Elektrodynamika klasyczna/Elektrodynamika Maxwella

Elektrodynamika Maxwella

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W tym rozdziale przypomnimy równania w postaci różniczkowej magnetostatyki i elektrostatyki, i uogólnimy tak by stały się równaniami elektrodynamiki Maxwella.

Równania elektrostatyki i magnetostatyki oraz prawo Faraday'a

Dotychczas poznaliśmy prawa dotyczące elektrostatyki i magnetostatyki wraz z prawem Faradaya, w postaci:

Różniczkowe równania elektrostatyki i magnetostatyki oraz prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday'a:
Prawo Gaussa w elektrostatyce (2.12)	Prawo Gaussa w magnetostatyce (9.7)	Prawo Faraday'a (14.1)	Prawo Stokesa w magnetostatyce (9.14)
$\nabla \cdot {\vec {E}}={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}$ (15.1)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (15.2)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\;$ (15.3)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}$ (15.4)

Załóżmy, że powyższe równania są również spełnione dla zmiennych pół elektromagnetycznych, i wykażmy, że powyższe równania są wzajemnie niesprzeczne, jeśli je w miarę uzupełnijmy. Podziałajmy operatorem $\nabla \cdot \;$ na lewą i prawą stronę równania (15.1) i wyznaczymy, że jeśli lewa strona tej równości jest równa zero, przy tym korzystając ze wzoru (15.2), to prawa też:

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)=\nabla \cdot \left(-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)=-{{\partial } \over {\partial t}}\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right)=-{{\partial 0} \over {\partial t}}=0$

(15.5)

• co jest tożsamościowo równe zero, zatem doszliśmy do wniosku, że drugie i trzecie równania są ze sobą niesprzeczne, czyli są poprawne.

Podziałajmy operatorem $\nabla \cdot \;$ na lewą i prawą stronę równania (15.4) i dojdziemy do wniosku, że w zmiennym polu magnetycznym, w których płynie prąd niestały w ogólności i zgodnie z prawem ciągłości, że jest ona logicznie sprzeczna, co możemy powiedzieć:

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \left(\mu _{0}{\vec {J}}\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\vec {J}}\right)$

(15.6)

Powyższe równanie jest spełnione dla prądów stałych w przestrzeni, gdy w magnetostatyce jest spełniony wzór (8.19), ale ogólnie dla zmiennych prądów objętościowych nie jest już spełnione to prawo a także też równanie (15.6). Prawo ciągłości dla ładunków elektrycznych znane z mechaniki teoretycznej wygląda:

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\nabla \left(\rho {\vec {v}}\right)=0$

(15.7)

Można udowodnić, że można zapisać powyższe prawo przy wykorzystaniu przy pomocy definicji gęstości prądu elektrycznego, która wyraża się w zależności od prędkości ładunków ${\vec {v}}\;$, którego gęstość ładunku elektrycznego jest równa ρ.

$\Delta q=\rho vS\Delta t\Rightarrow I={{\Delta q} \over {\Delta t}}=\rho vS\Rightarrow J=\rho v\Rightarrow {\vec {J}}=\rho {\vec {v}}$

(15.8)

Wtedy równanie ciągłości (15.7) zastępując w nim iloczyn $\rho {\vec {v}}\;$ innym wyrażeniem, który wyprowadziliśmy na podstawie wyprowadzonej tożsamości (15.8), wtedy można zapisać to prawo w postaci:

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0$

(15.9)

W prawie ciągłości zastępujemy gęstość objętościową zmieniającego się ładunku wedle wyrażenia (15.1) i biorąc wszystkie wyrazy w nim występujące pod operator ∇, dostajemy:

$\epsilon _{0}\nabla {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0\Rightarrow \nabla \cdot \left({\vec {J}}+\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.10)

Aby wyrażenie (15.4) było spełnione dla zmiennych pól elektromagnetycznych należy w nim zastąpić wedle schematu gęstość prądu ładunków elektrycznych ${\vec {J}}\;$ przez sumę dwóch wielkości, tzn. gęstości ładunków elektrycznych i gęstości ładunku przesunięcia, wedle: ${\vec {J}}+{\vec {J}}_{p}\;$,

• gdzie prąd przesunięcia ${\vec {J}}_{p}\;$, na podstawie równania (15.10), definiujemy:

${\vec {J}}_{p}=\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$

(15.11)

Oczywiste jest, gdy prąd przesunięcia znika, to natężenie pola elektrycznego wcale się nie zmienia w czasie w danym punkcie w przestrzeni, wtedy w (15.10) możemy nie uwzględnić dodatkowego członu, czyli prądu przesunięcia ${\vec {J}}_{p}\;$. Po uzupełnieniu równania (15.4) o dodatkowy człon związanej z prądem przesunięcia, dostajemy równanie:

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}+{\vec {J}}_{p}\right)\Rightarrow \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$

(15.12)

Podziałajmy równanie (15.12) operatorem $\nabla \cdot \;$, wtedy jego lewa strona jest równa zero, a prawa strona jak udowodnimy na podstawie (15.10), też jest równa zero:

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \left(\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=\mu _{0}\nabla \left({\vec {J}}+\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.13)

Powyższa równość po tej poprawce jest tożsamościowo równa zeru na mocy prawa ciągłości. Dochodzimy, zatem do wniosku, że prawa elektromagnetyzmu zawierają w sobie prawo ciągłości ładunku elektrycznego po zamienieniu (15.4) przez równanie (15.12), to wszystko stanowi treść równań Maxwella.

Zestaw równań dla dowolnego pola elektromagnetycznego w ogólności zmiennego

Poniżej wypiszmy zestaw równań, które obowiązują w prawie elektromagnetyzmu Maxwella jako wniosek z poprzedniego rozdziału.

Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {E}}={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}$ (15.14)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (15.15)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (15.16)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$ (15.17)

Ładunek elektryczny i magnetyczny a prawa Maxwella

Wcześniej nie uwzględnialiśmy ładunku magnetycznego w równaniach Maxwella, a teraz uwzględnimy ten wniosek:

Pełny zestaw różniczkowych równań Maxwella z uwzględnieniem ładunku elektrycznego i magnetycznego:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {E}}={{\rho _{e}} \over {\epsilon _{0}}}$ (15.18)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=\mu _{0}\rho _{m}$ (15.19)
Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \times {\vec {E}}=-\mu _{0}{\vec {J}}_{m}-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (15.20)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}_{e}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$ (15.21)

• Zakładamy, że istnieje prawo zachowaniu ładunku magnetycznego tak samo, jak ładunku elektrycznego (15.9), czyli zachodzą tożsamości:

$\nabla \cdot {\vec {J}}_{e}+{{\partial \rho _{e}} \over {\partial t}}=0$

(15.22)

$\nabla \cdot {\vec {J}}_{m}+{{\partial \rho _{m}} \over {\partial t}}=0$

(15.23)

Jeśli wykorzystamy lokalną zasadę zachowania ładunku (15.22), i jeśli do niego podstawimy za gęstość ładunku elektrycznego $\rho _{e}\;$ równanie (15.18), wyznaczając z niego tą właśnie gęstość, wtedy otrzymamy wzór:

$\nabla \cdot {\vec {J}}_{e}+{{\partial } \over {\partial t}}\left(\epsilon _{0}\nabla {\vec {E}}\right)\Rightarrow \nabla \cdot \left({\vec {J}}_{e}+\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.24)

Do prawa zachowania ładunku magnetycznego (15.23) podstawimy wzór na gęstość objętościową ładunków magnetycznych wynikających ze wzoru (15.19), i w ten sposób dostajemy tożsamość zgodną z prawem ciągłości:

$\nabla \cdot {\vec {J}}_{m}+{{\partial } \over {\partial t}}\left[{{1} \over {\mu _{0}}}\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right)\right]=0\Rightarrow \nabla \cdot \left({\vec {J}}_{m}+{{1} \over {\mu _{0}}}{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.25)

Aby sprawdzić czy prawa elektromagnetyzmu Maxwella z uwzględnieniem ładunku magnetycznego, tzn. czy (15.20) i (15.21) są poprawnymi równaniami elektrodynamiki, wtedy na pierwsze z nich działamy operatorem obustronnie $\nabla \cdot \;$, wtedy dostajemy tożsamość, że prawa strona jest równa lewej:

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)=\nabla \cdot \left(-\mu _{0}{\vec {J}}_{m}-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)=-\mu _{0}\nabla \cdot \left({\vec {J}}_{m}+{{1} \over {\mu _{0}}}{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.26)

Powyższa tożsamość jest spełniona na mocy zasady zachowania ładunku magnetycznego (15.25).

• Prawo Maxwella uwzględnia zasadę zachowania ładunku magnetycznego.

Następnie policzmy działając obustronnie operatorem ∇ na równanie (15.21):

$\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \left(\mu _{0}{\vec {J}}_{e}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=\mu _{0}\nabla \cdot \left({\vec {J}}_{e}+\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=0$

(15.27)

Powyższa tożsamość jest spełniona na mocy zasady zachowania ładunku elektrycznego (15.24).

• Prawo Maxwella również uwzględnia zasadę zachowania ładunku elektrycznego.

A więc powyższy zestaw równań Maxwella, tzn. (15.18), (15.19), (15.20) i (15.21) uwzględniający monopole elektryczne i magnetyczne z zasadą zachowania tychże monopoli jest zapisem równań wewnętrznie spójnym.

Materia a różniczkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella

W treści o elektrostatyce poznaliśmy wzór na gęstość powierzchniową ładunków związanych (7.8), czyli jakakolwiek zmiana polaryzacji powoduje zmianę płynącego prądu w postaci:

$\Delta I=\Delta {{\sigma _{zw}\Delta S^{\bot }} \over {\Delta t}}={{\Delta \sigma _{zw}} \over {\Delta t}}\Delta S^{\bot }\Rightarrow dI={{\partial \sigma _{zw}} \over {\partial t}}dS^{\bot }\Rightarrow J_{p}={{dI} \over {dS^{\bot }}}={{\partial \sigma _{zw}} \over {\partial t}}\Rightarrow J_{p}={{\partial P} \over {\partial t}}$

(15.28)

• gdzie $dS^{\bot }\;$ jest to powierzchnia prostopadła do płynącego prądu, a więc do wektora ${\vec {n}}\;$ w wyniku zmiany polaryzacji elektrycznej. Zatem wektor gęstości prądu związanego ze zmianą polaryzacji elektrycznej w danym punkcie ośrodka względem czasu zapisujemy:

${\vec {J}}_{p}={{\partial {\vec {P}}} \over {\partial t}}$

(15.29)

Całkowita gęstość objętościowa ładunku w danej infinitezymalnej objętości jest sumą gęstości ładunków swobodnych i związanych zdefiniowany przy pomocy dywergencji polaryzacji elektrycznej (7.9):

$\rho =\rho _{sw}+\rho _{zw}=\rho _{sw}-\nabla \cdot {\vec {P}}$

(15.30)

Całkowita gęstość prądu objętościowego jest sumą gęstości prądów swobodnych, związanych (12.12) i prądu polaryzacyjnego (15.29), tzn.:

${\vec {J}}={\vec {J}}_{sw}+{\vec {J}}_{zw}+{\vec {J}}_{p}={\vec {J}}_{sw}+\nabla \times {\vec {M}}+{{\partial {\vec {P}}} \over {\partial t}}$

(15.31)

Całkowita gęstość ładunku objętościowego (15.30) wstawiamy do pierwszego prawa Maxwella (15.14) dostając końcowy w wyniku tej operacji wzór:

$\nabla \cdot {\vec {E}}={{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \Rightarrow \nabla \cdot {\vec {E}}={{1} \over {\epsilon _{0}}}\left(\rho _{sw}-\nabla {\vec {P}}\right)\Rightarrow \nabla \cdot \left(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\right)=\rho _{sw}$

(15.32)

Wektor indukcji magnetycznej zapisujemy podobnie jak dla elektrostatyki dla pewnego ośrodka, który istnieje w danym punkcie (7.14), który jest funkcją natężenia pola elektrycznego ogólnie zmiennego i polaryzacji elektrycznej, które panują w danym punkcie w przestrzeni danego ośrodka, czyli wedle:

${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$

(15.33)

wtedy prawo (15.32), po wykorzystaniu zależności na indukcję pola elektrycznego (15.33) (nie elektrostatycznego w tym przypadku), zapisujemy wedle:

$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{sw}$

(15.34)

Do czwartego prawa Maxwella wstawiamy wzór na całkowitą gęstość prądu objętościowego (15.31), wtedy można powiedzieć, że zachodzi na pewno:

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\Rightarrow \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}_{sw}+\nabla \times {\vec {M}}+{{\partial {\vec {P}}} \over {\partial t}}\right)+\epsilon _{0}\mu _{0}{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\Rightarrow \nabla \times \left({\vec {B}}-\mu _{0}{\vec {M}}\right)=\mu _{0}{\vec {J}}_{sw}+\;$
$=\mu _{0}{{\partial } \over {\partial t}}\left(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\right)\Rightarrow \nabla \times \left({{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}\right)={\vec {J}}_{sw}+{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}$

(15.35)

Skorzystajmy z definicji na natężenia pola magnetycznego w zależności od indukcji pola magnetycznego i polaryzacji pola magnetycznego, która dla pola zmiennego elektromagnetycznego definicja jest taka sama jak dla pola magnetostatycznego (12.17), co powtarzając tą definicję dla pola magnetycznego zmiennego:

${\vec {H}}={{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$

(15.36)

wtedy równanie różniczkowe (15.35) można zapisać przy pomocy równania na natężenie pola magnetycznego w danym ośrodku w ściśle określonym punkcie (15.37), który jest słuszny nie tylko dla pola magnetostatycznego:

$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{sw}+{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}$

(15.37)

Poniżej przedstawiłem zestaw równań Maxwella słusznych dla dowolnego ośrodka zarówno magnetycznego i elektrycznego, a nawet te równania są słuszne dla próżni, dowody tych równań przedstawiłem powyżej w tym rozdziale:

Różniczkowe prawa Maxwella dla materii :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{sw}$ (15.38)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (15.39)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (15.40)	$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{sw}+{{\partial {\vec {D}}} \over {\partial t}}$ (15.41)
Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka
Wektor indukcji elektrycznej		Wektor natężenia pola magnetycznego
${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$ (15.42)		${\vec {H}}={{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$ (15.43)

Ośrodek liniowy a postać różniczkowa równań Maxwella

Ośrodek liniowy zarówno elektrycznie i magnetycznie ma podobne związki jak dla pola elektrostatycznego (7.38) i dla pola magnetostatycznego (12.32), które są również słuszne dla ogólnie zmiennego pola elektromagnetycznego:

${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$

(15.44)

${\vec {H}}={{1} \over {\mu }}{\vec {B}}$

(15.45)

Wtedy prawa elektrodynamiki Maxwella dla ośrodka materialnego, spełniają zależności:

Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla \cdot {\vec {E}}={{1} \over {\epsilon }}\rho _{sw}$ (15.46)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ (15.47)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$ (15.48)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {J}}_{sw}+\epsilon \mu {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$ (15.49)

Materia a całkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella

Wykorzystując prawo Gaussa i Stokesa znane z matematyki możemy wyznaczyć prawa elektrodynamiki Maxwella z ich postaci różniczkowej.

Całkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella dla ośrodka materialnego:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\oint _{S}{\vec {D}}d{\vec {S}}=q_{sw}$ (15.50)	$\oint _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}=0$ (15.51)	$\oint _{P}{\vec {E}}d{\vec {l}}=-{{d\Phi _{B}} \over {dt}}$ (15.52)	$\oint _{P}{\vec {H}}d{\vec {l}}=I_{sw}+{{d\Phi _{D}} \over {dt}}$ (15.53)
Definicja pewnych wektorów		Definicja strumieni
${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\;$ (15.54)	${\vec {H}}={{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}\;$ (15.55)	$\Phi _{D}=\int _{S}{\vec {D}}d{\vec {S}}\;$ (15.56)	$\Phi _{B}=\int _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}\;$ (15.57)

Graniczne warunki brzegowe dla równań elektrodynamiki Maxwella dotyczące materii

(Rys. 15.1) Rysunek przedstawiający cyrkulację natężenia pola elektrycznego względem strumienia indukcji pola magnetycznego

Obierzmy sobie pewien prostokąt, którego krawędzie górne i dolne są równoległe do małego wycinka powierzchni między dwoma ośrodkami, której wycinek przypomina płaską płaszczyznę w przybliżeniu. Ten strumień magnetyczny liczymy po powierzchni tego prostokąta zastępując ją jako strumień z średniego pola magnetycznego pojawiającego się na tej powierzchni tej figury, co poniżej nie będziemy specjalnie oznaczać. Strumień indukcji pola magnetycznego (15.57), która jest całką indukcji pola magnetycznego względem powierzchni tegoż obranego prostokąta, zapisujemy:

$\Phi _{B}=\oint _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}=B^{||}lh=hlB^{||}\;$

(15.58)

Zdefiniujmy pochodną zupełną strumienia indukcji pola magnetycznego (15.58) względem czasu, jest ona zależna od długości l i wysokości prostokąta h:

${{d} \over {dt}}\Phi _{B}=hl{{dB^{||}} \over {dt}}\;$

(15.59)

Cyrkulacja pola magnetycznego obliczonego na wspomnianym konturze, który jest prostokątem, można zapisać przy pomocy też długości i szerokości naszego obranego prostokąta, ale w oddzielnych składnikach, który zapisujemy:

$\oint _{K}{\vec {E}}d{\vec {l}}=E_{nad}^{||}l-E_{pod}^{||}l+E_{prawy}^{||}h-E_{lewy}^{||}h$

(15.60)

Dochodzimy do wniosku, że trzecie prawo Maxwella dla ośrodków materialnych (15.52), korzystając przy tym z wniosków (15.59) (prawa strona tego prawa) i (15.60) (lewa strona tego prawa), łącząc te wnioski w prawie Faraday'a, dochodzimy więc do równania:

$E_{nad}^{||}l-E_{pod}^{||}l+E_{prawy}^{||}h-E_{lewy}^{||}h=-hl{{dB^{||}} \over {dt}}$

(15.61)

Równanie (15.61) dzielimy obustronnie przez zmienną l charakteryzującego długość obranego ścisłego prostokąta, wtedy dostajemy inne równoważne stwierdzenie:

$E_{nad}^{||}-E_{pod}^{||}+{{h} \over {l}}\left(E_{prawy}^{||}-E_{lewy}^{||}\right)=-h{{dB^{||}} \over {dt}}$

(15.62)

Jeśli dodatkowo obrany powyżej prostokąt jest mały, dla którego zachodzi: ${{h} \over {l}}\rightarrow 0$, a także $l\rightarrow 0$, czyli wszystkie krawędzie prostokąta dążą do zera, ale stosunek krawędzi bocznych przez długość boku górnego lub dolnego dąży do zera, i dlatego ten stosunek jest taki, by byśmy mieli w końcowym wniosku doczynienia z tylko składowymi równoległymi wektora natężenia pola elektrycznego do granicy dwóch ośrodków ściśle określonych, to z równości (15.62) wynika, że wektor składowej natężenia pola elektrycznego równoległej do bardzo małego wycinka powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami zmienia się przechodząc z jednego ośrodka do drugiego na w sposób:

$E_{nad}^{||}-E_{pod}^{||}=0$

(15.63)

Otrzymaliśmy takie samo prawo jak dla elektrostatyki w wykorzystaniu prawa Stokesa (7.33).

(Rys. 15.2) Rysunek przedstawiający cyrkulację pola natężenia pola magnetycznego względem strumienia indukcji pola elektrycznego

Obierzmy drugi prostokąt, którego strumień indukcji pola elektrycznego (15.56) zapisujemy jako całkę względem indukcji pola elektrycznego w ośrodku materialnym przy powierzchni prostokąta równej lh, którą zastepujemy przez iloczyn średniej indukcji pola elektrycznego przez pole tego prostokata, dostajemy przy tych rozważaniach wniosek:

$\Phi _{D}=\oint _{S}{\vec {D}}d{\vec {S}}=lhD^{||}$

(15.64)

Zmiana strumienia indukcji elektrycznej (15.64) względem czasu, jak zobaczymy, że ona jest zależna od długości l i wysokości kwadratu h i przedstawiamy ją wedle sposobu:

${{d\Phi _{D}} \over {dt}}=lh{{dD^{||}} \over {dt}}$

(15.65)

Cyrkulacja natężenia pola elektrycznego przedstawiamy jako całkę okrężną po konturze naszego obranego prostokąta i wyrazimy ją według wzoru:

$\oint _{K}{\vec {H}}d{\vec {l}}=H_{nad}^{||}l-H_{pod}^{||}l+H_{prawy}^{||}h-H_{lewy}^{||}h$

(15.66)

Obliczone już wnioski (15.66) i (15.65) podstawiamy do prawa czwartego Maxwella (15.53), tzn. do lewej i prawej jego stronie, dochodzimy do:

$H_{nad}^{||}l-H_{pod}^{||}l+H_{prawy}^{||}h-H_{lewy}^{||}h=I_{sw}+lh{{dD^{||}} \over {dt}}$

(15.67)

Podzielmy równanie (15.67) przez niezerową wielkość l, która jest długością obranego wcześniej prostokąta, mamy:

$H_{nad}^{||}-H_{pod}^{||}+{{h} \over {l}}\left(H_{prawy}^{||}-H_{lewy}^{||}\right)={{I_{sw}} \over {l}}+h{{dD^{||}} \over {dt}}$

(15.68)

Jeśli dodatkowo obrany powyżej prostokąt jest mały, dla którego zachodzi ${{h} \over {l}}\rightarrow 0$, a także $l\rightarrow 0$, czyli długości wszystkich krawędzi tego prostokąta dążą do zera, ale stosunek długości dowolnej krawędzi bocznej przez długości krawędzi dolnego i górnego dąży do zera, ależ też w równości (15.68) $I_{sw}\;$ dąży do zera, jako bardzo małe natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez nieskończenie mały prostokąt, to wzór (15.68) na podstawie wspomnianych warunków przechodzi w równość:

$H_{nad}^{||}-H_{pod}^{||}={{I_{sw}} \over {l}}$

(15.69)

Jeśli zastosujemy definicję gęstości prądu powierzchniowego (8.10), wtedy prawo (15.69) zapisujemy skalarnie w postaci:

$H_{nad}^{||}-H_{pod}^{||}=K$

(15.70)

W prowadzając obliczenia na wektorach w (15.70) biorąc normalną ${\vec {n}}\;$ jako wektor prostopadły do powierzchni granicy dwóch obranych prostokątów, wtedy mamy:

${\vec {H}}_{nad}^{||}-H_{pod}^{||}={\vec {K}}\times {\hat {n}}$

(15.71)

Prawo (15.71) wynikającego z prawa Maxwella, jak doszliśmy do wniosku, że ono też jest słuszne dla stałych prądów w ośrodku materialnym (12.26) i nie tylko. Warunki graniczne według pierwszego lub drugiego prawa Maxwella otrzymujemy jak elektrostatyce lub magnetostatyce, tylko operujemy na gęstościach powierzchniowych ładunków i prądach swobodnych. Wniosek wynikającego z pierwszego prawa Maxwella dla ośrodków materialnych jest taki sam jak wniosek wynikającego z prawa Gaussa dla elektrostatyki (7.30):

$D_{nad}^{||}-D_{pod}^{||}=\sigma _{sw}$

(15.72)

A także wniosek wynikającego z drugiego prawa Maxwella, który jest identyczny z prawem Gaussa dla magnetostatyki (10.30):

$B_{nad}^{||}-B_{pod}^{\bot }=0$

(15.73)

Zestaw warunków granicznym przyjmuje postać na granicy między dwoma ośrodkami zarówno magnetycznie i elektrycznie w elektrodynamice klasycznej Maxwella:

Zestaw warunków granicznych dla dowolnego ośrodka materialnego:
$D_{nad}^{||}-D_{pod}^{||}=\sigma _{sw}$ (15.74)	$E_{nad}^{||}-E_{pod}^{||}=0$ (15.75)
$B_{nad}^{||}-B_{pod}^{\bot }=0$ (15.76)	${\vec {H}}_{nad}^{||}-{\vec {H}}_{pod}^{||}={\vec {K}}\times {\hat {n}}$ (15.77)

Jeśli mamy do czynienia z ośrodkiem magnetycznym zarówno liniowo magnetycznie i jak elektrycznie, to zestaw tych warunków dla ośrodków spełniającego warunki (15.44) (elektryczność) i (15.45) (magnetyzm) są:

Zestaw warunków granicznych:
$\epsilon _{nad}E_{nad}^{\bot }-\epsilon _{pod}E_{pod}^{\bot }=\sigma _{sw}$ (15.78)	$E_{nad}^{||}-E_{pod}^{||}=0$ (15.79)
$\mu _{nad}H_{nad}^{\bot }-\mu _{pod}H_{pod}^{\bot }=0$ (15.80)	${\vec {H}}_{nad}^{||}-{\vec {H}}_{pod}^{||}={\vec {K}}\times {\hat {n}}$ (15.81)

Dla ośrodka liniowego magnetycznie i elektrycznie, gdy w szczególności nie mamy ładunków swobodnych, czy powierzchniowych prądów swobodnych, to zestaw tych warunków brzegowych wygląda wtedy:

Warunki graniczne, gdy brak ładunków i prądów powierzchniowych
$\epsilon _{nad}E_{nad}^{\bot }-\epsilon _{pod}E_{pod}^{\bot }=0$ (15.82)	$E_{nad}^{||}-E_{pod}^{||}=0$ (15.83)
$\mu _{nad}H_{nad}^{\bot }-\mu _{pod}H_{pod}^{\bot }=0$ (15.84)	${\vec {H}}_{nad}^{||}-{\vec {H}}_{pod}^{||}=0$ (15.85)