Elektrodynamika klasyczna/Wektor indukcji magnetycznej

Wektor indukcji magnetycznej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poprzednio zdefiniowaliśmy wektor indukcji magnetycznej, ale nie podaliśmy jak je liczyć według jakiego wzoru, co uczynimy poniżej.

Prawo Biota-Savarta

Załóżmy, że mamy stałe prądy, wtedy ten prąd wytwarza ogólnie w nieliniowym przewodniku stałe pola magnetyczne wokół niego. Obliczmy jaki przyczynek wnosi mały przycinek :$d{\vec {B}}$, do pola magnetycznego wokół przewodnika w ściśle określonym położeniu. Pole magnetyczne liniowego prądu stałego jest określone przez prawo Biota-Savarta napisana przez:

${\vec {B}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}I\int {{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}$

(9.1)

• gdzie R jest to odległość odcinka $d{\vec {l}}$ do punktu, w którym liczymy indukcję pola magnetycznego pochodzącą od nieskończenie małych przycinków o długości dl, który to przyczynek ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu $d{\vec {l}}\;$ do pola magnetycznego.
• I- natężenie prądu stałego w przewodniku
• μ₀ jest to przenikalność magnetyczna próżni równą wartości: $4\pi \cdot 10^{-7}{{N} \over {A^{2}}}$.

Prawo Biota-Savarte zależne od prędkości źródła pola magnetycznego

Mając pierwotny wzór na indukcję pola elektrycznego nieskończonego przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I, wtedy wyprowadźmy wzór jakie jest pole magnetyczne wytwarzane przez ładunek q, poruszający się z prędkością ${\vec {v}}$:

${\vec {B}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{dq} \over {dt}}{{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int dq{{{\vec {v}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}$

(9.2)

Powyższym prawie wektor indukcji magnetycznej wyznaczamy dla punktu ściśle określonego pochodzącego od ruchu każdego ładunku dq pędzącego z prędkościami ${\vec {v}}\;$ znajdującego się w ogólności w nieskończonym przewodniku, który na przykład może nie być liniowy. Jeśli mamy mały i punktowy ładunek q, który pędzi z prędkością ${\vec {v}}\;$, to wytwarzane przez niego pole magnetyczne w danym punkcie według wzoru (9.2) w odległości od niego o wektor ${\vec {R}}\;$ przedstawia się:

${\vec {B}}({\vec {R}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{q{\vec {v}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}$

(9.3)

Według tego wzoru, każdy ładunek pędzący z prędkością ${\vec {v}}\;$ wytwarza wokół siebie pole magnetyczne, które wyznaczamy dla każdego punktu według ostatniego wzoru.

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych, mając definicję gęstości powierzchniowej prądu, wtedy wzór na wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzane przez nieskończony przewodnik z prądem (9.1), jest napisany wedle:

${\vec {B}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int I{{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int Ka{{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {K}}\times {\vec {R}}} \over {R^{3}}}dS$

(9.4)

Zatem mając wzór (9.4), który jest w formie całkowej w zależności od gęstości prądu powierzchniowego wytwarzanego przez daną cząstkę powierzchni dS, w której płynie prąd powierzchniowy, a ich całka daje całkowite pole magnetyczne o indukcji ${\vec {B}}\;$ wytwarzaną przez daną powierzchnię, w której płyną pewne prądy.

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych piszemy, znając definicję gęstości objętościowej prądu (8.6), wtedy wzór (9.1) na całkowity wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcie zapisujemy:

${\vec {B}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int I{{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int JS{{d{\vec {l}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}dV$

(9.5)

Mając wzór (9.5) wektor indukcji pola magnetycznego jest całką po objętości, w której w danym punkcie płynie prąd o gęstości prądu ${\vec {J}}\;$ i oddalonym od punktu, w którym wyznaczamy wektor indukcji pola magnetycznego o wektor ${\vec {R}}\;$.

Różniczkowe prawo Gaussa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy wyrażenie na dywergencję pola magnetycznego ${\vec {B}}$ w danym punkcie przestrzeni wytwarzanej przez nieskończony przewodnik z prądem wedle równania (9.1), piszemy ją mając w całce pewne wielkości zależne od przewodnika, które oznaczać je będziemy primami, tzn. gęstość prądu i elementarną objętość:

$\nabla \cdot {\vec {B}}={{1} \over {4\pi }}\int _{V}\nabla \left({\vec {J}}^{'}\times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right)dV^{'}={{1} \over {4\pi }}\int _{V}\left[{{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\left(\nabla \times {\vec {J}}^{'}\right)-{\vec {J}}^{'}\left(\nabla \times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right)\right]dV^{'}$

(9.6)

Wyrażenie $\nabla \times {\vec {J}}^{'}$ jest równe zero, ponieważ różniczkujemy po współrzędnych nienależących do wektora gęstości prądu elektrycznego płynącego w danym punkcie. Zatem na podstawie powyższych wywodów i z obliczeń (9.6) i tożsamości (2.20) dostajemy wzór na prawo Gaussa, która jest dywergencją pola magnetycznego w danym punkcie, która jest równa zero.

$\operatorname {div} {\vec {B}}=0$

(9.7)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa dla magnetostatyki.

Całkowe prawo Gausa dla pola magnetostatycznego

Przecałkujmy obustronnie różniczkowe prawo Gaussa, w lewej jego strony zamieńmy całkowanie po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamieniając na całkowanie po tej powierzchni:

$\int _{V}\operatorname {div} {\vec {B}}dV=0\Rightarrow \int _{V}\nabla {\vec {B}}dV=0\Rightarrow \int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0$

(9.8)

Zatem na podstawie obliczeń (9.8) całka indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest równa zero, co znaczy, że pole magnetyczne jest bezźródłowe.

$0=\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$

(9.9)

Różniczkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wytwarzanej przez nieskończenie duży przewodnik z prądem i oznaczając zmienne zależne primami, które są to tzn. gęstość prądu i infinitezymalna objętość, wtedy korzystając z prawa Biota-Savarte na wektor indukcji pola magnetycznego pochodzącego od tego przewodnika:

$\nabla \times {\vec {B}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int _{V}\nabla \times \left({\vec {J}}^{'}\times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right)dV^{'}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}^{'}\left(\nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right)dV^{'}-{{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int _{V}\left({\vec {J}}^{'}\nabla \right){{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV^{'}$

(9.10)

Aby sprawdzić, czy drugi wyraz znika w (9.10) policzmy wyrażenie występujące jako drugi wyraz wspomnianym wyrażeniu:

$\int _{V}\left({J}^{'}\nabla \right){{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV^{'}=\int _{V}\left(J_{i}^{'}\nabla _{i}\left({\vec {k}}_{j}{{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}\right)\right)dV^{'}=\int _{V}{\vec {k}}_{j}\left(J_{i}^{'}\nabla _{i}\left({{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}\right)\right)dV^{'}=\;$
$={\vec {k}}_{j}\left(\int _{V}\nabla _{i}\left(J_{i}^{'}{{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}\right)dV^{'}-\int _{V}{{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}\nabla _{i}J_{i}^{'}dV\right)$

(9.11)

Drugi wyraz w (9.11) znika, ponieważ różniczkowanie gęstości prądu elektrycznego jest po innych zmiennych niż ona zależy. Dla pierwszego wyrazy wspomnianym równaniu zapisujemy je wedle sposobu:

$\int _{V}\nabla _{i}J_{i}^{'}{{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}dV^{'}=\int _{V}\nabla \left(J{{{\hat {R}}_{j}} \over {R^{2}}}\right)dV=\int _{S}{{JR_{j}} \over {R^{3}}}d{\vec {S}}$

(9.12)

Określmy powierzchnię S na tyle dużą, w (9.12) tak by ona zawierała wszystkie ładunki i prądy wewnątrz tej powierzchni ale nie na niej, wtedy na tej powierzchni gęstość prądu ${\vec {J}}\;$ jest równa zero. A więc na podstawie powyższych rozważań i z tożsamości (2.14) znanego z wiadomości o dystrybuantach, rotacja indukcji pola magnetycznego (9.10) jest równa prawej stronie poniższej równości:

$\nabla \times {\vec {B}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}4\pi \delta ^{3}\left({\vec {R}}\right)dV^{'}\Rightarrow \nabla \times {\vec {B}}=\int _{V}\mu _{0}{\vec {J}}\delta ^{3}\left({\vec {R}}\right)dV^{'}\Rightarrow \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}$

(9.13)

Ostatecznie różniczkowe prawo Stokesa mówi, że rotacja indukcji pola magnetycznego w danym punkcie jest równa gęstości prądu panującego w tymże punkcie pomnożona przez przenikalność magnetyczną próżni:

$\operatorname {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}$

(9.14)

Całkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Przeprowadźmy obustronne całkowanie po pewnej powierzchni różniczkowego prawa Stokesa (9.14), którego ogranicza pewny zamknięty kontur, korzystając z twierdzenia Stokesa dla jego lewej strony i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) jako pochodną malutkiego natężenia prądu elektrycznego płynącego przez malutką powierzchnię, przez którą płynie ten prąd i zwrocie zgodnym z kierunkiem płynięcia rozważanego prądu:

$\int _{S}\operatorname {rot} {\vec {B}}d{\vec {S}}=\mu _{0}\int {\vec {J}}d{\vec {S}}\Rightarrow \oint _{l}{\vec {B}}d{\vec {l}}=\mu _{0}\int _{S}dI\Rightarrow \oint _{l}{\vec {B}}d{\vec {l}}=\mu _{0}I\;$

(9.15)

• gdzie:$I=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\;$ jest to natężenie prądu elektrycznego płynącego przez pewną powierzchnię, którą ogranicza ściśle określony kontur, jest ona sumą wszystkich prądów we wszystkich przewodnikach spełniającego te dysputy.