Elektrodynamika klasyczna/Magnetostatyka

Magnetostatyka

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Magnetostatyka nazywamy działem elektrodynamiki klasycznej, w której pole magnetyczne opisywane przez ten dział fizyki jest stałe, nie zależy od czasu we wszystkich punktach w przestrzeni.

Własności wielkości charakterystycznych pola w magnetostatyce

Pole w magnetostatyce jest to pole, którymi przyczynkami są prądy stałe płynące w jakichś przewodnikach, natężenie prądu źródła jest niezmienne, wtedy pole magnetyczne nie zmienia się, wtedy mówimy, że pole jest stałe, wtedy doczynienia mamy z magnetostatyką.

Siły magnetyczne

Załóżmy, że mamy jeden przewodnik, w którym płynie stały prąd, przewodnik ten nie jest w ogólności linią prostą. Jeśli w tym polu umieścimy ładunek próbny, które porusza się z jakoś prędkością, w ogólności nie prostopadłą do wektora indukcji pola magnetycznego, to wtedy na ten ładunek działa siłę magnetyczna:

${\vec {F}}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}})\;$

(8.1)

• gdzie:
  • ${\vec {B}}\;$ - jest to wektor indukcji magnetycznej charakteryzujący pole magnetyczne.
  • ${\vec {v}}\;$ - jest to prędkość ładunku q.

Widzimy jednak, gdy wektor prędkości ładunku próbnego jest równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego, czyli:${\vec {v}}||{\vec {B}}\;$, to wtedy siła działająca ze strony pola na ten ładunek jest równa zero (${\vec {F}}=0\;$).

Gdy prędkość cząstki jest prostopadła do wektorów indukcji magnetycznej pola, czyli zachodzi:${\vec {v}}\bot {\vec {B}}\;$ w danym punkcie, to wtedy na ładunek próbny pole magnetyczne działa z maksymalną siłą o wartości:

$F_{max}=qvB\;$

(8.2)

Wartością wektora indukcji nazywamy stosunek maksymalnej siły działającej na ładunek q ze strony pola magnetycznego przez iloczyn ładunku elektrycznego posiadanej przez to ciało w tym polu przez wartość jego prędkości. Należy pamiętać, że siła w ogólności działająca na ciało o ładunku q zależy od kąta pomiędzy wektorem indukcji pola i prędkością badanej cząstki.

Siły Lorentza

Jeśli oprócz sił magnetycznych (8.1) uwzględnimy siły elektryczne (1.2) (po wyznaczeniu z niego wektora siły), to siła Lorentza działająca na ciało o ładunku q jest równa sumie tych siły, tzn. siły pochodzących od pola elektrycznego i od pola magnetycznego, wynosi:

${\vec {F}}=q{\vec {E}}+q({\vec {v}}\times {\vec {B}})\Rightarrow {\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\;$

(8.3)

• gdzie:${\vec {E}}\;$ jest wektor natężenia pola elektrycznego.

Czy siły magnetyczne wykonują pracę

Praca wykonywana przez siły magnetyczne jest równa zero ze względu na prostopadłość sił magnetycznych do prędkości cząstki o ładunku q, co udowodnimy poniżej:

$W=\int dW=\int {\vec {F}}d{\vec {r}}=\int q({\vec {v}}\times {\vec {B}}){\vec {v}}dt=0\;$

(8.4)

• ponieważ zachodzi:${\vec {F}}\bot {\vec {v}}\;$

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że siły magnetyczne nie wykonują pracy na podstawie dowodu (8.4).

Objętościowa gęstość prądu

Rozpatrzmy pewne rozumowanie, które jest natężeniem prądu wyrażone w zależności od koncentracji elektronów w nośniku n, jego przekroju S oraz średniej wartości prędkości tychże cząstek v:

$I={{dq} \over {dt}}={{neSvdt} \over {dt}}=neSv\;$

(8.5)

Zdefiniujmy gęstość prądu jako iloraz natężenia prądu przez przekrój przewodnika, w którym płynie ten prąd jako:

${\vec {J}}={{I} \over {S}}{\vec {n}}\;$

(8.6)

• gdzie:${\vec {n}}\;$ jest to kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu.

Natężenie prądu wyrażone wedle (8.5) podstawiamy do wzoru na wektor gęstości prądu elektrycznego, co w ostatecznych perypetiach ta wielkość wyrażamy poprzez iloczyn koncentracji ładunków e pomnożonej przez ten ładunek i wektor prędkości ładunków prądu elektrycznego, co ostatecznie możemy tą wielkość przestawić jako:

${\vec {J}}=ne{\vec {v}}\;$

(8.7)

Widzimy, że wektor gęstości prądu elektrycznego jest równoległy do prędkości nośników omawianego obiektu.

Prądy objętościowe a siły magnetyczne

(Rys. 8.1) Reguła lewej ręki

Policzmy jakie siły działają na nieskończenie mały element długości przewodnika z prądem:

$d{\vec {F}}=dq({\vec {v}}\times {\vec {B}})=dq\left({{d{\vec {l}}} \over {dt}}\times {\vec {B}}\right)={{dq} \over {dt}}(d{\vec {l}}\times {\vec {B}})=I(d{\vec {l}}\times {\vec {B}})=dl({\vec {I}}\times {\vec {B}})\;$

(8.8)

• gdzie $d{\vec {l}}\;$ ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu elektrycznego w przewodniku.

Zwrot elementarnej siły:$d{\vec {F}}$, określamy regułą lewej ręki, co jest pokazane na rysunku obok. Całkowia siła pola magnetycznego działająca na przewodnik z prądem jest wyrażona:

${\vec {F}}=\int d{\vec {F}}=\int I(d{\vec {l}}\times {\vec {B}})\;$

(8.9)

Powyższy wzór uwzględnia również kształt przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I.

Powierzchniowa gęstość prądu

Zakładamy tutaj, że prąd płynie po nieskończenie małym wycinku z minus nieskończoności do plus nieskończoności, przy czym zakładamy, że ten wycinek nie jest w ogólności linią prostą.

Powierzchniowa gęstość ładunku jest wyrażona przez:

${\vec {K}}={{d{\vec {I}}} \over {dl_{\bot }}}\;$

(8.10)

Inaczej wyrażając różniczkę natężenia prądu płynącego w przewodniku o szerokości $dl_{\bot }\;$ przez iloczyn gęstości powierzchniowej i prędkości nośników prądu, tak jak w (8.5), tylko zamiast gęstości objętościowej jest gęstość powierzchniowa, a zamiast przekroju S jest szerokość przewodnika powierzchniowego.

${\vec {K}}={{d{\vec {I}}} \over {dl_{\bot }}}={{\sigma dl_{\bot }{\vec {v}}} \over {dl_{\bot }}}=\sigma {\vec {v}}\;$

(8.11)

Dochodzimy do wniosku wedle wyprowadzenia (8.11), że gęstość powierzchniowa prądu jest równa iloczynowi prędkości nośników prądu przez gęstość powierzchniową ładunków nośników prądu płynącej na powierzchni, zatem dochodzimy do wniosku:

${\vec {K}}=\sigma {\vec {v}}\;$

(8.12)

Prądy powierzchniowe a siły magnetyczne

Różniczka siły działająca na nieskończenie mały przewodnik powierzchniowy, w zależności od gęstości powierzchniowej (8.10) i szerokości przewodnika, w którym panuje pola magnetyczne zewnętrzne o indukcji ${\vec {B}}\;$, jest równa:

$d{\vec {F}}=dq{\vec {v}}\times {\vec {B}}=({\vec {v}}\times {\vec {B}})\sigma dS=({\vec {K}}\times {B})dS\;$

(8.13)

A całkowita siła działająca na ten przewodnik z prądem, którego szerokość jest infinitezymalna, jest napisana:

${\vec {F}}=\int ({\vec {K}}\times {B})dS\;$

(8.14)

Całkowita siła magnetyczna działająca na przewodnik powierzchniowy z prądem jest zależna od szerokości tego przewodnika, która jest równa $dl_{\bot }\;$.

Zasada zachowania ładunku

W układzie zamkniętym, na danej objętości lub powierzchni, suma wszystkich ładunków w dowolnym czasie jest wielkością stałą. Zmiana gęstości powierzchniowej lub objętościowej przy pomocy prądów powierzchniowych lub objętościowych nie może zmieniać (zaburzać) całkowitego ładunku w danej powierzchni lub objętości.

W układzie dyskretnym zachodzi:

$\sum _{i}q_{i}=\operatorname {const} \;$

(8.15)

lub dla układu ciągłego zastępując sumę całką, a dyskretne ładunki o numerze "i" ich infinitezymalnymi ładunkami, które wyrazimy przez gęstość objętościową, którego ładunki są w danej objętości dV wedle wzoru (1.6), wtedy to prawo ma się w postaci:

$\int _{V}\rho ({\vec {r}})dV=\operatorname {const} \;$

(8.16)

Powyższe dwa wzory stanowią globalną zasadę zachowania ładunku dla rozkładu dyskretnego (8.15) i ciągłego (8.16).

Całkowita zmiana ładunku w danej objętości musi być stała w magnetostatyce, tzn.

$\Delta q=\int _{V}{\vec {J}}d{\vec {S}}dt\Rightarrow \Delta q=\int _{V}\nabla \cdot {\vec {J}}dVdt\;$

(8.17)

Ale ponieważ zmiana ładunku w dowolnym czasie $\Delta t\;$ jest równa zero, wtedy równanie (8.17) możemy zapisać wedle sposobu:

$0=\int _{V}\nabla \cdot {\vec {J}}dV\;$

(8.18)

Powyższe równanie jest słuszne dla dowolnej objętości, bo w magnetostatyce rozkład ładunków nie zmienia się, bo pole magnetyczne lub elektryczne musi być stałe w czasie w danym punkcie w przestrzeni, zatem otrzymujemy:

$\nabla \cdot {\vec {J}}=0\Rightarrow \operatorname {div} {\vec {J}}=0\;$

(8.19)

Co jest treścią lokalną zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków objętościowych.

Formułując zasadę dla prądów powierzchniowych, można uzyskać podobną lokalną zasadę zachowania ładunku do (8.19):

$\operatorname {div} {\vec {K}}=0$

(8.20)

Co jest prawdziwe dla dwuwymiarowego układu współrzędnych związanego z tą płaszczyzną, w której płynie prąd powierzchniowy, ale nie dla trzech. Dla trzech wymiarów należy stosować prawo (8.19). Prawo (8.20) jest treścią lokalnej zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków powierzchniowych.