Elektrodynamika klasyczna/Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego

Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się zajmować właściwościami pola w elektrodynamice według elektrodynamiki klasycznej (Maxwella), jego energię, pęd, moment pędu, i wiedząc coś o tych wielkościach powiemy o ich zasadach zachowania.

Zasada zachowania ładunku elektrycznego, równanie ciągłości

Według globalnej zasady zachowania ładunku, ładunek w danej objętości zmienia się o wartość, która uszła z tej lub doszła do tej właśnie objętości. Wyobraźmy sobie pewną objętość zamkniętą, w której znajduje się ładunek q, w tej objętości ładunek jest rozłożony w każdej jej punkcie z pewną gęstością objętościową, zatem całkowity omawiany ładunek znajdujący się w tej objętości jest sumą wszystkich nieskończenie małych ładunków znajdujących się w tej właśnie objętości:

$q=\int _{V}\rho dV\;$

(16.1)

Ilość ładunku, która przybyła do tej objętości na jednostkę czasu wyraża się jako pochodna zupełna wielkości całkowitego ładunku znajdującego się w tej właśnie objętości (16.1) i piszemy go przy pomocy:

${{dq} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\int _{V}\rho dV=\int _{V}{{\partial \rho } \over {\partial t}}dV\;$

(16.2)

Jeśli powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V podzielimy na nieskończenie wiele małych takich fragmentów, a te fragmenty mają wektor powierzchni $d{\vec {S}}\;$ prostopadły do niej, zatem objętość ładunku z jaką wypłynęła z omawianej powierzchni jest wyrażona przez $dV=vdt\cos \alpha dS={\vec {v}}d{\vec {S}}dt\;$

• gdzie α jest kątem między wektorami tej nieskończenie małej powierzchni, a wektorem prędkości z jaką wypływa ten właśnie ładunek.

Ubytek ładunku i prędkość ubytku ładunku są napisane:

$-dq=\oint _{S}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}dt\Rightarrow -{{dq} \over {dt}}=\oint _{S}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}\;$

(16.3)

Oczywiste jest, że końcowe wzory (16.2) i (16.3) możemy ze sobą połączyć, w rezultacie otrzymując tożsamość:

$-\int _{V}{{\partial \rho } \over {\partial t}}dV=\oint _{S}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}\;$

(16.4)

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Ostrogradskiego-Gaussa przy zamianie całki powierzchniowej przy całkowaniu na powierzchni zamkniętej na całkę po objętości, którą ogranicza ta właśnie powierzchnia, dla prawej strony równania (16.4), stąd wniosek:

$-\int _{V}{{\partial \rho } \over {\partial t}}dV=\int _{V}\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)dV\;$

(16.5)

W równaniu (16.5) możemy przenieść wszystko na jedną stronę, wtedy otrzymujemy, że całka po objętości, którą ogranicza dowolna objętość jest zawsze równa zero:

$\int _{V}\left[\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)+{{\partial \rho } \over {\partial t}}\right]dV=0\;$

(16.6)

Ponieważ w równaniu (16.6) nic nie powiedzieliśmy po jakiej objętości całkujemy, którego całka zawsze jest zawsze równa zero, zatem dostajemy, że funkcja podcałkowa lewej strony wspomnianego równania jest zawsze równa zero.

$\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)+{{\partial \rho } \over {\partial t}}=0\;$

(16.7)

Wyobraźmy sobie przewodnik z prądem, w której płynie prąd o gęstości ładunku ρ przez powierzchnię S , i w nim płyną ładunki z prędkością ${\vec {v}}\;$, zatem ilość ładunków Δ q, które przepłyną przez tę powierzchnię w czasie Δt, a także natężenie prądu elektrycznego, są wyrażone przez:

$\Delta q=\rho {\vec {v}}{\vec {S}}\Delta t\Rightarrow I={{\Delta q} \over {\Delta t}}=\rho {\vec {v}}{\vec {S}}\;$

(16.8)

W ostatecznych rachunkach przyjmujemy, że powierzchnia jest prostopadła do prędkości nośników tychże wspomnianych ładunków, czyli wektor tej powierzchni jest równoległy do tej prędkości, zatem gęstość prądu ładunków elektrycznych jest równoległa do prędkości tych ładunków, i jego wartość wyrażamy ją jako stosunek natężenia prądu elektrycznego przez powierzchnię, przez który przepływa ten ładunek:

$I=\rho vS\Rightarrow J={{I} \over {S}}=\rho v\Rightarrow {\vec {J}}=\rho {\vec {v}}\;$

(16.9)

Równanie ciągłości (16.7) na podstawie definicji gęstości prądu (16.9) przedstawia się bardziej eleganckiej postaci:

$\nabla \cdot {\vec {J}}+{{\partial \rho } \over {\partial t}}=0\;$

(16.10)

Co jest równoważne wzorowi (16.10) zapisanej za pomocą nie operatora ∇, tylko za pomocą operatora dywergencji:

$\operatorname {div} {\vec {J}}+{{\partial \rho } \over {\partial t}}=0\;$

(16.11)

Powyższe równanie jest treścią lokalnej zasady zachowania ładunku w danym punkcje należącym do naszej wspomnianej objętości.

Innym wariantem lokalnej zasady zachowania ładunku obowiązujące dla danej zakrzywionej płaszczyzny analogicznie do równania (16.11) wyraża się za pomocą gęstości ładunku i prądu ładunku powierzchniowego, co zapisujemy w tym przypadku:

$\operatorname {div} {\vec {K}}+{{\partial {\vec {\sigma }}} \over {\partial t}}=0$

(16.12)

Twierdzenie Poyntinga, a energia pola elektromagnetycznego, wektor Poyntinga

Tutaj policzymy moc wykonywaną przez siły elektromagnetyczne nad przesunięciem ładunku swobodnego q_sw i jaka jest energia pola elektromagnetycznego. Infinitezymalna praca wykonana nad ładunkiem q przy przesunięciu jego o wektor $d{\vec {l}}\;$ przez siłę ${\vec {F}}\;$ jest napisana przez:

$dW_{q}={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}\;$

(16.13)

Gdzie wektor siły ${\vec {F}}\;$ występujący we wzorze (16.13) jest to siła Lorentza zdefiniowaną wedle wzoru (8.3) A także przesunięcie występujące w nim zdefiniujmy za pomocą wektora prędkości z jaką dana cząstka porusza się, czyli wedle $d{\vec {l}}={\vec {v}}dt\;$, wtedy nieskończenie mała praca wykonana nad przesunięciem ładunku q_sw w czasie dt jest równa:

$dW_{q}=q_{sw}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right){\vec {v}}dt=q_{sw}{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}dt+q_{sw}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right){\vec {v}}dt=q_{sw}{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}dt\;$

(16.14)

Moc wykonywana nad ładunkiem q_sw jest równa stosunkowi nieskończenie małej pracy dW_q w czasie dt przez ten czas, zatem całkowita praca na jednostkę czasu wykonana nad układem nieskończenie małych ładunków rozłożonych w sposób ciągły z gęstością ładunku ρ_sw, w których w tych punktach te ładunki poruszają się z pewnymi prędkościami, w których to punktach o pewnym natężeniu jest pole elektryczne, jest równa:

${{dW_{q}} \over {dt}}=q_{sw}{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}\Rightarrow {{dW} \over {dt}}=\int _{V}\rho _{sw}{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}dV\;$

(16.15)

Ale ponieważ zachodzi (16.9), to moc (16.15) można wyrazić za pomocą gęstości prądu ładunku elektrycznego, ale swobodnego:

${{dW} \over {dt}}=\int _{V}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {J}}_{sw}\right)dV\;$

(16.16)

Energia mechaniczna układu jest zależna od pewnej całki po pewnej objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, w której funkcją podcałkową jest iloczynem skalarnym natężenie pola elektrycznego i gęstości ładunków swobodnych. Gęstość prądu elektrycznego objętościowego ładunku swobodnego możemy policzyć z czwartego prawa Maxwella (15.41) dla ośrodków materialnych:

$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}+{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\Rightarrow {\vec {J}}_{sw}=\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\;$

(16.17)

Jeśli podstawimy końcowy wzór (16.17) do wzoru (na moc podczas przesuwania układu ładunków swobodnych ciągłych w polu elektrycznym) (16.16), to:

${{dW} \over {dt}}=\int _{V}{\vec {E}}\cdot \left(\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\right)dV=\int _{V}{\vec {E}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {H}}\right)dV-\int _{V}{\vec {E}}{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\;$

(16.18)

Policzmy teraz wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne w punkcie (16.18), by dalej można było przeprowadzić dalsze obliczenia:

$\nabla \cdot \left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)=\nabla _{i}\epsilon _{ijk}E_{j}H_{k}=\epsilon _{ijk}E_{j}\nabla _{i}H_{k}+\epsilon _{ijk}H_{k}\nabla _{i}E_{j}=-\epsilon _{jik}E_{j}\nabla _{i}H_{k}+\epsilon _{kij}H_{k}\nabla _{i}E_{j}={\vec {H}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)-{\vec {E}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {H}}\right)\;$

(16.19)

Zastosowanie wniosków wynikających ze wzoru (16.19) możemy zastosować do równania (16.18):

${{dW} \over {dt}}=\int _{V}\left[{\vec {H}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)-\nabla \cdot \left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)\right]dV-\int _{V}{\vec {E}}\cdot {{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}dV\;$

(16.20)

Do wniosku (16.20) możemy zastosować trzecie prawo Maxwella (15.14) dla ośrodków materialnych:

${{dW} \over {dt}}=-\int _{V}{\vec {H}}\cdot {{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}dV-\int _{V}{\vec {E}}\cdot {{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}dV-\int _{V}\nabla \left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)dV\;$

(16.21)

Wektor natężenia pola magnetycznego możemy przedstawić przy pomocy indukcji pola magnetycznego i magnetyzacji, wedle wzoru (15.36), a wektor magnetyzacji jak dla ośrodków magnetycznych (11.30), a wektor indukcji elektrycznej pola elektrycznego możemy zapisać wedle wzoru (15.33), a polaryzację w zależności od panującego w nim pola elektrycznego zapisujemy za pomocą wzoru (6.16). Jeśli biorąc wszystkie te wnioski i wyrażając wektor indukcji pola magnetycznego przez jego natężenie, a wektor indukcji pola elektrycznego przez jego natężenie, to mamy:

${\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}+{\vec {M}}=(\mu _{0}+{\hat {\chi }}){\vec {H}}\;$

(16.22)

${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=(\epsilon _{0}+{\hat {\beta }}){\vec {E}}\;$

(16.23)

Jeśli założymy dodatkowo, że tensory ${\hat {\chi }}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$ nie zależą od czasu, to po wykorzystaniu wniosku (16.22) i (16.23), wtedy wzór (16.21), po zastosowaniu prawa Ostrogradskiego-Gaussa dla ostatniego składnika tego równania, zapisujemy:

${{dW} \over {dt}}=-{{d} \over {dt}}\int _{V}{{1} \over {2}}\left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)-\oint _{S}\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)d{\vec {S}}\;$

(16.24)

Wektorem Poyntinga nazywamy wektor, którego wartość jest energię przenoszoną przez pole elektromagnetyczne w jednostce czasu na jednostkę powierzchni, o kierunku i zwrocie zgodnej z przenoszeniem energii w danym punkcie:

${\vec {P}}=\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)\;$

(16.25)

Wielkość ${\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}\;$ nazywamy strumieniem energii przechodzący przez infinitezymalną powierzchnię $d{\vec {S}}\;$, zatem ${\vec {P}}\;$ jest gęstością tego strumienia. Energię pola elektromagnetycznego na podstawie równania (16.24), która jest zależna od indukcji i natężenia pola elektrycznego, a także od indukcji i natężenia pola magnetycznego, nazywamy równość:

$U_{em}={{1} \over {2}}\int _{V}\left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)dV$

(16.26)

Twierdzenie Poytinga, które piszemy według wzoru (16.24) rysujemy je przy pomocy oznaczenia dla wektora Poytinga (16.25) i przy pomocy oznaczenia energii pola elektromagnetycznego (16.26), zapisujemy:

${{dW} \over {dt}}=-{{dU_{em}} \over {dt}}-\oint _{S}{\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}\;$

(16.27)

Jeśli cząstka poruszająca się w polu elektromagnetycznym, to ma pewną energię mechaniczną, to można napisać wiedząc, że: $u_{mech}\;$ jest to gęstość energii mechanicznej zapisanej na podstawie wzoru (16.26)

$u_{em}={{1} \over {2}}\left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)\;$

(16.28)

Definicja gęstości energii elektromagnetycznej u_em zależy od wektora natężenia i indukcji pola elektrycznego oraz od natężenia i indukcji pola magnetycznego. W ogólności jak się przekonano się wcześniej, że wektory charakteryzujące pole elektryczne lub magnetyczne występujące we wzorze (16.28) nie są w ogólności równoległe, lecz mogą, a nie muszą być pod zerowym pewnym kątem. Wedle definicji (16.28) wzór (16.27), przy definicji gęstości energii mechanicznej u_mech, zapisujemy w postaci:

${{d} \over {dt}}\int _{V}u_{mech}dV=-{{d} \over {dt}}\int _{V}u_{em}dV-\oint _{S}{\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}\;$

(16.29)

Wtedy ostatecznie wzór (16.29) możemy napisać biorąc w jedno miejsce gęstość energii mechanicznej i elektromagnetycznej, mamy:

${{d} \over {dt}}\int _{V}\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {P}}\right)d{\vec {S}}\Rightarrow \int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {P}}\right)dV\;$

(16.30)

Ponieważ we wzorze (16.30) mamy do czynienia z dowolnymi objętościami, zatem również słuszny jest wzór:

${{\partial } \over {\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)=-\nabla \cdot {\vec {P}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)+\operatorname {div} {\vec {P}}=0\;$

(16.31)

Prawo (16.31) możemy zapisać jako równanie ciągłości (16.11) przy którym gęstość ładunku elektrycznego odpowiada gęstość energii układu mechanicznego u_mech i pola elektromagnetycznego u_em (16.28), a gęstości prądu elektrycznego odpowiada wektorowi Poytinga (16.25).

Tensor napięć Maxwella

Gęstością objętościową siły nazywamy stosunek nieskończenie małej siły Lorenzta (8.3) działający na nieskończenie mały ładunek swobodny dq_sw znajdujący się w objętości dV w danym punkcie przestrzeni, w której gęstość ładunku wynosi ρ_sw przez objętość dV, w której znajduje się ten nasz wspomniany ładunek, co przedstawiamy:

${\vec {f}}={{d{\vec {F}}} \over {dV}}={{dq_{sw}} \over {dV}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)dV=\rho _{sw}{\vec {E}}+\rho _{sw}{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

(16.32)

Gęstość objętościowa prądu ładunku elektrycznego swobodnego w zależności od jego prędkości i jego gęstości objętościowej piszemy wzorem (16.9), wtedy na podstawie tego wzór (16.32) piszemy:

${\vec {f}}=\rho _{sw}{\vec {E}}+{\vec {J}}_{sw}\times {\vec {B}}$

(16.33)

Całkowita siła działająca na układ nieskończenie małych ładunków znajdujących się w objętości V ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą piszemy ją jako całkę z funkcji (16.33) względem objętości po całej tej objętości ograniczonej przez nas wspomniany obiekt.

${\vec {F}}=\int _{V}{\vec {f}}dV=\int _{V}\left(\rho _{sw}{\vec {E}}+{\vec {J}}_{sw}\times {\vec {B}}\right)dV$

(16.34)

Będziemy korzystać z pierwszego (15.38) i czwartego (15.41) prawa Maxwella dla materii, wtedy wzór (16.34) przyjmuje formę:

${\vec {f}}=\rho _{sw}{\vec {E}}+{\vec {J}}_{sw}\times {\vec {B}}\Rightarrow \left(\nabla \cdot {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left[\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\right]\times {\vec {B}}$

(16.35)

Wzór (16.35) po opuszczeniu w nim nawiasów przyjmuje bardziej przyzwoity wygląd:

${\vec {f}}=\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)\times {\vec {B}}-{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\times {\vec {B}}$

(16.36)

Wyznaczmy tożsamość, która będzie nam potrzebna w późniejszych obliczeniach, przy okazji będziemy korzystać z trzeciego prawa Maxwella dla materii (15.40).

${{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)={{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\times {\vec {B}}+{\vec {D}}\times {{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)={{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\times {\vec {B}}-{\vec {D}}\times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)\Rightarrow {{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}\times {\vec {B}}={{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)+\;$
$+{\vec {D}}\times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)$

(16.37)

Gęstość siły (16.36), po uwzględnieniu udowodnionej tożsamości (16.37), jest równa:

${\vec {f}}=\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)\times {\vec {B}}-\left[{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)+{\vec {D}}\times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)\right]=\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}-\left[{\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {H}}\right)+{\vec {D}}\times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)\right]+\;$
$-{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)$

(16.38)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze potrzebne do dalszych obliczeń w punkcie (16.38), w końcowych jego obliczeniach w tym naszym wyrażeniu z korzystamy z definicji indukcji pola elektrycznego (15.33) dla ośrodka materialnego o pewnej polaryzacji elektrycznej napisanej wzorem (6.16), czyli korzystamy ze wzoru (16.23), to wtedy możemy przeprowadzić nasze obliczenia:

${\vec {D}}\times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}D_{j}\left(\nabla \times {\vec {E}}\right)_{k}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{jk}D_{j}\epsilon _{klm}\nabla _{l}E_{m}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}D_{j}\nabla _{l}E_{m}={\vec {k}}_{i}\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)D_{j}\nabla _{l}E_{m}=$
$={\vec {k}}_{i}\delta _{il}\delta _{jm}D_{j}\nabla _{l}E_{m}-{\vec {k}}_{i}\delta _{im}\delta _{jl}D_{j}\nabla _{l}E_{m}={\vec {k}}_{i}D_{j}\nabla _{i}E_{j}-{\vec {k}}_{i}D_{j}\nabla _{j}E_{i}={{1} \over {2}}\nabla {\vec {E}}{\vec {D}}-\left({\vec {D}}\nabla \right){\vec {E}}$

(16.39)

Również otrzymujemy inną tożsamość, jeśli we wniosku (16.39) zastąpimy wektor indukcji pola elektrycznego wektorem indukcji pola magnetycznego, a wektor natężenia pola elektrycznego wektorem natężenia pola magnetycznego, mając na myśli gdy mamy ośrodek materialny o pewnej polaryzacji magnetycznej, której natężenie pola elektrycznego definiujemy wzorem (15.36), czyli łącznie korzystając ze wzoru (16.22), otrzymujemy:

${\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {H}}\right)={{1} \over {2}}\nabla {\vec {H}}{\vec {B}}-\left({\vec {B}}\nabla \right){\vec {H}}$

(16.40)

Według wysuniętych wniosków (16.39) dla pola elektrycznego i (16.40) dla pola magnetycznego równanie na gęstość siły (16.38) przyjmuje postać:

${\vec {f}}=\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}-\left[\left({{1} \over {2}}\nabla {\vec {H}}{\vec {B}}-\left({\vec {B}}\nabla \right){\vec {H}}\right)+\left({{1} \over {2}}\nabla {\vec {E}}{\vec {D}}-\left({\vec {D}}\nabla \right){\vec {E}}\right)\right]-{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)$

(16.41)

Po krótkich przekształceniach w punkcie (16.41) nad wielkością, która jest gęstością siły działającej na ładunek swobodny, można powiedzieć:

${\vec {f}}=\left[\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left({\vec {D}}\nabla \right){\vec {E}}\right]+\left({\vec {B}}\nabla \right){\vec {H}}-{{1} \over {2}}\nabla \left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {D}}\right)-{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)$

(16.42)

Następnym krokiem jest skorzystanie z drugiego prawa Maxwella (15.39) dla materii, wedle tego wzór (16.42) przyjmuje postać:

${\vec {f}}=\left[\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left({\vec {D}}\nabla \right){\vec {E}}\right]+\left[\left(\nabla {\vec {B}}\right){\vec {H}}+\left({\vec {B}}\nabla \right){\vec {H}}\right]-{{1} \over {2}}\nabla \left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)-{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)$

(16.43)

W prowadźmy ogólnie niesymetryczny tensor T_ij, który nazwiemy tensorem napięć Maxwella, co go zapisujemy:

$T_{ij}=\left(D_{i}E_{j}-{{1} \over {2}}\delta _{ij}{\vec {E}}{\vec {D}}\right)+\left(B_{i}H_{j}-{{1} \over {2}}\delta _{ij}{\vec {H}}{\vec {B}}\right)$

(16.44)

Tensor (16.44) jest z oczywistych powodów w ogólności tensorem asymetrycznym, ale tylko dla ośrodków liniowych jest tensorem symetrycznym dla ośrodka liniowego zarówno magnetycznie i elektrycznie, tzn. w którym zachodzą wzory (15.44) i (15.45).

Wyznaczmy dywergencję tensora napięć Maxwella zdefiniowanej w punkcie (16.44) i policzmy co wtedy wyjdzie:

${\vec {k}}_{i}\nabla _{i}T_{ij}={\vec {k}}_{i}\left(E_{j}\nabla _{i}D_{i}+D_{i}\nabla _{i}E_{j}\right)+{\vec {k}}_{i}\left(H_{j}\nabla _{i}B_{i}+B_{i}\nabla _{i}H_{j}\right)-{{1} \over {2}}\nabla \left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)=$
$=\left[\left(\nabla {\vec {D}}\right){\vec {E}}+\left({\vec {D}}\nabla \right){\vec {E}}\right]+\left[\left(\nabla {\vec {B}}\right){\vec {H}}+\left({\vec {B}}\nabla \right){\vec {H}}\right]-{{1} \over {2}}\nabla \left({\vec {E}}{\vec {D}}+{\vec {H}}{\vec {B}}\right)$

(16.45)

Równanie na gęstość siły (16.43), na podstawie definicji tensora napięć Maxwella (16.44), korzystając z obliczeń przedstawionych w punkcie (16.45), przedstawiamy:

${\vec {f}}=\nabla \cdot {\hat {T}}-{{\partial } \over {\partial t}}\underbrace {\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)} _{{\vec {P}}_{a}}$

(16.46)

Wielkość występująca we wzorze (16.46) pod pochodną cząstkową względem czasu nazwijmy tensorem Poitinga i oznaczmy go przez ${\vec {P}}_{a}\;$. Dla pola elektromagnetycznego znajdujących się nie w ośrodku, ale w próżni, to ten wektor można oznaczyć przy pomocy wektora Poytinga (16.25) wedle:

${\vec {P}}_{a}={\vec {D}}\times {\vec {B}}=\epsilon _{0}\mu _{0}\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)=\epsilon _{0}\mu _{0}{\vec {P}}\;$

(16.47)

Wzór na gęstość siły działającej na ładunki swobodne przy definicji wektora ${\vec {P}}_{a}\;$, możemy zatem napisać:

${\vec {f}}=\nabla {\hat {T}}-{{\partial } \over {\partial t}}{\vec {P}}_{a}$

(16.48)

Całkowita siła działająca na ładunki swobodne w materii znajdującej się w pewnej objętości ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą wyraża się:

${\vec {F}}=\int _{V}\nabla {\hat {T}}dV-\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}{\vec {P}}_{a}dV=\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}-{{d} \over {dt}}\int _{V}{\vec {P}}_{a}dV=\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}-{{d} \over {dt}}\int _{V}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)dV$

(16.49)

Zasada zachowania pędu a pole elektromagnetyczne

Tutaj dowiemy się, że pole elektromagnetyczne posiada również pęd, tak jak układy mechaniczne. Z drugiej jednak strony z zasady dynamiki Einsteina siła działająca na ładunek powoduje zmianę pędu mechanicznego układu wszystkich ładunków p_mech, co piszemy równaniem:

${{d{\vec {p}}_{mech}} \over {dt}}={\vec {F}}$

(16.50)

Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą siłę działająca na układ ładunków znajdujących się w pewnej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą (16.49) i podstawieniu jego do wzoru (16.50), wtedy dostajemy równanie:

${{d{\vec {p}}_{mech}} \over {dt}}=\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}-{{d} \over {dt}}\int _{V}{\vec {P}}_{a}dV$

(16.51)

W prowadźmy definicje pędu pola elektromagnetycznego poprzez wektor indukcji elektrycznej i magnetycznej:

${\vec {p}}_{em}=\int _{V}{\vec {P}}_{a}dV=\int _{V}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)dV$

(16.52)

Równanie (16.50) na podstawie definicji pędu pola elektromagnetycznego (16.52) przyjmuje bardziej uproszczoną postać, wtedy wyrazy związane z pędem elektromagnetycznym w powstałym równaniu przenosimy na jej lewą stronę i włączając go pod operator pochodnej zupełnej względem czasu, wtedy całościowo dochodzimy do wniosku:

${{d{\vec {p}}_{mech}} \over {dt}}=-{{d} \over {dt}}{\vec {p}}_{em}+\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}\Rightarrow {{d} \over {dt}}\left({\vec {p}}_{mech}+{\vec {p}}_{em}\right)=\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}$

(16.53)

Dochodzimy więc do wniosku, że wielkość $\oint _{S}{\hat {T}}d{\vec {S}}$ spełnia rolę siły działającej na układ mechaniczny i pole elektromagnetyczne. Gęstością pędu elektromagnetycznego, który panuje w danym punkcie w przestrzeni, piszemy na podstawie definicji pędu pola magnetycznego:

${\vec {\mathfrak {p}}}_{em}={\vec {P}}_{a}={\vec {D}}\times {\vec {B}}\;$

(16.54)

Jeśli we wzorze końcowym (16.53) podstawimy za pęd elektromagnetyczny i pęd mechaniczny pewne całki objętościowe, którymi funkcjami podcałkowymi są gęstość pędu elektromagnetycznego i gęstość pędu mechanicznego, i zastosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla prawej strony tego wzoru, w rezultacie:

${{d} \over {dt}}\left(\int _{V}{\vec {\mathfrak {p}}}_{mech}dV+\int {\vec {\mathfrak {p}}}_{em}dV\right)=\int _{V}\nabla \cdot {\hat {T}}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}\left({\vec {\mathfrak {p}}}_{mech}+{\vec {\mathfrak {p}}}_{em}\right)dV=\int _{V}\nabla \cdot {\hat {T}}dV\Rightarrow \int _{V}\left[{{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {\mathfrak {p}}}_{mech}+{\vec {\mathfrak {p}}}_{em}\right)\right]dV=\;$
$=\int _{V}\nabla \cdot {\hat {T}}dV$

(16.55)

Równanie (16.55) jest spełnione dla dowolnych objętości, zatem funkcje podcałkowe prawej i lewej strony tego równania muszą być sobie równe, otrzymujemy:

${{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {\mathfrak {p}}}_{mech}+{\vec {\mathfrak {p}}}_{em}\right)=\nabla \cdot {\hat {T}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {\mathfrak {p}}}_{mech}+{\vec {\mathfrak {p}}}_{em}\right)+\nabla \cdot (-{\hat {T}})=0\;$

(16.56)

Powyższe równanie wynikowe jest odpowiednikiem równania ciągłości dla zasady zachowania pędu.

Moment pędu pola elektromagnetycznego

Jeśli pole elektromagnetyczne posiada pęd, to również musi posiadać również moment pędu, jak tutaj udowodnimy. Pęd pola elektromagnetycznego przestawiamy wedle wzoru (16.52), a gęstość pędu pola elektromagnetycznego możemy napisać na podstawie definicji pędu wedle (16.54). Gęstość momentu pędu według definicji momentu pędu jest iloczynem wektorowym danego punktu w przestrzeni i gęstości pędu elektromagnetycznego w tym punkcie (16.54):

${\vec {\mathfrak {l}}}_{em}={\vec {r}}\times {\vec {\mathfrak {p}}}_{em}$

(16.57)

A więc całkowity moment pędu pola elektromagnetycznego znajdujący się w pewnej objętości ograniczony powierzchnią zamkniętą jest całką objętościową funkcji gęstości momentu pędu elektromagnetycznego (16.57):

${\vec {L}}_{em}=\int _{V}{\vec {\mathfrak {l}}}_{em}dV=\int _{V}\left({\vec {r}}\times {\vec {\mathfrak {p}}}_{em}\right)dV$

(16.58)

Równość (16.56) mnożymy lewostronnie przez ${\vec {r}}\times \;$, otrzymujemy:

${\vec {r}}\times {{\partial } \over {\partial t}}\left({\mathfrak {p}}_{mech}+{\mathfrak {p}}_{em}\right)+{\vec {r}}\times \nabla \cdot \left(-{\hat {T}}\right)=0\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\vec {\mathfrak {l}}}_{mech}+{\vec {\mathfrak {l}}}_{em}\right)+\nabla \cdot \left({\hat {T}}\times {\vec {r}}\right)=0\;$

(16.59)

Równanie (16.59) jest lokalnym równaniem ciągłości zachowania momentu pędu.