Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie od ładunków punktowych

Promieniowanie od ładunków punktowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Pole prędkościowe, pole przyspieszone 2Moc promieniowania dla cząstki o prędkości niezerowej

Tutaj zajmiemy się promieniowaniem pochodzącego od ładunków punktowych.

Pole prędkościowe, pole przyspieszone

Wykazaliśmy, że pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy poruszający się z pewną prędkością i przyspieszeniem wyraża się według wzoru (22.47). W tym wzorze można wyróżnić pole prędkościowe ${\vec {E}}_{pred}\;$ i pole przyspieszone ${\vec {E}}_{rad}\;$, ich przepisy są:

${\vec {E}}_{pred}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}(c^{2}-u^{2}){\vec {u}}$

(24.1)

${\vec {E}}_{rad}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}{\vec {R}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)$

(24.2)

Pole magnetyczne dla ładunków punktowych jest opisany przez wzór (22.50), zatem na podstawie tychże rozważań można zdefiniować dla tego przypadku wektor Poyntinga, który to dalej go przekształcimy:

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}}}({\vec {E}}\times {\vec {B}})={{1} \over {\mu _{0}c}}\left[{\vec {E}}\times \left({\hat {\vec {R}}}\times {\vec {E}}\right)\right]={{1} \over {\mu _{0}c}}\left(E^{2}{\hat {\vec {R}}}-({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {E}}){\vec {E}}\right)$

(24.3)

Pole prędkościowe (24.1) nie wchodzi w skład promieniowania ładunku q, bo zachodzi $E\sim {{1} \over {R^{2}}}\Rightarrow E^{2}\sim {{1} \over {R^{4}}}$ i $\lim _{R\rightarrow \infty }\oint {\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}=0$, co stąd wynika, że energia wypromieniowana w nieskończoności jest równa zero, czyli pole prędkościowe nie jest promieniowaniem. Zatem rozważając pole przyspieszone natężenia pola elektrycznego (24.2), dochodzimy do wniosku, że to pole jest prostopadłe do wektora ${\vec {E}}_{rad}\;$, zatem dochodzimy do wniosku, że w nieskończoności wektor Poytinga jest zdefiniowany wzorem na podstawie (24.3).

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}c}}E_{rad}^{2}{\hat {\vec {R}}}$

(24.4)

Załóżmy, że nasz ładunek jest w spoczynku, zatem pole promieniowania, na podstawie (22.46) przyjmuje postać:

${\vec {E}}_{rad}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{{1} \over {R}}\left[{\hat {\vec {R}}}\times \left({\hat {\vec {R}}}\times {\vec {a}}\right)\right]={{\mu _{0}q} \over {4\pi R}}\left[{\hat {\vec {R}}}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}\right]$

(24.5)

Wektor Poyntinga dla pola przyspieszonego w takim przypadku wyraża się podobnie, korzystając dla (24.5), czyli $E_{rad}\bot {\hat {\vec {R}}}$, zatem przyjmuje postać:

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}c}}E_{rad}^{2}{\hat {\vec {R}}}={{1} \over {\mu _{0}c}}\left({{\mu _{0}q} \over {4\pi R}}\right)^{2}\left[a^{2}+({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}-2({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}\right]={{1} \over {\mu _{0}c}}\left({{\mu _{0}q} \over {4\pi R}}\right)^{2}\left(a^{2}-\left({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}}\right)^{2}\right)=\;$
$={{\mu _{0}q^{2}a^{2}} \over {16\pi ^{2}cR^{2}}}\left(a^{2}-a^{2}\cos ^{2}\phi \right)={{\mu _{0}q^{2}a^{2}} \over {16\pi ^{2}c}}\left({{\sin \phi } \over {R}}\right)^{2}{\hat {\vec {R}}}$

(24.6)

Całkowita moc promieniowania przez przyspieszoną cząstkę na podstawie definicji wektora Poytinga (24.6) wyraża się wzorem:

$P=\oint {\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}={{\mu _{0}q^{2}a^{2}} \over {16\pi ^{2}c}}\oint {{\sin ^{2}\phi } \over {R^{2}}}R^{2}\sin \phi d\phi d\theta ={{\mu _{0}q^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}$

(24.7)

Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Larmora.

Zatem drugi człon natężenia pola elektrycznego, czyli (24.2) jest jednak promieniowaniem, bo ta energia ucieka do nieskończoności, i jednocześnie na podstawie (24.7) zachodzi $\lim _{R\rightarrow \infty }P>0$.

Moc promieniowania dla cząstki o prędkości niezerowej

Wcześniej policzyliśmy moc promieniowania (24.7), gdy cząstka chwilowo spoczywa, a teraz wyznaczymy tą właśnie moc gdy cząstka ${{\partial W} \over {\partial t_{r}}}\;$, która jest źródłem promieniowania, porusza się z pewną skończoną prędkością i z przyspieszeniem w zależności od mocy promieniowania, gdy cząstka spoczywa ${{\partial W} \over {\partial t}}\;$. Zauważmy zatem tożsamość wiedząc, że zachodzi (22.42) oraz (22.46).

${{\partial W} \over {\partial t}}={{\partial W} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}+{{\partial W} \over {\partial x^{i}}}\underbrace {{\partial x^{i}} \over {\partial t}} _{0}\Rightarrow {{\partial W} \over {\partial t}}={{\partial W} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\Rightarrow {{\partial W} \over {\partial t_{r}}}={{\partial W} \over {\partial t}}\left({{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\right)^{-1}\Rightarrow {{\partial W} \over {\partial t_{r}}}={{\partial W} \over {\partial t}}{{{\vec {R}}\cdot {\vec {u}}} \over {Rc}}$

(24.8)

Ponieważ jak wcześniej powiedzieliśmy moc promieniowania dla cząstki spoczywającej możemy wyrazić wzorem (24.4), zatem w takim przypadku wzór (24.8) jako natężenie promieniowania dla cząstki poruszającej przedstawia się wzorem:

${{dP} \over {d\Omega R^{2}}}={{{\vec {R}}\cdot {\vec {u}}} \over {Rc}}{{1} \over {\mu _{0}c}}E_{rad}^{2}$

(24.9)

Do wzoru na natężenie promieniowania (24.9) podstawiamy wzór na natężenie pola elektrycznego przyspieszonego (24.2), która jest słuszna, gdy cząstka spoczywa, wtedy dostajemy wzór:

${{dP} \over {d\Omega }}={{{\vec {R}}\cdot {\vec {u}}} \over {Rc}}{{1} \over {\mu _{0}c}}R^{2}{{q^{2}} \over {16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{R^{2}} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{6}}}\left[{\vec {R}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]^{2}={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}{{\left[{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}} \over {\left({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {u}}\right)^{5}}}$

(24.10)

Całkowita moc wypromieniowana pochodząca od przyspieszonego ładunku (24.10) piszemy jako całkę wielkości (24.10) względem nieskończenie małego kąta bryłowego, w której to dotyczy, zatem możemy napisać:

$P=\int {{dP} \over {d\Omega }}d\Omega =\int {{q^{2}} \over {16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}{{\left[{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}} \over {\left({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {u}}\right)^{5}}}d\Omega ={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int {{\left[{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}} \over {\left({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {u}}\right)^{5}}}d\Omega$

(24.11)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące we wzorze (24.11), zatem do dzieła:

$\left|{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right|^{2}=\left|c{\hat {\vec {R}}}\times \left({\hat {\vec {R}}}\times {\vec {a}}\right)-{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right|^{2}=\left|c{\hat {\vec {R}}}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})-c{\vec {a}}-{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right|^{2}=c^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}+c^{2}a^{2}+\;$
$+\left({\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right)^{2}-2c^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}+\left[-2c{\hat {\vec {R}}}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})+2c{\vec {a}}\right]\left[{\hat {\vec {R}}}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right]=-c^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}+c^{2}a^{2}+|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|^{2}+\;$
$-\left[{\hat {\vec {R}}}\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}+\left[-2c{\hat {\vec {R}}}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})+2c{\vec {a}}\right]\left({\vec {v}}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}({\hat {\vec {R}}}{\vec {v}})\right)=-c^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}+c^{2}a^{2}+v^{2}a^{2}-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {a}}\right)^{2}+\;$
$-\left[{\hat {\vec {R}}}\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}-2c\left({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}\right)({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}+2c({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}})+2c({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})-2ca^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}})=$

$=a^{2}(c^{2}+v^{2})-({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})^{2}-2ca^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}})+2c({\vec {a}}\cdot {\vec {v}})({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})-c^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {a}})^{2}-\left[{\hat {\vec {R}}}\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {a}}\right)\right]^{2}=$

$=c^{4}\left\{{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\left(1+{\hat {\beta }}^{2}\right)-({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}-2{\dot {\vec {\beta }}}^{2}({\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {\beta }})+2({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})({\hat {\vec {R}}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})-({\hat {\vec {R}}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}-\left[{\hat {\vec {R}}}\cdot \left({\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]^{2}\right\}$

(24.12)

Teraz policzymy całki pomocnicze, zatem zajmijmy się tą pierwszą:

$\int _{-1}^{1}{{dz} \over {\left(1-\beta z\right)^{5}}}={\begin{Bmatrix}1-\beta z=t\\-\beta dz=dt\\dz=-{{1} \over {\beta }}dt\\z=-{{t-1} \over {\beta }}\end{Bmatrix}}=-\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{dt} \over {\beta t^{5}}}={{1} \over {4\beta }}{{1} \over {t^{4}}}|_{1+\beta }^{1-\beta }={{1} \over {4\beta }}\left({{1} \over {(1+\beta )^{4}}}-{{1} \over {(1-\beta )^{4}}}\right)=$

$={{1} \over {4\beta }}\left({{(1+\beta )^{4}-(1-\beta )^{4}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}\right)=-{{1} \over {4\beta }}\left({{(1+\beta ^{2}+2\beta )^{2}-(1+\beta ^{2}-2\beta )^{2}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}\right)=$

$={{1} \over {4\beta }}{{1+\beta ^{4}+4\beta ^{2}+2\beta ^{2}+4\beta +4\beta ^{3}-1-\beta ^{4}-4\beta -2\beta ^{2}+4\beta +4\beta ^{3}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}={{2\beta (1+\beta ^{2})} \over {\beta (1-\beta ^{2})^{4}}}={{2(1+\beta ^{2})} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}$

(24.13)

Następnie zajmijmy się liczeniem drugiej całki:

$\int _{-1}^{1}{{zdz} \over {(1-\beta z)^{5}}}=\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{dt(t-1)} \over {\beta ^{2}t^{5}}}={{1} \over {\beta ^{2}}}\left[\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{dt} \over {t^{4}}}-\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{dt} \over {t^{5}}}\right]=-{{1} \over {3\beta ^{2}}}t^{-3}|_{1+\beta }^{1-\beta }+2{{1+\beta ^{2}} \over {\beta (1-\beta ^{2})^{4}}}=\;$
$=-{{1} \over {3\beta ^{2}}}{{(1+\beta )^{3}-(1-\beta )^{3}} \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+2{{1+\beta ^{2}} \over {\beta (1-\beta ^{2})^{4}}}=-{{1} \over {3\beta ^{2}}}{{1+\beta ^{3}+3\beta +3\beta ^{2}-1+\beta ^{3}+3\beta -3\beta ^{2}} \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+2{{1+\beta ^{2}} \over {\beta (1-\beta ^{2})^{4}}}=\;$
$=-{{1} \over {3\beta ^{2}}}{{2\beta ^{3}+6\beta } \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+2{{1+\beta ^{2}} \over {\beta (1-\beta ^{2})^{4}}}={{(-2\beta ^{3}-6\beta )(1-\beta ^{2})+2(1+\beta ^{2})3\beta } \over {3\beta ^{2}(1-\beta ^{2})^{4}}}={{-2\beta ^{3}-6\beta +2\beta ^{5}+6\beta ^{3}+6\beta +6\beta ^{3}} \over {3\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)^{4}}}=\;$
$={{10\beta ^{3}+2\beta ^{5}} \over {3\beta ^{2}(1-\beta ^{2})^{4}}}={{2\beta (5+\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}$

(24.14)

A na sam koniec wyznaczmy trzecią całkę:

$\int _{-1}^{1}{{z^{2}dz} \over {(1-\beta z)^{5}}}=-\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{dt(t-1)^{2}} \over {\beta ^{3}t^{5}}}=-{{1} \over {\beta ^{3}}}\int _{1+\beta }^{1-\beta }{{t^{2}-2t+1} \over {t^{5}}}dt=-{{1} \over {\beta ^{3}}}\int _{1+\beta }^{1-\beta }\left({{1} \over {t^{3}}}-2{{1} \over {t^{4}}}+{{1} \over {t^{5}}}\right)dt=$
$={{1} \over {4\beta ^{3}}}{{1} \over {t^{4}}}|_{1+\beta }^{1-\beta }-{{2} \over {3\beta ^{4}}}{{1} \over {t^{3}}}|_{1+\beta }^{1-\beta }+{{1} \over {2\beta ^{3}}}{{1} \over {t^{2}}}|_{1+\beta }^{1-\beta }={{1} \over {4\beta ^{3}}}{{(1+\beta )^{4}-(1-\beta )^{4}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}-2{{1} \over {3\beta ^{3}}}{{(1+\beta )^{3}-(1-\beta )^{3}} \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+\;$
$+{{1} \over {2\beta ^{3}}}{{(1+\beta )^{2}-(1-\beta )^{2}} \over {(1-\beta ^{2})^{2}}}={{1} \over {\beta ^{3}}}{{(1+\beta ^{2}+2\beta )^{2}-(1+\beta ^{2}-2\beta )^{2}} \over {4(1-\beta ^{2})^{4}}}-2{{1} \over {3\beta ^{3}}}{{1+\beta ^{3}+3\beta +3\beta ^{2}-1+\beta ^{3}+3\beta -3\beta ^{2}} \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+\;$
$+{{1} \over {\beta ^{3}}}{{1+\beta ^{2}+2\beta -1-\beta ^{2}+2\beta } \over {2(1-\beta ^{2})^{2}}}={{1} \over {4\beta ^{3}}}{{1+\beta ^{4}+4\beta ^{2}+2\beta ^{2}+4\beta +4\beta ^{3}-1-\beta ^{4}-4\beta ^{2}-2\beta ^{2}+4\beta +4\beta ^{3}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}+\;$
$-2{{1} \over {3\beta ^{3}}}{{2\beta ^{3}+6\beta } \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+{{1} \over {2\beta ^{3}}}{{4\beta } \over {(1-\beta ^{2})^{2}}}={{1} \over {4\beta ^{3}}}{{8\beta +8\beta ^{3}} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}-2{{1} \over {3\beta ^{3}}}{{2\beta ^{3}+6\beta } \over {(1-\beta ^{2})^{3}}}+{{1} \over {2\beta ^{3}}}{{4\beta } \over {(1-\beta ^{2})^{2}}}=\;$
$={{24(\beta +\beta ^{3})-8(2\beta ^{3}+6\beta )(1-\beta ^{2})+24\beta (1+\beta ^{4}-2\beta ^{2})} \over {12\beta ^{3}(1-\beta ^{2})^{4}}}=\;$
$={{24\beta +24\beta ^{3}-16\beta ^{3}-48\beta +16\beta ^{5}+48\beta ^{3}+24\beta +24\beta ^{5}-48\beta ^{3}} \over {12\beta ^{3}(1-\beta ^{2})^{4}}}={{8\beta ^{3}+40\beta ^{5}} \over {12\beta ^{3}(1-\beta ^{2})^{4}}}={{2+10\beta ^{2}} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}={{2(1+5\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}$

(24.15)

Użyjmy podstawienia w postaci z=cosφ do obliczania całki poniżej (24.11), w którym kąt bryłowy możemy zapisać jako dΩ=-dz dθ. Weźmy, że wektor jednostkowy ${\hat {R}}\;$ jest zdefiniowany: ${\hat {\vec {R}}}=[\sin \phi \cos \theta ,\sin \phi \sin \theta ,\cos \phi ]$, i dodatkowo obierzmy, że ${\vec {\beta }}=[0,0,\beta ]$. Następnie wyznaczmy dwie kolejne następne całki:

$\int {\hat {R}}_{x}d\Omega =\int \sin \phi \cos \theta \sin \phi d\phi d\theta =\left(\int \sin ^{2}\phi d\phi \right)\int \cos \theta d\theta =\left(\int \sin ^{2}\phi d\phi \right)\sin \theta |_{0}^{2\pi }=0$

(24.16)

$\int {\hat {R}}_{y}d\Omega =\int \sin \phi \sin \theta \sin \phi d\phi d\theta =\left(\int \sin ^{2}\phi d\phi \right)\left(\int \sin \theta d\theta \right)=\left(\int \sin ^{2}\phi d\phi \right)(-1)\cos \theta {\Big |}_{0}^{2\pi }=0$

(24.17)

Następnie dokonajmy kolejnych obliczeń:

• Wyrażenie pierwsze, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.13):

${{q^{2}} \over {16c\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\vec {\beta }}^{2})-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}} \over {(1-{\hat {\vec {R}}}{\vec {\beta }})^{5}}}={{q^{2}} \over {16c\pi ^{2}\epsilon _{0}}}{{2\pi } \over {c}}\int _{-1}^{1}dz{{{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\vec {\beta ^{2}}})-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}} \over {(1-\beta z)^{5}}}=\;$
$={{q^{2}} \over {8c\pi \epsilon _{0}}}{{2(1+\beta ^{2})} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\vec {\beta ^{2}}})-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}\right]={{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}(1-\beta ^{2})^{4}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\vec {\beta ^{2}}})-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}\right](1+\beta ^{2})$

(24.18)

• Wyrażenie drugie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.14):

${{q^{2}} \over {16c\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-2{\dot {\vec {\beta }}}^{2}({\vec {\beta }}\cdot {\hat {\vec {R}}})+2({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\hat {\vec {R}}})} \over {(1-{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {\beta }})^{5}}}={{q^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-2{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(\beta z+2({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})({\vec {\dot {\beta }}}_{x}{\hat {R}}_{x}+{\vec {\dot {\beta }}}_{y}{\hat {R}}_{y}+{\vec {\dot {\beta }}}_{z}{\hat {R}}_{z})} \over {(1-z\beta )}}=$
$={{q^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}\int _{-1}^{1}{{-2{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\beta z+2({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}){\dot {\beta }}_{z}z} \over {(1-\beta z)^{4}}}d\Omega ={{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}(1-\beta ^{2})^{4}}}\left[-{{2} \over {3}}({\dot {\vec {\beta }}})^{2}{\vec {\beta }}^{2}+{{2} \over {3}}\left({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{2}\right](5+{\vec {\beta }}^{2})$

(24.19)

• Wyrażenie trzecie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.15):

${{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\hat {\vec {R}}})^{2}} \over {1-{\vec {\beta }}\cdot {\hat {\vec {R}}}}}={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-({\hat {R}}_{x}{\dot {\beta }}_{x}+{\hat {R}}_{y}{\dot {\beta }}_{y}+{\hat {R}}_{z}{\dot {\beta }}_{z})^{2}} \over {(1-z\beta )^{5}}}=$

$={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-({\hat {R}}_{x}^{2}{\dot {\beta }}_{x}^{2}+{\hat {R}}_{y}^{2}{\dot {\beta }}_{y}^{2}+{\hat {R}}_{z}^{2}{\dot {\beta }}_{z}^{2}+{\hat {R}}_{x}{\hat {R}}_{y}{\dot {\beta }}_{x}{\dot {\beta }}_{y}+{\hat {R}}_{x}{\hat {R}}_{z}{\dot {\beta }}_{x}{\dot {\beta }}_{z}+{\hat {R}}_{y}{\hat {R}}_{z}{\dot {\beta }}_{y}{\dot {\beta }}_{z})} \over {(1-z\beta )^{5}}}=$
$={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-({\hat {R}}_{x}^{2}{\dot {\beta }}_{x}^{2}+{\hat {R}}_{y}^{2}{\dot {\beta }}_{y}^{2}+{\hat {R}}_{z}^{2}{\dot {\beta }}_{z}^{2})} \over {(1-z\beta )^{5}}}=\;$
$=-{{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\left(2\pi \int _{-1}^{1}dz{{z^{2}{\dot {\beta _{z}}}^{2}} \over {(1-z\beta )^{5}}}+\int _{0}^{\pi }({{\sin ^{3}\phi } \over {(1-\cos \phi \beta )^{5}}}d\phi )\int _{0}^{2\pi }\left({{\dot {\beta }}_{x}}^{2}\cos ^{2}\theta +{{\dot {\beta }}_{y}}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\right)=$
$=-{{q^{2}} \over {8\pi c\epsilon _{0}}}{\dot {\beta }}_{z}^{2}{{2(1+5\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}-{{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\left(\int _{-1}^{1}{{(1-z^{2})dz} \over {(1-\beta z)^{5}}}\right)\pi ({\dot {\beta }}_{x}^{2}+{\dot {\beta }}_{y}^{2})=$
$=-{{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}{\dot {\beta }}_{z}^{2}{{1+5\beta ^{2}} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}-{{q^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}\left({{2(1+\beta ^{2})} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}-{{2(1+5\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}\right)({\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{\dot {\beta }}_{z}^{2})=$
$=-{{q^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}{{4{\dot {\beta }}_{z}^{2}(1+5\beta ^{2})+6{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\beta }^{2})-2{\dot {\beta }}^{2}(1+5\beta ^{2})-6{\dot {\vec {\beta }}}_{z}^{2}(1+{\beta }^{2})+2{\dot {\beta }}_{z}^{2}(1+5\beta ^{2}))} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}=$

$=-{{q^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}{{24{\dot {\beta }}_{z}^{2}\beta ^{2}+4{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-4{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\beta ^{2}} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}=-{{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}{{(6(\beta \cdot {\dot {\beta }})^{2}+{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1-{\vec {\beta }}^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}={{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}(1-\beta ^{2})^{4}}}\left(-2({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}-{{1} \over {3}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1-{\vec {\beta }}^{2})\right)$

(24.20)

• Wyrażenie czwarte, korzystając przy tym ze wzoru na policzone wcześniej całek oznaczonych (24.13) i (24.15):

${{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int d\Omega {{-({\hat {\vec {R}}}\cdot \left({\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right))^{2}} \over {(1-{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}})^{5}}}={{q^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int {{-\left[-R_{x}(\beta {\dot {\beta }}_{y})+R_{y}(\beta {\dot {\beta }}_{x})\right]^{2}} \over {(1-z\beta )^{5}}}=$

$=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int {{R_{x}^{2}{\dot {\beta }}_{y}^{2}+R_{y}^{2}{\dot {\beta }}_{x}^{2}} \over {(1-z\beta )^{5}}}=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{{\sin ^{3}\phi } \over {(1-\cos \phi \beta )^{5}}}d\phi \int _{0}^{2\pi }({\dot {\beta }}_{x}^{2}\sin ^{2}\theta +{\dot {\beta }}_{y}^{2}\cos ^{2}\theta )d\theta =$
$=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi ^{2}c\epsilon _{0}}}\left(\int _{-1}^{1}{{1-z^{2}} \over {(1-z\beta )^{5}}}dz\right)\pi ({\dot {\beta }}_{x}^{2}+{\dot {\beta }}_{y}^{2})=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}\left[{{2(1+\beta ^{2})} \over {(1-\beta ^{2})^{4}}}-{{2(1+5\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}\right]({\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{\dot {\beta }}_{z}^{2})=$
$=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}{{6(1+\beta ^{2})-2(1+5\beta ^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}({\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{\dot {\beta }}_{z}^{2})=-{{q^{2}\beta ^{2}} \over {16\pi c\epsilon _{0}}}{{4-4\beta ^{2}} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}({\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{\dot {\vec {\beta }}}_{z}^{2})=$

$=-{{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}{{(1-\beta ^{2})(\beta ^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-\beta ^{2}{\dot {\beta }}_{z}^{2})} \over {3(1-\beta ^{2})^{4}}}={{q^{2}} \over {4\pi c\epsilon _{0}(1-\beta ^{2})^{4}}}\left\{-{{1} \over {3}}(1-\beta ^{2})\left[{\vec {\beta }}^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-\left({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}\right)\right]\right\}$

(24.21)

Ostatnim krokiem jest policzenie całkowitej mocy promieniowania (24.11) dla cząstki poruszającej się z pewną dowolną prędkością i z pewnym przyspieszeniem, korzystając przy tym ze wzorów (24.18), (24.19), (24.20) oraz (24.21). Zatem dokonajmy wyznaczenia tejże wielkości.

$P={{q^{2}\gamma ^{8}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}\left\{\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1+{\vec {\beta ^{2}}})-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}\right](1+\beta ^{2})+{\Bigg [}-{{2} \over {3}}({\dot {\vec {\beta }}})^{2}{\vec {\beta }}^{2}+{{2} \over {3}}\left({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{2}\right](5+{\vec {\beta }}^{2})-2({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}-{{1} \over {3}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}(1-{\vec {\beta }}^{2})+\;$
$-{{1} \over {3}}(1-\beta ^{2})\left[{\vec {\beta }}^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-\left({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}\right)\right]{\Bigg \}}={{q^{2}\gamma ^{8}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}{\Bigg \{}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\beta ^{2}-({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}+\beta ^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+\beta ^{4}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-\beta ^{2}({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}-{{10} \over {3}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}{\vec {\beta }}^{2}+{{10} \over {3}}({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}+\;$
$-{{2} \over {3}}\beta ^{4}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+{{2} \over {3}}\beta ^{2}({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {\beta }})^{2}-2({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\beta }})^{2}-{{1} \over {3}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+{{1} \over {3}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\beta ^{2}-{{1} \over {3}}{\vec {\beta }}^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+{{1} \over {3}}({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}+{{1} \over {3}}\beta ^{4}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{{1} \over {3}}\beta ^{2}({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}{\Bigg \}}=$

$={{q^{2}\gamma ^{8}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}{\Bigg [}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\left(1+\beta ^{2}+\beta ^{2}+\beta ^{4}-{{10} \over {3}}\beta ^{2}-{{2} \over {3}}\beta ^{4}-{{1} \over {3}}+{{1} \over {3}}\beta ^{2}-{{1} \over {3}}\beta ^{2}+{{1} \over {3}}\beta ^{4}\right)+({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}{\Bigg (}-1-\beta ^{2}+{{10} \over {3}}+{{2} \over {3}}\beta ^{2}-2+\;$
$+{{1} \over {3}}-{{1} \over {3}}\beta ^{2}{\Bigg )}{\Bigg ]}={{q^{2}\gamma ^{8}} \over {4\pi c\epsilon _{0}}}\left\{{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\left[{{2} \over {3}}-{{4} \over {3}}\beta ^{2}+{{2} \over {3}}\beta ^{4}\right]+({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}\left[{{2} \over {3}}-{{2} \over {3}}\beta ^{2}\right]\right\}={{q^{2}\gamma ^{8}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[\beta ^{2}(1-\beta ^{2})^{2}+({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}(1-\beta ^{2})\right]=\;$
$={{q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[{\dot {\beta }}^{2}(1-\beta ^{2})+({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}\right]={{q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}})^{2}-{\dot {\vec {\beta }}}^{2}{\vec {\beta }}^{2}\right]={{q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}+{\vec {\beta }}^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\cos ^{2}\alpha -{\dot {\vec {\beta }}}^{2}{\vec {\beta }}^{2}\right]=$

$={{q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{\vec {\beta }}^{2}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\sin ^{2}\alpha \right]={{q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c\epsilon _{0}}}\left[{\dot {\vec {\beta }}}^{2}-|{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}|^{2}\right]={{\mu _{0}cq^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi }}\left[{{a^{2}} \over {c^{2}}}-\left|{{{\vec {a}}\times {\vec {v}}} \over {c}}\right|^{2}{{1} \over {c^{2}}}\right]={{\mu _{0}q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c}}\left(a^{2}-\left|{{{\vec {a}}\times {\vec {v}}} \over {c}}\right|^{2}\right)$

(24.22)

Uogólnieniem Liénarda wzoru Larmora nazywamy na podstawie obliczeń (24.22) wzór w postaci:

$P={{\mu _{0}q^{2}\gamma ^{6}} \over {6\pi c}}\left(a^{2}-\left|{{{\vec {a}}\times {\vec {v}}} \over {c}}\right|^{2}\right)$

(24.23)

Widzimy, że gdy v<c i v→ c otrzymujemy wtedy γ→∞, czyli moc promieniowania dla tego przypadku jest nieskończenie duża. Gdy v<<c, wtedy zachodzi przybliżona tożsamość γ≈ 1, zatem otrzymujemy wzór Larmora (24.7). Dochodzimy więc do wniosku, że wzór Larmora jest spełniony w przypadku nierelatywistycznym.