Elektrodynamika klasyczna/Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj wyprowadzać zasady elektromagnetyzmu z zasad wariacyjnych, na podstawie tego, aby funkcjonał S przyjmował wartość najmniejszą.

Zasada wariacyjna a równania tensorowe elektromagnetyzmu z definicją czteroprądu

Gęstość Lagrangianu w elektromagnetyzmie definiujemy przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego (26.9) i przy pomocy definicji czteroprądu objętościowego napisanej wedle schematu (26.5). Zatem napiszmy dla obu sygntur tensora Minkowskiego szczególnej teorii względności (znak u góry sygnatura dodatnia, u dołu ujemna):

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\;$

(27.1)

Całką działania nazywamy wyrażenie zdefiniowane na podstawie definicji gęstości lagrangianu (27.1) w postaci:

$S=\int d^{4}x{\mathfrak {L}}=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right]\;$

(27.2)

Wariacji całki działania (27.2) zakładamy, że ona jest równa zero, wtedy na podstawie tego powinniliśmy otrzymać tensorowe równanie Maxwella (26.12), zatem sprawdźmy, czy o nam wyjdzie.

$\delta S=\delta \int d^{4}x\left[-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right]=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\mu \nu }\delta F_{\mu \nu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }\delta F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]\;$

(27.3)

W wariację funkcjonału S (27.2), czyli δS (27.3), liczymy względem gęstości objętościowej czteroprądu (26.5) (J^μ), czeropotencjału i tensora pola elektromagnetycznego. Idąc dalej wykorzystajmy wzór na tensor pola elektromagnetycznego wyznaczony w zależności od czteropotencjału, czyli wzoru (26.34).

$\delta S=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {2\mu _{0}}}F_{\mu \nu }\delta F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {2\mu _{0}}}F_{\mu \nu }\left[\partial ^{\nu }\left(\delta A^{\mu }\right)-\partial ^{\mu }\left(\delta A^{\nu }\right)\right]\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]\;$

(27.4)

W obliczeniach (27.4) wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania, wiedząc że tensor pola elektromagnetycznego F^μν (26.9) jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zamianie wskaźników miejscami w tym wspomnianym tensorze przed tym tensorem pojawia się znak minus, czyli F^μν=-F^νμ.

$\delta S=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {2\mu _{0}}}\left[F_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\left(\delta A^{\mu }\right)-F_{\mu \nu }\partial ^{\mu }\left(\delta A^{\nu }\right)\right]\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {\mu _{0}}}F_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\left(\delta A^{\mu }\right)\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]\;$

(27.5)

Następnym krokiem jest wykorzystanie definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji do pierwszego wyrazu w obliczeniach (27.5), zatem w takim przypadku dostajemy równość:

$\delta S=\int d^{4}x\left[-{{1} \over {\mu _{0}}}\partial ^{\nu }\left(F_{\mu \nu }\delta A^{\mu }\right)+{{1} \over {\mu _{0}}}\partial ^{\nu }F_{\mu \nu }\delta A^{\mu }\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right]\;$

(27.6)

Dalszym krokiem jest rozdzielenie w wariacji (27.6) na dwie osobne całki z twierdzenia na całkę sumy dwóch wyrażeń podcałkowych jako sumę całek, w których występują te wyrażenia podcałkowe, wtedy mamy wniosek:

$\delta S=-{{1} \over {\mu _{0}}}\int d^{4}x\partial ^{\nu }\left(F_{\mu \nu }\delta A^{\mu }\right)+\int d^{4}x\left({{1} \over {\mu _{0}}}\partial _{\nu }F^{\mu \nu }\delta A_{\mu }\mp J^{\mu }\delta A_{\mu }\right)\;$

(27.7)

Pierwsza całka w obliczeniach (27.7) jest zawsze równa zero, ponieważ można go rozpisać względem całkowania po zmiennej x^μ, i zakładamy, że wariancja czteropotencjału na końcach x^μ₂ i x^μ₁ jest równa zero, co możemy powiedzieć, że:

$\int d^{4}x\partial ^{\nu }\left(F_{\mu \nu }\delta A^{\mu }\right)=\int dx^{3}F_{\mu \nu }\delta A^{\mu }{\bigg |}_{x_{1}^{\nu }}^{x_{2}^{\nu }}=0\;$

(27.8)

Jeśli wykorzystamy nasz warunek (27.8) do wariacji δS (27.7), zatem to samo wyrażenie możemy przepisać po wyzerowaniu się według przeprowadzonego naszego dowodu powyżej, zatem tą naszą wspomnianą tożsamość piszemy w postaci:

$\delta S=\int d^{4}x\left({{1} \over {\mu _{0}}}\partial _{\nu }F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }\right)\delta A_{\mu }\;$

(27.9)

Aby wariancja funkcjonału (27.9) była równa zero dla dowolnej wariacji wielkości czteropotencjału A_μ, to wyrażenie podcałkowe w ostatnim wniosku powinno być równa zero, zatem na tej podstawie powinna zachodzić tożsamość:

${{1} \over {\mu _{0}}}\partial _{\nu }F^{\mu \nu }\mp J^{\mu }=0\Rightarrow \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow {F^{\mu \nu }}_{,\nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(27.10)

Widzimy, że równanie (27.10) jest równoważne z równaniem (26.12), zatem gęstość lagrangianu (27.1) jest poprawnym Lagrangianem, czyli wzór (27.10) jest poprawnym wzorem tensorowym z definicją tensora pola elektromagnetycznego napisanego wzorem (26.34).

Lagrangian relatywistyczny pola elektromagnetostatycznego

Lagrangian w elektrodynamice relatywistycznej definiujemy przy pomocy potencjału skalarnego φ i wektorowego ${\vec {A}}\;$ przy prędkości cząstki równym ${\vec {v}}\;$ przy rozpatrywanej cząstce o ładunku o wartości q, przedstawiamy według:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(27.11)

Pęd uogólniony w elektrodynamice jest napisany jako pochodna cząstkowa Lagrangianu (27.11) względem wektora prędkości, mamy:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q{\vec {A}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(27.12)

Pęd uogólniony w polu elektromagnetycznym jest równy sumie pędu klasycznego znanej ze szczególnej teorii względności i iloczynowi ładunku cząstki i potencjału wektorowego tego pola. Zatem dochodzimy do wniosku, że ten pęd to nie jest zwykły iloczyn masy relatywistycznej i prędkości cząstki, zachodzi tak tylko w polu bez potencjału wektorowego. Równanie wariacyjne Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu (27.11) jest dokładnie takie same w (STW-28.30). W tym wzorze w pierwszym wyrazie pod pochodną zupełną względem czasu występuje pęd uogólniony cząstki (27.12). Zatem rozważając prawie tak samo jak w tym rozdziale, w którym znajduje się ostatnio wspomniany wzór, wtedy dochodzimy do wzoru na równanie ruchu cząstki punktowej (STW-28.39), tylko po lewej stronie wzoru występuje nie siła klasyczna Newtona według drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko siła relatywistyczna Einsteina. Co kończy dowód, że z zasady najmniejszego działania przy definicji Lagragianu (27.11) wynika dobrze nam znane równanie ruchu.

Lagrangian relatywistyczny cząstki, w przybliżeniu małych prędkości, dla pola elektromagnetostatycznego

Lagrangian relatywistyczny cząstki punktowej o ładunku q (27.11) dla prędkości o wiele mniejszej od prędkości światła, czyli wtedy zachodzi ${{v} \over {c}}<<1\;$, wtedy na podstawie tego pierwiastek w nim występujący można rozwinąć w szereg Taylora, wtedy dla tego przybliżenia dostajemy:

$L=-m_{0}c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}+...\right)-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\simeq -m_{0}c^{2}+{{1} \over {2}}m_{0}{\vec {v}}{\vec {v}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(27.13)

W wyrażeniu przybliżonym (27.13) w stosunku do jej odpowiednika klasycznego (STW-28.4) różni się o stałą -m₀c², która w tym przypadku nie odgrywa żadnej roli, ponieważ w równaniu Eulera-Lagrange'a (STW-28.30) występują pochodne cząstkowe i ta stała według twierdzenia o pochodnej sumy nic nie wnosi we końcowym wniosku.

Relatywistyczny hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetostatycznym, korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu relatywistycznego (27.11), a także z definicji pędu uogólnionego (27.12) dla pola elektromagnetostatycznego:

$H={\vec {p}}{\vec {v}}-L=(m{\vec {v}}+q{\vec {A}}){\vec {v}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi -q{\vec {v}}{\vec {A}}=m{\vec {v}}{\vec {v}}+q{\vec {A}}{\vec {v}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi ={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}v^{2}+\;$
$+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi ={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\left(v^{2}+c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\right)+q\varphi ={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)+q\varphi ={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi =\;$
$=mc^{2}+q\varphi \Rightarrow H=mc^{2}+q\varphi$

(27.14)

Widzimy, że wedle końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (27.14) hamiltonian ładunku punktowego, to jest po prostu jego energia mechaniczna (całkowita), która jest sumą całkowitej energii relatywistycznej cząstki mc² i jego energii potencjalnej qφ.

Lagrangian a czterowektor potencjału i różniczki zmiany położenia cząstki w czasoprzestrzeni

Wykorzystując definicję czteropotencjału kowariantnego (26.33) i definicję położenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności, wtedy definicję Lagrangianu (27.11) możemy zapisać w równoważnej postaci:

$L=-m_{0}c^{2}{{ds} \over {cdt}}-q\left({{\varphi } \over {c}},-{\vec {A}}\right)\left({{cdt} \over {dt}},{{dx^{i}} \over {dt}}\right)=-m_{0}c^{2}{{ds} \over {cdt}}\mp qA_{\mu }{{dx^{\mu }} \over {dt}}\;$

(27.15)

Wedle przekazów z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (27.15) iloczyn wspomnianego Lagrangianu L i różniczki czasu, w której badamy ruch badanej cząstki jest wyrażony:

$Ldt=-m_{0}cds\mp qA_{\mu }dx^{\mu }\;$

(27.16)

Całka działania Lagrangianu (27.15) jest całką naszego Lagrangianu względem czasu i na podstawie wzoru (27.16) jest równa jego przedstawieniu:

$S=\int Ldt=\int \left(-m_{0}cds\mp qA_{\mu }dx^{\mu }\right)\;$

(27.17)

Równanie ruchu w czteroprzestrzeni Minkowskiego

Zasada najmniejszego działania stwierdza, że względem funkcjonału (27.17), wariacja tegoż obiektu jest równa zero, tzn.:

$\delta S=\delta \int _{a}^{b}\left(-m_{0}cds\mp qA_{\mu }dx^{\mu }\right)=0\;$

(27.18)

Z definicji różniczki wariacji $ds={\sqrt {dx_{\mu }dx^{\mu }}}\;$ wariację (27.18) po jego działaniu na wnętrze jego nawiasu, stwierdzamy, że na pewno zachodzi:

$\delta S=\int _{a}^{b}\left(\mp m_{0}c{{dx_{\mu }d\delta x^{\mu }} \over {ds}}\mp qA_{\mu }d\delta x^{\mu }\mp q\delta A_{\mu }dx^{\mu }\right)=0\Rightarrow \mp \int _{a}^{b}\left(m_{0}c{{dx_{\mu }d\delta x^{\mu }} \over {ds}}+qA_{\mu }d\delta x^{\mu }+q\delta A_{\mu }dx^{\mu }\right)=0\;$

(27.19)

We wzorze (27.19) stosujemy definicję kowariantnego czterowektora prędkości $u_{\mu }={{dx_{\mu }} \over {ds}}\;$, a także całkujemy przez części jego pierwszy i drugi wyraz, dalej grupując odpowiednio wyrazy, otrzymujemy:

$\int _{a}^{b}\left(m_{0}cdu_{\mu }\delta x^{\mu }+q\delta x^{\mu }dA_{\mu }-q\delta A_{\mu }dx^{\mu }\right)-\left(m_{0}cu_{\mu }+qA_{\mu }\right)\delta x^{\mu }{\Bigg |}_{a}^{b}=0\;$

(27.20)

Drugi wyraz w (27.20) jest równy zero, bo przy wariowaniu całki należy uwzględnić, że współrzędne mają ustalone wartości na końcach przedziału całkowania. Dalej należy uwzględnić tożsamości:

$\delta A_{\mu }=A_{\mu ,\nu }\delta x^{\nu }\;$

(27.21)

$dA_{\mu }=A_{\mu ,\nu }dx^{\nu }\;$

(27.22)

Jeśli podstawimy tożsamości (27.21) i (27.22) do (27.20), to otrzymamy do tego ostatniego równoważny wzór:

$\int _{a}^{b}\left(m_{0}cdu_{\mu }\delta x^{\mu }+qA_{\mu ,\nu }\delta x^{\mu }dx^{\nu }-qA_{\mu ,\nu }dx^{\mu }\delta x^{\nu }\right)=0\;$

(27.23)

Ponieważ we wzorze (27.23) wskaźniki μ i ν są wskaźnikami niemymi, więc w trzecim jego wyrazie pod całką (27.23) zamieniamy miejscami te wskaźniki, a także dla wyrazu drugiego i trzeciego stosujemy wzór $dx^{\mu }=u^{\mu }ds\;$ wynikająca z defiicji kontrawariannej czteroprędkości, zatem na podstawie wyżej wymienionej tożsamości otrzymujemy wzór:

$\int _{a}^{b}\left[m_{0}c{{du_{\mu }} \over {ds}}-q\left(A_{\nu ,\mu }-A_{\mu ,\nu }\right)u^{\nu }\right]\delta x^{\mu }ds=0\;$

(27.24)

Ponieważ we wzorze (27.24) rozpatrujemy dowolne wariacje zmiennej ^μ, dla której cała całka jest równa zero, wtedy wyrażenie podcałkowe musi być zawsze być równa zero, zatem:

$m_{0}c{{du_{\mu }} \over {ds}}-q\left(A_{\nu ,\mu }-A_{\mu ,\nu }\right)u^{\nu }=0\;$

(27.25)

Wykorzystujemy definicję tensora pola elektromagnetycznego podwójnie kowariantnego przy pomocy kowariantnego czteropotencjału (26.33), czyli tożsamości fizycznej równoważnej do (26.34), wtedy wzór (27.25) przyjmuje bardziej uproszczoną postać:

$m_{0}c{{du_{\mu }} \over {ds}}=qF_{\nu \mu }u^{\nu }\Rightarrow m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}=qF^{\nu \mu }u_{\nu }\;$

(27.26)

Jeśli wprowadzimy definicję czteropędu w szczególnej teorii względności we wzorze (27.26) i wykorzystamy definicję czterosiły znanej w szczególnej teorii względności i także wykorzystamy, że tensor pola elektromagnetycznego (26.9) jest tensorem antysymetrycznym, wtedy mamy wniosek:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=qF^{\nu \mu }u_{\nu }\Rightarrow K^{\mu }=-qF^{\mu \nu }u_{\nu }\;$

(27.27)

Ten sam wzór co (27.27), który otrzymaliśmy z zasady wariacyjnej, napisaliśmy w punkcie (26.61), którego zgodność ze szczególną teorią względności i z definicja siły Lorentza (8.3) udowodniliśmy wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego (26.9). Zatem te dwie metody prowadzą do takiej samej definicji czterowektora siły K^μ.