Elektrodynamika klasyczna/Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj wyprowadzać zasady elektromagnetyzmu z zasad wariacyjnych, na podstawie tego, aby funkcjonał S przyjmował wartość najmniejszą.

Zasada wariacyjna a równania tensorowe elektromagnetyzmu z definicją czteroprądu

edytuj

Gęstość Lagrangianu w elektromagnetyzmie definiujemy przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego (26.9) i przy pomocy definicji czteroprądu objętościowego napisanej wedle schematu (26.5). Zatem napiszmy dla obu sygntur tensora Minkowskiego szczególnej teorii względności (znak u góry sygnatura dodatnia, u dołu ujemna):

(27.1)

Całką działania nazywamy wyrażenie zdefiniowane na podstawie definicji gęstości lagrangianu (27.1) w postaci:

(27.2)

Wariacji całki działania (27.2) zakładamy, że ona jest równa zero, wtedy na podstawie tego powinniliśmy otrzymać tensorowe równanie Maxwella (26.12), zatem sprawdźmy, czy o nam wyjdzie.

(27.3)

W wariację funkcjonału S (27.2), czyli δS (27.3), liczymy względem gęstości objętościowej czteroprądu (26.5) (Jμ), czeropotencjału i tensora pola elektromagnetycznego. Idąc dalej wykorzystajmy wzór na tensor pola elektromagnetycznego wyznaczony w zależności od czteropotencjału, czyli wzoru (26.34).

(27.4)

W obliczeniach (27.4) wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania, wiedząc że tensor pola elektromagnetycznego Fμν (26.9) jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zamianie wskaźników miejscami w tym wspomnianym tensorze przed tym tensorem pojawia się znak minus, czyli Fμν=-Fνμ.

(27.5)

Następnym krokiem jest wykorzystanie definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji do pierwszego wyrazu w obliczeniach (27.5), zatem w takim przypadku dostajemy równość:

(27.6)

Dalszym krokiem jest rozdzielenie w wariacji (27.6) na dwie osobne całki z twierdzenia na całkę sumy dwóch wyrażeń podcałkowych jako sumę całek, w których występują te wyrażenia podcałkowe, wtedy mamy wniosek:

(27.7)

Pierwsza całka w obliczeniach (27.7) jest zawsze równa zero, ponieważ można go rozpisać względem całkowania po zmiennej xμ, i zakładamy, że wariancja czteropotencjału na końcach xμ2 i xμ1 jest równa zero, co możemy powiedzieć, że:

(27.8)

Jeśli wykorzystamy nasz warunek (27.8) do wariacji δS (27.7), zatem to samo wyrażenie możemy przepisać po wyzerowaniu się według przeprowadzonego naszego dowodu powyżej, zatem tą naszą wspomnianą tożsamość piszemy w postaci:

(27.9)

Aby wariancja funkcjonału Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. była równa zero dla dowolnej wariacji wielkości czteropotencjału Aμ, to wyrażenie podcałkowe w ostatnim wniosku powinno być równa zero, zatem na tej podstawie powinna zachodzić tożsamość: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równoważne z równaniem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem gęstość lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest poprawnym Lagrangianem, czyli wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest poprawnym wzorem tensorowym z definicją tensora pola elektromagnetycznego napisanego wzorem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Lagrangian relatywistyczny pola elektromagnetostatycznego

edytuj

Lagrangian w elektrodynamice relatywistycznej definiujemy przy pomocy potencjału skalarnego φ i wektorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy prędkości cząstki równym Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy rozpatrywanej cząstce o ładunku o wartości q, przedstawiamy według: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pęd uogólniony w elektrodynamice jest napisany jako pochodna cząstkowa Lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem wektora prędkości, mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pęd uogólniony w polu elektromagnetycznym jest równy sumie pędu klasycznego znanej ze szczególnej teorii względności i iloczynowi ładunku cząstki i potencjału wektorowego tego pola. Zatem dochodzimy do wniosku, że ten pęd to nie jest zwykły iloczyn masy relatywistycznej i prędkości cząstki, zachodzi tak tylko w polu bez potencjału wektorowego. Równanie wariacyjne Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest dokładnie takie same w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. W tym wzorze w pierwszym wyrazie pod pochodną zupełną względem czasu występuje pęd uogólniony cząstki Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem rozważając prawie tak samo jak w tym rozdziale, w którym znajduje się ostatnio wspomniany wzór, wtedy dochodzimy do wzoru na równanie ruchu cząstki punktowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., tylko po lewej stronie wzoru występuje nie siła klasyczna Newtona według drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko siła relatywistyczna Einsteina. Co kończy dowód, że z zasady najmniejszego działania przy definicji Lagragianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wynika dobrze nam znane równanie ruchu.

Lagrangian relatywistyczny cząstki, w przybliżeniu małych prędkości, dla pola elektromagnetostatycznego

edytuj

Lagrangian relatywistyczny cząstki punktowej o ładunku q Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla prędkości o wiele mniejszej od prędkości światła, czyli wtedy zachodzi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy na podstawie tego pierwiastek w nim występujący można rozwinąć w szereg Taylora, wtedy dla tego przybliżenia dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W wyrażeniu przybliżonym Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w stosunku do jej odpowiednika klasycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. różni się o stałą -m0c2, która w tym przypadku nie odgrywa żadnej roli, ponieważ w równaniu Eulera-Lagrange'a Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. występują pochodne cząstkowe i ta stała według twierdzenia o pochodnej sumy nic nie wnosi we końcowym wniosku.

Relatywistyczny hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego

edytuj

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetostatycznym, korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu relatywistycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także z definicji pędu uogólnionego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla pola elektromagnetostatycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że wedle końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. hamiltonian ładunku punktowego, to jest po prostu jego energia mechaniczna (całkowita), która jest sumą całkowitej energii relatywistycznej cząstki mc2 i jego energii potencjalnej qφ.

Lagrangian a czterowektor potencjału i różniczki zmiany położenia cząstki w czasoprzestrzeni

edytuj

Wykorzystując definicję czteropotencjału kowariantnego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i definicję położenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności, wtedy definicję Lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy zapisać w równoważnej postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wedle przekazów z obliczeń przeprowadzonych w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. iloczyn wspomnianego Lagrangianu L i różniczki czasu, w której badamy ruch badanej cząstki jest wyrażony: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Całka działania Lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest całką naszego Lagrangianu względem czasu i na podstawie wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równa jego przedstawieniu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Równanie ruchu w czteroprzestrzeni Minkowskiego

edytuj

Zasada najmniejszego działania stwierdza, że względem funkcjonału Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wariacja tegoż obiektu jest równa zero, tzn.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Z definicji różniczki wariacji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wariację Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. po jego działaniu na wnętrze jego nawiasu, stwierdzamy, że na pewno zachodzi: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. We wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. stosujemy definicję kowariantnego czterowektora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także całkujemy przez części jego pierwszy i drugi wyraz, dalej grupując odpowiednio wyrazy, otrzymujemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Drugi wyraz w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równy zero, bo przy wariowaniu całki należy uwzględnić, że współrzędne mają ustalone wartości na końcach przedziału całkowania. Dalej należy uwzględnić tożsamości:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Jeśli podstawimy tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to otrzymamy do tego ostatniego równoważny wzór: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wskaźniki μ i ν są wskaźnikami niemymi, więc w trzecim jego wyrazie pod całką Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zamieniamy miejscami te wskaźniki, a także dla wyrazu drugiego i trzeciego stosujemy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wynikająca z defiicji kontrawariannej czteroprędkości, zatem na podstawie wyżej wymienionej tożsamości otrzymujemy wzór: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. rozpatrujemy dowolne wariacje zmiennej μ, dla której cała całka jest równa zero, wtedy wyrażenie podcałkowe musi być zawsze być równa zero, zatem: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wykorzystujemy definicję tensora pola elektromagnetycznego podwójnie kowariantnego przy pomocy kowariantnego czteropotencjału Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli tożsamości fizycznej równoważnej do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje bardziej uproszczoną postać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jeśli wprowadzimy definicję czteropędu w szczególnej teorii względności we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i wykorzystamy definicję czterosiły znanej w szczególnej teorii względności i także wykorzystamy, że tensor pola elektromagnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest tensorem antysymetrycznym, wtedy mamy wniosek: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ten sam wzór co Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., który otrzymaliśmy z zasady wariacyjnej, napisaliśmy w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., którego zgodność ze szczególną teorią względności i z definicja siły Lorentza Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. udowodniliśmy wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem te dwie metody prowadzą do takiej samej definicji czterowektora siły Kμ.