+{{\partial B_{z}} \over {\partial z}}\right)=\nabla \cdot {\vec {B}}\;$

(26.20)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12), dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy trzecie prawo Maxwella (15.1) zapisaną dla jej współrzędnej iksowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

$0={{\partial G^{1\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial G^{10}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial G^{11}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial G^{12}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial G^{13}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial B_{x}} \over {\partial t}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial E_{z}} \over {\partial y}}\pm {{1} \over {c}}{{\partial E_{y}} \over {\partial z}}=\mp {{1} \over {c}}\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{x}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{x}\;$

(26.21)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12) dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy trzecie prawo Maxwella (15.16) zapisaną dla jej współrzędnej igrekowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

$0={{\partial G^{2\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial G^{20}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial G^{21}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial G^{22}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial G^{23}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial B_{y}} \over {\partial t}}\pm {{1} \over {c}}{{\partial E_{z}} \over {\partial x}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial E_{x}} \over {\partial z}}=\mp {{1} \over {c}}\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{y}\Rightarrow \;$
$0=\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{y}\;$

(26.22)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.12) dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.1) zapisaną dla jej współrzędnej zetowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

$0={{\partial G^{3\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial G^{30}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial G^{31}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial G^{32}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial G^{33}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial B_{z}} \over {\partial t}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial E_{y}} \over {\partial x}}\pm {{1} \over {c}}{{\partial E_{x}} \over {\partial y}}=\mp {{1} \over {c}}\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{z}\Rightarrow \;$
$0=\left({{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {E}}\right)_{z}\;$

(26.23)

Na podstawie obliczeń (26.21), (26.22), a na samym końcu (26.23) przy definicji tensora dualnego dla pola elektromagnetycznego (26.11), że równanie tensorowe Maxwella (26.13) przechodzi w drugie i w trzecie rówanie Maxwella. Zatem dwa tensorowe równania Maxwella są poprawne (26.12) i (26.13) i one przechodzą w cztery równania elektrodynamika sformułowane przez Maxwella.

Tensorowe równania Maxwella dla materii

Korzystając z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni i tensora dualnego, to równania Maxwella możemy zapisać w postaci tensorowej:

${{\partial S^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=J_{sw}^{\mu }\;$

(26.24)

${{\partial G^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(26.25)

Co (26.24) i (26.25) są równoważne dwom równaniom tensorowym:

$\partial _{\nu }S^{\mu \nu }=\pm J_{sw}^{\mu }{\mbox{ lub }}{S^{\mu \nu }}_{,\nu }=\pm J_{sw}^{\mu }\;$

(26.26)

$\partial _{\nu }G^{\mu \nu }=0{\mbox{ lub }}{G^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\;$

(26.27)

Najpierw udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.24), dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy pierwsze prawo Maxwella (15.46) dla materii przy definicji czasowej czterowektora prędkości (26.5):

${{\partial S^{0\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial S^{00}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial S^{01}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial S^{02}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial S^{03}} \over {\partial x^{3}}}=\pm {{\partial cD_{x}} \over {\partial x}}\pm {{\partial cD_{y}} \over {\partial y}}\pm {{\partial cD_{z}} \over {\partial z}}=\pm c\nabla \cdot {\vec {D}}=\pm J^{0}=\pm c\rho _{sw}\Rightarrow \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{sw}$

(26.28)

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.24) dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.46) dla materii przy iksowej jego składowej. Także skorzystamy z definicji czterowektora prądu objętościowego ładunków elektrycznych (26.5), zatem dochodzimy wtedy do wniosku:

${{\partial S^{1\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial S^{10}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial S^{11}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial S^{12}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial S^{13}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{\partial cD_{x}} \over {\partial ct}}\pm {{\partial H_{z}} \over {\partial y}}\mp {{\partial H_{y}} \over {\partial z}}=\pm \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{x}=\pm ({\vec {J}}_{sw})_{x}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{x}=({\vec {J}}_{sw})_{x}$

(26.29)

.

Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.24) dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.46) dla materii przy igrekowej jego składowej. Także będziemy korzystać z definicji czterowektora prądu objętościowego (26.5):

${{\partial S^{2\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial S^{20}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial S^{21}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial S^{22}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial S^{23}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{\partial cD_{y}} \over {\partial ct}}\mp {{\partial H_{z}} \over {\partial x}}\pm {{\partial H_{x}} \over {\partial z}}=\pm \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{y}=\pm ({\vec {J}}_{sw})_{x}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{y}=({\vec {J}}_{sw})_{x}$

(26.30)

Na sam koniec udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy (26.24) dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii (26.10). I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella (15.46) dla materii przy definicji zetowej jego składowej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego (26.5):

${{\partial S^{3\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}={{\partial S^{30}} \over {\partial x^{0}}}+{{\partial S^{31}} \over {\partial x^{1}}}+{{\partial S^{32}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial S^{33}} \over {\partial x^{3}}}=\mp {{\partial cD_{z}} \over {\partial ct}}\pm {{\partial B_{y}} \over {\partial x}}\mp {{\partial B_{x}} \over {\partial y}}=\pm \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{z}=\pm ({\vec {J}}_{sw})_{z}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}+\nabla \times {\vec {H}}\right)_{z}=({\vec {J}}_{sw})_{z}$

(26.31)

Zbierając razem trzy ostatnie wynikowe równania otrzymujemy czwarte prawo Maxwella dla materii (15.41).

Tensor pola elektromagnetycznego poprzez czteropotencjał

We wzorach na natężenie pola elektrycznego w zależności od potencjału skalarnego i wektorowego (20.4), i we wzorze (20.1) występuje potencjał skalarny i wektorowy. Te potencjały można napisać ogólnie w postaci czterowektora potencjału tensorowego kontrkowariantnego:

$A^{\mu }=\left({{\varphi } \over {c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)=\left({{\varphi } \over {c}},{\vec {A}}\right)\;$

(26.32)

lub w postaci kowariantnej jako odpowiednim wzoru (26.32), który otrzymamy wymnóżając ostatnio wspomnianą definicję podwójnie kontrwariatnego tensora potencjały tensorowego przez odpowiedni tensor metryczny, tzn. przez tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego η_μν:

$A_{\mu }=A^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left(\pm {{\varphi } \over {c}},\mp {\vec {A}}\right)\;$

(26.33)

Weźmy tensor (26.9) i zdefiniujmy go w oparciu o definicję czterowektora potencjału elektromagnetycznego, zatem tą tożsamość piszemy:

$F^{\mu \nu }={{\partial A^{\mu }} \over {\partial x_{\nu }}}-{{\partial A^{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow F^{\mu \nu }=\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu }{\mbox{ lub }}F^{\mu \nu }={A^{\mu }}^{,\nu }-{A^{\nu }}^{,\mu }\;$

(26.34)

Udowodnijmy w tym celu, że przepis (26.34) przechodzi w tożsamość wcześniej wprowadzoną (20.4), przy tym będziemy korzystać z przedstawienia tensora pola elektromagnetycznego T^μν, zatem przejdźmy do sedna sprawy:

$F^{01}={{\partial A^{0}} \over {\partial x_{1}}}-{{\partial A^{1}} \over {\partial x_{0}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial \varphi } \over {\partial x}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial A_{x}} \over {\partial t}}=\mp {{1} \over {c}}\left(\nabla \varphi +{{\partial A_{x}} \over {\partial t}}\right)_{x}=\pm {{E_{x}} \over {c}}\;$

(26.35)

$F^{02}={{\partial A^{0}} \over {\partial x_{2}}}-{{\partial A^{2}} \over {\partial x_{0}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial \varphi } \over {\partial y}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial A_{y}} \over {\partial t}}=\mp {{1} \over {c}}\left(\nabla \varphi +{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)_{y}=\pm {{E_{y}} \over {c}}\;$

(26.36)

$F^{03}={{\partial A^{0}} \over {\partial x_{3}}}-{{\partial A^{3}} \over {\partial x_{0}}}=\mp {{1} \over {c}}{{\partial \varphi } \over {\partial z}}\mp {{1} \over {c}}{{\partial A_{z}} \over {\partial t}}=\mp {{1} \over {c}}\left(\nabla \varphi +{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)_{z}=\pm {{E_{z}} \over {c}}\;$

(26.37)

Z obliczeń (26.34), (26.35) oraz (26.36) udowodniliśmy, że tożsamość (26.33) przechodzi w napisany wcześniej wzór (20.4). Następnym krokiem jest udowodnienie, że (26.34) przechodzi we wzór (20.1), przy tym będziemy korzystać ze przedstawienia tensora pola elektromagnetycznego T^μν, zatem przejdźmy do sedna sprawy.

$F^{12}={{\partial A^{1}} \over {\partial x_{2}}}-{{\partial A^{2}} \over {\partial x_{1}}}=\mp {{\partial A_{x}} \over {\partial y}}\pm {{\partial A_{y}} \over {\partial x}}=\pm (\nabla \times {\vec {A}})_{z}=\pm B_{z}\;$

(26.38)

$F^{13}={{\partial A^{1}} \over {\partial x_{3}}}-{{\partial A^{3}} \over {\partial x_{1}}}=\mp {{\partial A_{x}} \over {\partial z}}\pm {{\partial A_{z}} \over {\partial x}}=\mp (\nabla \times {\vec {A}})_{y}=\mp B_{y}\;$

(26.39)

$F^{23}={{\partial A^{2}} \over {\partial x_{3}}}-{{\partial A^{3}} \over {\partial x_{2}}}=\mp {{\partial A_{y}} \over {\partial z}}\pm {{\partial A_{z}} \over {\partial y}}=\pm (\nabla \times {\vec {A}})_{x}=\pm B_{x}\;$

(26.40)

Zatem udało nam się udowodnić co zamierzaliśmy. Otrzymaliśmy zatem dwa równania opisujące natężenie pola elektrycznego (20.4) i tożsamość (20.1) na indukcję pola magnetycznego.

Tensorowe równania Maxwella a zgodność z teorią względności

Udowodnimy zgodność tensorowych równań Maxwella dla próżni i materii.

Tensorowe równania Maxwella, a zgodność z teorią względności dla próżni

Zakładamy, że w starym układzie współrzędnych w próżni są spełnione równania tensorowe Maxwella na podstawie ich ogólnego przedstawienia (26.12) i (26.13):

${{\partial {F}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=\pm \mu _{0}{J}^{\mu }\;$

(26.41)

${{\partial {G}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(26.42)

Według szczególnej teorii względności powyższe równania w starym układzie współrzędnych są równoważne równaniom w nowym układzie współrzędnych w formie:

${{\partial {\overline {F}}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}=\pm \mu _{0}{\overline {J}}^{\mu }\;$

(26.43)

${{\partial {\overline {G}}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}=0\;$

(26.44)

Tensor pola elektromagnetycznego (26.9) też jest również tensorem, bo on również transformuje się z jednego układu współrzędnych do innego w sposób:

${\overline {F}}^{\mu \nu }={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }\;$

(26.45)

Podstawmy transformację tensora pola elektromagnetycznego F^μν, który opisuje transformację ze starego do nowego układu współrzędnych, do pierwszego równania tensorowego Maxwella (26.43) do jego lewej strony:

$L={{\partial {\overline {F}}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}{{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}{{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}{{\partial x^{\gamma }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}{{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\gamma }}}={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}\delta _{\beta }^{\gamma }{{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\gamma }}}={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\beta }}}\;$

(26.46)

Napiszmy lewą stronę tensorowego równania Maxwella (26.41), korzystając z wiadomości z metod matematycznych fizyki o tensorach, że ten tensor gęstości objętościowej prądu elektrycznego transformuje się z jednego układu współrzędnych (ze starego) do drugiego układów współrzędnych (do nowego) wedle:

$P=\mu _{0}{\overline {J}}^{\mu }=\mu _{0}{{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\;$

(26.47)

Przyrównajmy obie strony równania (26.41) do siebie, czyli (26.45) z (26.46), wtedy przenieśmy wszystkie wyrazy z jego lewej strony na prawą jakie są i wydzielmy pewne wyrazy pod nawias, w celu udowodnienia niezmienniczości tensorowych równań Maxwella, wtedy dostajemy tożsamość:

${{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}{{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\Rightarrow {{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}\left({{\partial F^{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\beta }}}\mp \mu _{0}J^{\alpha }\right)=0\;$

(26.48)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (26.48) udowodniliśmy, że jeśli zachodzi (26.41) co ono jest równanie spełnione w starym układzie współrzędnych, to w ten sposób udowodniliśmy, że ono także spełnione w nowym układzie odniesienia, co w tym układzie spełniony jest wzór (26.43). Podobnie dowodzimy niezmienniczość drugiego tensorowego równanie Maxwella, że równanie tensorowe co jest spełnione w nowym układzie odniesienia, czyli (26.42), na podstawie tego widzimy, że ten pierwszy wzór przechodzi w ten drugi, czyli we wzór (26.44), i odwrotnie.

Czyli dowodzimy, że nasze równania tensorowe równania Maxwella dla próżni (26.12) i (26.13) są niezależne od wyboru układu odniesienia inercjalnego.

Tensorowe równania Maxwella, a zgodność z teorią względności dla materii

Zakładamy, że w starym układzie współrzędnych w próżni są spełnione równania tensorowe Maxwella na podstawie ich ogólnego przedstawienia (26.24) i (26.25)

${{\partial {S}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=\pm {J}_{sw}^{\mu }\;$

(26.49)

${{\partial {G}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(26.50)

Według szczególnej teorii względności powyższe równania w starym układzie współrzędnych są równoważne równaniom w nowym układzie współrzędnych w formie:

${{\partial {\overline {S}}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}=\pm {\overline {J}}_{sw}^{\mu }\;$

(26.51)

${{\partial {\overline {G}}^{\mu \nu }} \over {\partial {\overline {x}}^{\nu }}}=0\;$

(26.52)

Niezmienniczość od inercjalnego układu odniesienia drugiego tensorowego równania Maxwella (26.25) tak samo się udowodnia jak dla próżni (26.13). W przypadku pierwszego równania (26.24) musimy wykorzystać, że S^μν jest tensorem i transformuje się ze starego układu do nowego w sposób:

${\overline {S}}^{\mu \nu }={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}S^{\alpha \beta }$

(26.53)

Dowód, że równanie tensorowe (26.49) w starym układzie odniesienia przechodzi w wyniku transformacji w równanie w nowym układzie odniesienia wedle postaci (26.51), który jest bardzo podobny jak dla próżni, tylko musimy tym razem zastosować transformację tensora S^μν (26.10) w postaci (26.53).

Tensorowy charakter czteropotencjału, a tensor pola elektromagnetycznego

Następnie udowodnijmy, czy równanie na tensor pola elektromagnetycznego (26.33) napisany w zależności od czteropotencjału prądu elekrycznego (26.32) jest niezależny od układu współrzędnego inercjalnego. Oczywiste jest, że czteropotencjał w elektromagnetyzmie jest tensorem, a więc transformuje się ze starego układu współrzędnych do nowego wedle sposobu:

${\overline {A}}^{\mu }={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}A^{\alpha }\;$

(26.54)

W starym układzie odniesienia powino mieć miejsce wzór ponizej, względem jego postaci ogólnej zapisaną w punkcie (26.34) po zastosowaniu transformacji czeropoencjału (26.32) wedle sposobu:

${\overline {F}}^{\mu \nu }={{\partial {\overline {A}}^{\mu }} \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}-{{\partial {\overline {A}}^{\nu }} \over {\partial {\overline {x}}_{\mu }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}\left({{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}A^{\alpha }\right)-{{\partial } \over {\partial {\overline {x}}_{\mu }}}\left({{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}A^{\beta }\right)={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial x_{\beta }} \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}{{\partial A^{\alpha }} \over {\partial x_{\beta }}}-{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}{{\partial x_{\alpha }} \over {\partial {\overline {x}}_{\mu }}}{{\partial A^{\beta }} \over {\partial x_{\alpha }}}\;$

(26.55)

Ze względu, że równania w szczególnej teorii względności transformujące są tak zbudowane by ich postać była niezmiennicza niezależna od układu odniesienia i współrzędne położenia lub czasu transformują ze starego układu odniesienia do nowego czy odwrotnie, a także wiedząc, że zachodzi tożsamość ${{\partial x_{\beta }} \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}={{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}\;$, wtedy dochodzimy do wniosku:

${\overline {F}}^{\mu \nu }={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}{{\partial A^{\alpha }} \over {\partial x_{\beta }}}-{{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}{{\partial A^{\beta }} \over {\partial x_{\alpha }}}={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}\left({{\partial A^{\alpha }} \over {\partial x_{\beta }}}-{{\partial A^{\beta }} \over {\partial x_{\alpha }}}\right)={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{\nu }} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }\;$

(26.56)

W ten sposób udowodniliśmy, że jeśli czteropotencjał jest tensorem (26.32), to tensor pola elektromagnetycznego również jest nim.

Tensorowe cechowanie Lorentza

Cechowania Lorentza (20.7) możemy zapisać wedle sposobu poniżej. Cechowanie Lorentza przekształćmy, by można było zastosować definicję czteropotencjału, tak by przy gęstości objętościowej ładunku znajdowała się literka c, co określa wartość prędkości światła.

${{\partial \left({{\varphi } \over {c}}\right)} \over {\partial (ct)}}+{{\partial A_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial A_{y}} \over {\partial y}}+{{\partial A_{z}} \over {\partial z}}=0\;$

(26.57)

Korzystając z definicji czteropotencjału (26.32), wtedy wzór (26.57) możemy zapisać w bardziej elegancki tensorowy sposób wedle:

${{\partial A^{\mu }} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(26.58)

Tensorowe równania Maxwella a czteropotencjał i czteroprąd

Korzystając z pierwszego tensorowego równania Maxwella dla próżni (26.12), wtedy do tego wzoru możemy podstawić tożsamość (26.34), wtedy dostajemy:

${{\partial } \over {\partial x^{\nu }}}\left({{\partial A^{\mu }} \over {\partial x_{\nu }}}-{{\partial A^{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\right)=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow {{\partial ^{2}A^{\mu }} \over {\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}-{{\partial ^{2}A^{\nu }} \over {\partial x_{\mu }\partial x^{\nu }}}=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow {{\partial ^{2}A^{\mu }} \over {\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}-{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\left({{\partial A^{\nu }} \over {\partial x^{\nu }}}\right)=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(26.59)

Teraz z korzystajmy z tensorowej postaci cechowania Lorenzta (26.58), wtedy równanie (26.59) przechodzi w równanie poniżej, które to tutaj skorzystamy z definicji operatora dalambercjanu (20.13), wtedy możemy napisać:

${{\partial ^{2}A^{\mu }} \over {\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow \left({{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-\Delta \right)A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow \left(\Delta -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\right)A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow \square A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }\;$

(26.60)

Widzimy, że równanie końcowe tensorowe (26.60) jest odpowiednikiem równania (20.7) i (20.8), wynika to na podstawie definicji czerowektora potencjału elektromagnetycznego (26.32) i czterowektora prądu objętościowego ładunków elektrycznych (26.5).

Czterowektor siły w elektrodynamice

Czterowektor siły definiujemy w oparciu o definicję tensora pola elektrycznego (26.9) oraz o definicję czterowektora prędkości wedle:

$K^{\mu }=-qu_{\nu }F^{\mu \nu }=qu_{\nu }F^{\nu \mu }\;$

(26.61)

I wyznaczmy najpierw trzy kolejne składowe czterowektora siły (26.61) dla parametru μ>0, zatem przejdźmy do dzieła, czyli wyznaczmy współrzędną iksową czterowektora siły, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego (26.9).

$K_{x}=K^{1}=-q\left(u^{0}F^{10}-u^{1}F^{11}-u^{2}F^{12}-u^{3}F^{13}\right)=q{{1} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left[-c\left(-{{E_{x}} \over {c}}\right)+v^{y}B_{z}-v^{z}B_{y}\right]=\;$
$={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{x}={{\gamma } \over {c}}F_{x}\;$

(26.62)

Następnie określmy współrzędną igrekową czterowektora siły wedle (26.61), korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego (26.9).

$K_{y}=K^{2}=-q\left(u^{0}F^{20}-u^{1}F^{21}-u^{2}F^{22}-u^{3}F^{33}\right)={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left(-c\left(-{{E_{y}} \over {c}}\right)-v_{x}B_{z}+v_{z}B_{x}\right)=\;$
$={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{y}={{\gamma } \over {c}}F_{y}\;$

(26.63)

Następnie określmy współrzędną zetową czterowektora siły wedle (26.61), korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego (26.9).

$K_{z}=K^{3}=-q\left(u^{0}F^{30}-u^{1}F^{31}-u^{2}F^{32}-u^{3}F^{33}\right)={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left[-c\left(-{{E_{z}} \over {c}}\right)+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right]=\;$
$={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{z}={{\gamma } \over {c}}F_{z}\;$

(26.64)

Czyli ogólnie otrzymaliśmy na podstawie liczenia współrzędnych czasoprzestrzenych czterowektora siły (26.61) wzór w postaci:

${\vec {K}}={{\gamma } \over {c}}{\vec {F}}\;$

(26.65)

• gdzie:${\vec {F}}\;$ jest to siła Lorentza wprowadzone w punkcie określonym jako (8.3), czyli taki sam wzór mamy w elektromagnetyzmie na tą wielkość.

Transformacja czterowektora siły, a właściwie jej współrzędna przestrzenne wygląda tak samo w szczególnej teorii względności jak w punkcie (26.65). A teraz wyznaczmy element czterosiły (26.61) dla wskaźnika μ=0, zatem zróbmy to:

$K_{t}=K^{0}=-q\left(u^{0}F^{00}-u^{1}F^{01}-u^{2}F^{02}-u^{3}F^{03}\right)={{q} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left(v_{x}{{E_{x}} \over {c}}+v_{y}{{E_{y}} \over {c}}+v_{z}{{E_{z}} \over {c}}\right)=\;$
$={{q} \over {c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}({\vec {v}}\cdot {\vec {E}})=\left[{\vec {v}}\cdot \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]{{q\gamma } \over {c^{2}}}={{{\vec {v}}\cdot {\vec {F}}} \over {c^{2}}}\gamma ={{(m{\vec {v}})\cdot {\vec {F}}} \over {mc^{2}}}\gamma ={{{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}} \over {E}}\gamma \;$

(26.66)

Zbierając wszystkie elementy czterowektora siły, tzn. najpierw jej część czasową (26.66) i później jej część przestrzenną (26.65), zatem mówiąc ogólnie czterowektor siły wyraża się wzorem w naszym przypadku:

$K^{\mu }=\left({{{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}} \over {E}}\gamma ,{{\gamma } \over {c}}{\vec {F}}\right)\;$

(26.67)

Powyższy wzór na czterowektor siły jest ten sam, co wyprowadziliśmy w szczególnej teorii względności, też czterowektora siły, a więc definicja czterowektora siły w elektrodynamice relatywistycznej jest poprawna i zgodna ze szczególną teorią względności ogłoszoną w 1905 przez Einsteina.

Transformacje pól magnetycznych i elektrycznych

Będziemy się zajmować transformacjami względem szczególnej teorii względności pol natężenia i indukcji pola elektrycznego a także natężenia i indukcji pola magnetycznego.

Transformacje natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego

Macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego układu odniesienia inercjalnego w szczególnej teorii względności jest opisana wzorem:

${{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\;$

(26.68)

Skorzystamy też, że tensor pola elektromagnetycznego (26.9) jest tensorem, więc transformuje się według wzoru (26.45) przy macierzy transformacji napisanej wzorem (26.68). wyznaczmy wzory jak transformują się współrzędne natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\pm {{{\overline {E}}_{x}} \over {c}}={\overline {F}}^{01}={{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}F^{00}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{1}}}F^{01}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{0}}}F^{10}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{1}}}F^{11}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}F^{22}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{33}=\;$
$=\pm \gamma ^{2}{{E_{x}} \over {c}}\mp \beta ^{2}\gamma ^{2}{{E_{x}} \over {c}}=\pm {{E_{x}} \over {c}}\gamma ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)=\pm {{E_{x}} \over {c}}\gamma ^{2}\gamma ^{-2}=\pm {{E_{x}} \over {c}}\;$

(26.69)

Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej iksowej pola elektrycznego wedle obliczeń (26.69). Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna igrekowa natężenia pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\pm {{{\overline {E}}_{y}} \over {c}}={\overline {F}}^{02}={{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }={{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}F^{02}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}F^{12}=\pm \gamma {{E_{y}} \over {c}}\mp \gamma \beta B_{z}=\pm {{1} \over {c}}{{E_{y}-uB_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(26.70)

Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej igrekowej pola elektrycznego wedle obliczeń (26.70). Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna zetowa natężenia pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\pm {{{\overline {E}}_{z}} \over {c}}={\overline {F}}^{03}={{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }={{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{03}+{{\partial {\overline {x}}^{0}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{13}=\pm \gamma {{E_{z}} \over {c}}\pm \gamma \beta B_{y}={{1} \over {c}}{{E_{z}+uB_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(26.71)

Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej zetowa pola elektrycznego wedle obliczeń (26.71). Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna iksowa indukcji pola magnetycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\pm {\overline {B}}_{x}={\overline {F}}^{23}={{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{\beta }}}F^{23}={{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{23}=\pm B_{x}\;$

(26.72)

Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej iksowa indukcji pola magnetycznego wedle obliczeń (26.72). Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna igrekowa indukcji pola magnetycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\mp {\overline {B}}_{y}={\overline {F}}^{13}={{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }={{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{03}+{{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{3}} \over {\partial x^{3}}}F^{13}=\mp \gamma \beta {{E_{z}} \over {c}}\mp \gamma B_{y}=\mp {{B_{y}+{{u} \over {c^{2}}}E_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(26.73)

Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej igrekowa pola elektrycznego wedle obliczeń (26.71). Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna zetowa indukcji pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego.

$\pm {\overline {B}}_{z}={\overline {F}}^{12}={{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{\alpha }}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{\beta }}}F^{\alpha \beta }={{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{0}}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}F^{02}+{{\partial {\overline {x}}^{1}} \over {\partial x^{1}}}{{\partial {\overline {x}}^{2}} \over {\partial x^{2}}}F^{12}=\mp \gamma \beta {{E_{y}} \over {c}}\pm \gamma B_{z}=\pm {{B_{z}-{{u} \over {c^{2}}}E_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(26.74)

Jeśli dwa układy inercjalne odniesienia poruszają się zawsze równolegle do siebie, to transformacje natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego przedstawiają się wedle sposobu:

Transformacje natężenie pola elektrycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {E}}_{x}=E_{x}\;$ (26.75)	${\overline {E}}_{y}={{E_{y}-uB_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.76)	${\overline {E}}_{z}={{E_{z}+uB_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.77)
Transformacje indukcji pola magnetycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {B}}_{x}=B_{x}\;$ (26.78)	${\overline {B}}_{y}={{B_{y}+{{u} \over {c^{2}}}E_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.79)	${\overline {B}}_{z}={{B_{z}-{{u} \over {c^{2}}}E_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.80)

• gdzie u jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Podobne rozwiązania otrzymujemy, gdy rozważamy tensor dualny G^μν, transformując go ze starego inercjalnego układu odniesienia do nowego. Gdy mamy stary i nowy układ współrzędnych ogólnie nieprostokątne trójwymiarowe, w którym prędkość nowego układu współrzędnych ma jakiś kierunek ogólnie nierównoległy do osi OX starego układu współrzędnych oraz gdy nowy układ odniesienia jest ogólnie nierównoległy do starego, wiedząc, że układ prostokątny trójwymiarowy stary i nowy, na samym początku przed przejściem na układy ogólnie nieprostokątne, są do siebie równoległe i prędkość nowego układu współrzędnych jest równoległa do osi OX względem starego układu odniesienia, dokonując transformacji obrotu osi starego i nowego układu współrzędnych oraz transformując współrzędne i wersory z tych układów prostokątnych, tzn. przechodząc z tych układów trójwymiarowych prostokątnych starego i nowego równoległych względem siebie, mamy:

Transformacje natężenie pola elektrycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {\vec {E}}}_{||}=C_{p}{\vec {E}}_{||}\;$ (26.81)	${\overline {\vec {E}}}_{\perp }=C_{p}{{{\vec {E}}_{\perp }+{\vec {u}}\times {\vec {B}}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.82)
Transformacje indukcji pola magnetycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {\vec {B}}}_{||}=C_{p}{\vec {B}}_{||}\;$ (26.83)	${\overline {\vec {B}}}_{\perp }=C_{p}{{{\vec {B}}_{\perp }-{{{\vec {u}}\times {\vec {E}}} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.84)

• gdzie ${\vec {u}}\;$ jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Transformacje indukcji pola elektrycznego i natężenia pola magnetycznego

Transformacje pola indukcji elektrycznej otrzymujemy z transformacji natężenia pola elektrycznego poprzez zastąpienie: ${{\vec {E}} \over {c}}\rightarrow c{\vec {D}}\Rightarrow {\vec {E}}\rightarrow c^{2}{\vec {D}}$, a natężenia pola elektrycznego z transformacji indukcji pola magnetycznego poprzez zastąpienie ${\vec {B}}\rightarrow {\vec {H}}$, to wszystko robimy dla transformacji natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego, wtedy dochodzimy do wniosku:

Transformacje indukcji pola elektrycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {D}}_{x}=D_{x}\;$ (26.85)	${\overline {D}}_{y}={{D_{y}-{{u} \over {c^{2}}}H_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.86)	${\overline {D}}_{z}={{D_{z}+{{u} \over {c^{2}}}H_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.87)
Transformacje natężenia pola magnetycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {H}}_{x}=H_{x}\;$ (26.88)	${\overline {H}}_{y}={{H_{y}+uD_{z}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.89)	${\overline {H}}_{z}={{H_{z}-uD_{y}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.90)

• gdzie u jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Gdy mamy stary i nowy układ współrzędnych ogólnie nieprostokątne trójwymiarowe, w którym prędkość nowego układu współrzędnych ma jakiś kierunek ogólnie nierównoległy do osi OX starego układu współrzędnych oraz gdy nowy układ odniesienia jest ogólnie nierównoległy do starego, wiedząc, że układ prostokątny trójwymiarowy stary i nowy, na samym początku przed przejściem na układy ogólnie nieprostokątne, są do siebie równoległe i prędkość nowego układu współrzędnych jest równoległa do osi OX względem starego układu odniesienia, dokonując transformacji obrotu osi starego i nowego układu współrzędnych oraz transformując współrzędne i wersory z tych układów prostokątnych, tzn. przechodząc z tych układów trójwymiarowych prostokątnych starego i nowego równoległych względem siebie, mamy:

Transformacje indukcji pola elektrycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {\vec {D}}}_{||}=C_{p}{\vec {D}}_{||}\;$ (26.91)	${\overline {\vec {D}}}_{\perp }=C_{p}{{{\vec {D}}_{\perp }+{{{\vec {u}}\times {\vec {H}}} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.92)
Transformacje natężenia pola magnetycznego ze starego układu odniesienia do nowego
${\overline {\vec {H}}}_{||}=C_{p}{\vec {H}}_{||}\;$ (26.93)	${\overline {\vec {H}}}_{\perp }=C_{p}{{{\vec {H}}_{\perp }-{\vec {u}}\times {\vec {D}}} \over {\sqrt {1-{{u^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (26.94)

Ważniejsza tożsamość elektrodynamiki klasycznej

Bardzo ważną tożsamością występującą w elektrodynamice klasycznej w przestrzeni Minkowskiego jest to tożsamość zdefiniowana przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego (26.9) w postaci:

$F_{\mu \nu ,\gamma }+F_{\gamma \mu ,\nu }+F_{\nu \gamma ,\mu }=0\;$

(26.95)

Tożsamość fizyczną (26.95) możemy udowodnić podstawiając do niego (26.34), zatem do dzieła.

$\left(A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\right)_{,\gamma }+\left(A_{\gamma ,\mu }-A_{\mu ,\gamma }\right)_{,\nu }+\left(A_{\nu ,\gamma }-A_{\gamma ,\nu }\right)_{,\mu }=0\;$

(26.96)

Aby dokończyć dalszą część dowodu należy wykorzystać twierdzenie o pochodnej różnicy i grupując wyrazy, zatem na podstawie tego mamy:

${A_{\mu ,\nu ,\gamma }}-{A_{\mu ,\gamma ,\nu }}+{A_{\gamma ,\mu ,\nu }}-{A_{\gamma ,\nu ,\mu }}+{A_{\nu ,\gamma ,\mu }}-{A_{\nu ,\mu ,\gamma }}=0\;$

(26.97)

W równaniu (26.97) wszystkie wyrazy parami są równe zero. Zatem powyższe wyrażenie jest zawsze równe zero, ze względu, że różniczkowanie cząstkowe w tym przypadku kowariantne jest zawsze działaniem względem siebie przemiennym według praw matematyki analizy matematycznej. Na tej podstawie tożsamość fizyczna (26.95) jest twierdzeniem prawdziwym.