Elektrodynamika klasyczna/Elektrostatyka

Elektrodynamika klasyczna

Elektrostatyka

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Elektrostatyka 2Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki 3Pole skalarne 4Przewodniki 5Rozwinięcia kwadrupolowe 6Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym 7Ciało spolaryzowane a jego pole 8Magnetostatyka 9Wektor indukcji magnetycznej 10Magnetyczny potencjał wektorowy 11Elementarne właściwości materii w polu magnetycznym 12Prądy związane z polem namagnesowanego ciała 13Przewodnik z prądem elektrycznym 14Indukcja elektromagnetyczna 15Elektrodynamika Maxwella 16Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego 17Fale elektromagnetyczne w elektrodynamice Maxwella 18Absorpcja i dyspersja w materii 19Opis fal prowadzonych 20Pola skalarne i wektorowe a równania elektrodynamiki Maxwella 21Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego 22Rozkłady dyskretne ładunków punktowych 23Promieniowanie elektromagnetyczne 24Promieniowanie od ładunków punktowych 25Oddziaływanie promieniowania na materię 26Elektrodynamika relatywistyczna 27Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Spis treści
1Prawo Coulomba 2Pole elektryczne punktowego ładunku Q 3Wypadkowe pole elektryczne 4Wypadkowe pole elektryczne dla ciągłego rozkładu ładunków

Następny rozdział: Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki.

Podręcznik: Elektrodynamika klasyczna.

Tutaj będziemy się zajmować polami elektrycznymi, które nie zmieniają się w czasie.

Prawo Coulomba

Prawo Coulomba mówi, jak oddziałują dwa punktowe ładunki q i Q, jeśli ich odległość jest R. Siłę, jaką jeden ładunek oddziałuje z drugim przedstawiamy wedle wzoru:

{\vec {F}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qQ} \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}

(1.1)

W powyższym wektorze występuje wektor ${\vec {R}}\;$ , który ma kierunek przechodzący przez dwa oddziaływające ładunki, wartość tego wektora równa się odległości między tymi obiektami, a zwrot jest w stronę ładunku, dla której liczymy tę siłę, z jaką oddziałuje ładunek Q z ciałem o ładunku q. Ta siła jest wyrażona przez wzór (1.1).

gdzie stała występująca w powyższym wzorze jest nazywana stałą przenikalności elektrycznej, a wartość jej jest równa $\epsilon _{0}=8,85\cdot 10^{-12}{{C^{2}} \over {Nm^{2}}}$ .

Przypominając jeszcze raz o wielkości ${\vec {R}}\;$ jest to odległość ładunku q od ładunku Q, czyli powinno zachodzić $R={\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}$ , gdzie ${\vec {r}}$ jest to wektor wodzący cząstki o wartości ładunku, nazwijmy go q, a ${\vec {r}}^{'}$ jest to wektor wodzący źródło pola elektrostatycznego o ładunku Q, i jeśli oba te ładunki są jednakowego znaku, to one się odpychają i dlatego wzór na ${\vec {F}}$ nie zawiera w sobie minusa.

Pole elektryczne punktowego ładunku Q

Natężeniem pola elektrycznego nazywamy wielkość zdefiniowaną wedle wzoru:

{\vec {E}}={{\vec {F}} \over {q}}\;

(1.2)

jest on równy sile działającej na ładunek próbny q podzielonej przez wartość tego ładunku. Wykorzystując wzór (1.2) i siłę ${\vec {F}}\;$ działającą na ładunek próbny q (1.1) ze strony punktowego ładunku elektrycznego, wtedy dostajemy wzór na natężenie pola elektrostatycznego wytwarzane przez ładunek Q.

{\vec {E}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Q} \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}\;

(1.3)

Wzór (1.3) przestawia natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez ładunek Q w odległości R od tego ładunku. Kierunek tej wielkości pokrywa się z prostą przechodzącą przez ten ładunek Q i przez punkt, w którym liczymy to właśnie natężenie, a zwrot jej zależy od znaku ładunku Q i jest przeciwny do ładunku Q na tej prostej, gdy ładunek Q ma znak dodatni, gdy ma ujemny znak, to w stronę tegoż wspomnianego ładunku.

Wypadkowe pole elektryczne

Załóżmy, że pole elektryczne pochodzi od ładunków q₁,q₂,...,q_N, to wtedy całkowita siła działająca na ładunek q jest sumą sił działających od tych ładunków i wyrażona jest:

{\vec {F}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}{{qq_{i}} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {R_{i}^{2}}}{\hat {\vec {R}}}_{i}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{{q_{i}} \over {R_{i}^{2}}}{\hat {\vec {R_{i}}}}

(1.4)

Oznaczmy przez ${\vec {E}}\;$ natężenie pola elektrycznego i zapiszmy je jako stosunek siły działającej na ładunek próbny q przez ten ładunek i zapisujemy go podobnie jak w punkcie (1.2) dla jednego ładunku elektrycznego, wtedy całkowite natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez układ ładunków, który na ładunek próbny q działa z siłą (1.4) i według definicji natężenie pola (1.2) pochodzącej od tych ładunków jest napisane:

{\vec {E}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{{q_{i}} \over {R_{i}^{2}}}{\hat {\vec {R}}}_{i}=\sum _{i}{\vec {E}}_{i}

(1.5)

Jak widzimy całkowite pole elektryczne jest równe sumie pól wytwarzanych przez punktowe ładunki q_i.

Wypadkowe pole elektryczne dla ciągłego rozkładu ładunków

Określmy, że nieskończenie mały ładunek znajdujący się w położeniu ${\vec {r}}\;$ , który piszemy według:

dq({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}})dV

(1.6)

Pole elektryczne w dowolnym punkcie A jest wyrażone podobnie jak według wzoru (1.5), ale tutaj zamiast q_i są ładunki nieskończenie małe, całkowite natężenie pola elektrycznego jest sumą przyczynków natężeń pól elektrycznych pochodzących od infinitezymalnych ładunków (1.6), czyli $dq({\vec {r}})$ , to natężenie pola elektrycznego dla rozciągłego rozkładu ładunków jest wyrażone:

{\vec {E}}({\vec {r}})=\int _{V}d{\vec {E}}({\vec {r}}^{'})=\int _{V}{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{dq({\vec {r}}^{'})} \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}dV^{'}

(1.7)

Tutaj przyjęliśmy taką samą definicję wektora ${\vec {R}}$ , co poprzednio, wyznaczając infinitezymalne natężenie pola elektrycznego pochodzące od nieskończenie małego pojedynczego przyczynku, i na tej podstawie wyznaczyliśmy całkowite pole pochodzące od ciągłego rozkładu ładunków, to natężenie (1.7) jest to stosunek siły działający na ładunek próbny q przez ten ładunek, i jego ładunek jest na tyle mały, by jego pole nie zakłócało ciągłego rozkładu ładunków. Rozkład natężenia pola elektrycznego zależy od gęstości ładunku elektrycznego tego rozkładu i jest napisany przez ρ(r).