Elektrodynamika klasyczna/Ciało spolaryzowane a jego pole

Ciało spolaryzowane a jego pole

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Ciało spolaryzowane ma pewien moment dipolowy, a to dlatego, że poszczególne cząsteczki są tak poukładane, że całkowity moment dipolowy ma wartość niezerową.

Potencjał elektryczny ciała spolaryzowanego

Potencjał w danym punkcie przestrzeni odległej o R od danej cząstki ciała spolaryzowanego wedle wzoru na potencjał elektryczny pochodzący od dipola elektrycznego (5.23), ale tutaj dla infitezymalnego wektora momentu dipolowego dipola elektrycznego, wyraża się przez:

$d\varphi ({\vec {r}})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{{\vec {n}}\cdot d{\vec {p}}} \over {R^{2}}}\;$

(7.1)

Powyższej użyto $d{\vec {p}}\;$ zamiast ${\vec {p}}\;$, bo moment dipolowy bardzo małej cząstki ciała spolaryzowanego jest bardzo mały. Ale ${\vec {n}}$ jest wektorem jednostkowym i równoległy do ${\vec {R}}$, który ma początek, gdzie znajduje się infinitezymalny spolaryzowany ładunek o końcu w którym liczymy infinitezymalny potencjał elektryczny. Określmy infinitezymalny moment dipolowy przez polaryzację zdefiniowanej ze wzoru (6.15) znajdującego się w infinitezymalnej objętości dV przez:

$d{\vec {p}}({\vec {r}}^{'})={\vec {P}}({\vec {r}}^{'})dV^{'}\;$

(7.2)

• gdzie ${\vec {P}}\;$ nazywamy polaryzacją elektryczną.

a zatem nasz potencjał pochodzący od ciała spolaryzowanego jest całką infinitezymalnych potencjałów elektrycznych wyrażonych wzorem (7.1) pochodzących od bardzo małego dipola w objętości $dV^{'}\;$:

$\varphi ({\vec {r}})=\int d\varphi ({\vec {r}}^{'})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{{\vec {n}}\cdot {\vec {P}}({\vec {r}}^{'})} \over {R^{2}}}dV^{'}\;$

(7.3)

Policzmy wyrażenie poniżej, które będzie nam bardzo potrzebne poniżej, czyli dywergencję odwrotności promienia R, który w rezultacie wyjdzie nam z obliczeń wektor jednostkowy ${\vec {n}}\;$ podzielonej przez kwadrat promienia R:

$\nabla ^{'}\left(R^{-1}\right)={{\partial } \over {\partial {\vec {{r}^{'}}}}}{{1} \over {R}}={{\vec {n}} \over {R^{2}}}\;$

(7.4)

Mając warunek (7.4) i korzystając przy tym z definicji pochodnej iloczynu, można napisać, że potencjał ciała spolaryzowanego (7.3) jest wyrażony:

$\varphi ({\vec {r}})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{{\vec {n}}{\vec {P}}} \over {R^{2}}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{\vec {P}}\nabla ^{'}\left({{1} \over {R}}\right)dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[\int _{V}\nabla ^{'}\left({{\vec {P}} \over {R}}\right)dV^{'}-\int _{V}{{1} \over {R}}\left(\nabla ^{'}\cdot {\vec {P}}\right)dV^{'}\right]\;$

(7.5)

Z korzystajmy z twierdzenia o dywergencji dla pierwszego wyrazy w końcowej równości (7.5) i zamieniając ją na całkę po powierzchni ciała spolaryzowanego, wtedy otrzymujemy:

$\varphi (r)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\oint {{\vec {P}} \over {R}}d{\vec {S}}^{'}-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{1} \over {R}}\left(\nabla ^{'}\cdot {\vec {P}}\right)dV^{'}\;$

(7.6)

Również dobrze wzór na potencjał elektryczny możemy wyrazić poprzez ładunki powierzchniowe i objętościowe, którego całkowity potencjał skalarny w danym punkcie ${\vec {r}}\;$ jest wyrażony:

$\varphi ({\vec {r}})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\oint _{S}{{\sigma _{zw}} \over {R}}dS+{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{\rho _{zw}} \over {R}}dV^{'}\;$

(7.7)

Porównując wzory (7.6), który wyprowadziliśmy z definicji potencjału skalarnego pochodzącego od różnych infinitezymalnych dipoli w ciele spolaryzowanym i (7.7) będących naturalną definicją potencjału skalarnego pochodzących od ładunków objętościowych i powierzchniowych, dochodzimy wtedy do wniosku, że gęstość powierzchniowa i objętościowa są wyrażone:

$\sigma _{zw}={\vec {P}}{\vec {n}}\;$

(7.8)

$\rho _{zw}=-\nabla {\vec {P}}\;$

(7.9)

Znając polaryzację ośrodka spolaryzowanego w danym punkcie i na powierzchni, możemy wyznaczyć jej gęstość powierzchniową i objętościową ładunków związanych.

Pole indukcji elektrycznej

Całkowita gęstość ładunków w ciele spolaryzowanym jest sumą ładunków związanych i swobodnych, wyraża się:

$\rho =\rho _{zw}+\rho _{sw}\;$

(7.10)

• gdzie ρ_zw, jest to gęstość ładunków tzw. związanych, które powstają w wyniku zewnętrznego pola elektrycznego w wyniku polaryzacji, a ρ_sw, jest to gęstość ładunków, które nie powstają przez pole elektryczne, ale są w prowadzone przez eksperymentatora do układu badawczego.

Z prawa Gaussa wyprowadzonego w punkcie (2.12), gdy pole elektryczne jest wytwarzane przez ładunki, którego w danym punkcie występuje pole elektryczne ${\vec {E}}\;$, która inaczej mówiąc jest wytwarzane przez gęstość objętościową ładunków objętościowych swobodnych jest $\rho _{sw}\;$ i związanych $\rho _{zw}\;$ (7.9), a także korzystając na samym końcu ze wzoru (7.10) na całkowitą gęstość ładunku poprzez gęstość ładunków swobodnych i związanych w danej objętości, otrzymujemy:

$\nabla {\vec {E}}={{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \Rightarrow \epsilon _{0}\nabla {\vec {E}}=\rho _{zw}+\rho _{sw}\;$

(7.11)

Ponieważ mamy wzór na gęstość ładunków związanych (7.9), które wyprowadziliśmy z definicji potencjału elektrycznego pochodzącego od maleńkich dipoli elektrycznych w ciele spolaryzowanym, wtedy równanie (7.11) przyjmuje takową postać:

$\epsilon _{0}\nabla {\vec {E}}=-\nabla {\vec {P}}+\rho _{sw}$

(7.12)

Po przeniesieniu wyrazu z polaryzacją elektryczną w $\nabla {\vec {P}}\;$ w (7.12) na jej lewą stronę, w rezultacie dostajemy zwartą postać wspomnianego powyższego równania:

$\epsilon _{0}\nabla {E}+\nabla {\vec {P}}=\rho _{zw}\Rightarrow \nabla \left(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\right)=\rho _{sw}$

(7.13)

Oznaczmy jako indukcję elektryczną , która jest funkcją natężenia elektrycznego panującego w danej objętości ciała spolaryzowanego i polaryzowalności ${\vec {P}}\;$, to ich suma wyraża się:

${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$

(7.14)

Zapisując prawo Gaussa (7.13) z użyciem definicji wektora ${\vec {D}}$ (7.14), w postaci różniczkowej, wtedy dostajemy inny równoważny wzór do naszego prawa:

$\nabla {\vec {D}}=\rho _{sw}$

(7.15)

Wyrażenie (7.15) możemy zapisać również w postaci całkowej, całkując obustronnie wspomniane wyrażenie, wtedy prawa strona jest to po prostu ładunek swobodny znajdujący się w pewnej objętości, a lewa strona zamieniając całkowanie po objętości całkowaniem po powierzchni zamknietej okalającą tą właśnie omawianą objętość, wtedy otrzymujemy wzór Gaussa dla ciał spolaryzowanych w postaci całkowej:

$\oint {\vec {D}}d{\vec {S}}=q_{sw}$

(7.16)

Jest to uogólnienie wzoru Gaussa (2.8) dla ciał spolaryzowanych, a pierwszy nasz wzór był spełniony tylko dla próżni.

Wektor indukcji elektrycznej a jego rotacja

Aby udowodnić czemu jest równa rotacja wektora indukcji elektrycznej, w tym celu wykorzystamy definicję indukcji elektrycznej (7.14) i policzymy jego rotację wykorzystując przy tym, że rotacja pola elektrostatycznego ${\vec {E}}\;$ jest równa zero wedle wzoru (2.18):

$\nabla \times {\vec {D}}=\nabla \times \left(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\right)=\epsilon _{0}\nabla \times {\vec {E}}+\nabla \times {\vec {P}}=\nabla \times {\vec {P}}$

(7.17)

A zatem udowodniliśmy na podstawie obliczeń (7.17), otrzymujemy ostateczny wzór łączący indukcję elektryczną (7.14) z polaryzowalnością elektryczną danego punktu ośrodka spolaryzowanego:

$\nabla \times {\vec {D}}=\nabla \times {\vec {P}}$

(7.18)

co (7.18) zapisując za pomocą symolu rot jest równoważne wzorowi w postaci:

$\operatorname {rot} {\vec {D}}=\operatorname {rot} {\vec {P}}$

(7.19)

Nie jest wcale oczywiste w (7.19), że zachodzi:$\operatorname {rot} {\vec {P}}=0$, co w ogólności nie jest spełnione, mimo że elektrostatyce rotacja natężenia pola elektrycznego jest równa zero.

Energia związana z dielektrykami

Załóżmy, że mamy pewien dielektryk, i do którego wprowadzamy do niego ładunki swobodne, wtedy energia dielektryka zmienia się wedle:

$\delta W=\int \delta q_{sw}\varphi =\int \delta \rho _{sw}\varphi dV$

(7.20)

Dla ciał spolaryzowanych jest spełnione prawo Gaussa wedle (7.15). Jeśli to prawo podstawimy do wzoru (7.20) określająca zmianę energii całkowitej ciała spolaryzowanego, to otrzymamy równoważny wzór w postaci:

$\delta W=\int \nabla \left(\delta {\vec {D}}\right)\varphi dV$

(7.21)

Z twierdzenia iloczynu pochodnej mamy wyrażenie, które będzie nam potrzebne w (7.21), które piszemy wedle:

$\nabla \left[(\delta D)\varphi \right]=\nabla (\delta D)\varphi +\delta D\nabla \varphi$

(7.22)

Wykorzystując związek (7.22), dla równania zmiany energii ciała spolaryzowanego (7.21) otrzymamy wynikowe równanie do wspomnianego:

$\delta W=\int \nabla \left[(\delta D)\varphi \right]dV-\int \delta D\delta \varphi dV=\int \nabla \left[(\delta D)\varphi \right]dV+\int (\delta {\vec {D}}){\vec {E}}dV=\int (\delta D)\varphi d{\vec {S}}+\int (\delta {\vec {D}}){\vec {E}}dV$

(7.23)

Jeśli weżniemy na tyle dużą powierzchnię zamkniętą, tak by w sobie zawierał wszystkie ładunki, i założymy, że na tej powierzchni potencjał elektryczny jest w przybliżeniu równy zero, to wtedy pierwszy wyraz znika w wyrażeniu (7.23), wtedy:

$\delta W=\int (\delta {\vec {D}}){\vec {E}}dV$

(7.24)

Biorąc warunek (6.16) i zakładając, że tensor ${\hat {\beta }}\;$ nie zmienia się w całej objętości ciała spolaryzowanego, a także wyrażenie (7.14), który jest definicją indukcji elektrycznej poprzez natężenie pola elektrycznego i polaryzację, wtedy (7.24) zapisujemy równoważnie:

$\delta W=\int (\delta (\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}))^{T}{\vec {E}}dV=\int \delta [(\epsilon _{0}I+{\hat {\beta }}){\vec {E}}^{T}]{\vec {E}}dV=\int (\epsilon _{0}I+{\hat {\beta }}^{T})\delta {\vec {E}}{\vec {E}}=\int (\epsilon _{0}I+{\hat {\beta }}^{T}){{1} \over {2}}\delta E^{2}=\;$
$=\int \delta \left[{{1} \over {2}}\left(\epsilon _{0}E+{\hat {\beta }}^{T}{\vec {E}}\right){\vec {E}}\right]=\int \delta \left[{{1} \over {2}}\left(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\right){\vec {E}}\right]=\int \delta \left[{{1} \over {2}}{\vec {D}}{\vec {E}}\right]$

(7.25)

Ostateczny wzór na infinitezymalną energię jakieś małej objętości w danym punkcie ciała spolaryzowanego wynikający ze wzoru (7.25) jest w postaci:

$U={{1} \over {2}}\int {\vec {D}}{\vec {E}}dV$

(7.26)

Zatem na podstawie (7.26) gęstość energii w danym punkcie ciała spolaryzowanego jest iloczynem indukcji elektrycznej ${\vec {D}}\;$ (7.14) i natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}\;$ podzielonej przez liczbę dwa.

Warunki brzegowe na granicy między dielektrykami

(Rys. 7.1) Wycinek powierzchni granicznej i zastosowanie prawa Gaussa.

Prostopadłościan tak dobieramy dla ułatwienia, na małym wycinku powierzchni między dwoma ośrodkami elektrycznymi, w którym należy w ogólności pamiętać, że w granicy pomiędzy dwoma ośrodkami może być płaszczyzną niepłaską, dla tak zdefiniowanego prostopadłościanu podstawy są tak zdefiniowane by były równoległe do wycinka powierzchni dielektryka, a jego boczne ścianki były prostopadłe do omawianej powierzchni naszego spolaryzowanego ciała na tym wycinku. Wewnątrz tego prostopadłościanu znajduje się ładunek q. Rozważmy prawo całkowe Gaussa (7.16) licząc strumień bocznych ścianek, według rysunku obok. Zatem to prawo dla naszego prostopadłościanu zapisujemy wedle wzoru:

$q=S_{nad}D_{nad}^{\bot }-S_{pod}D_{pod}^{\bot }+S_{prawy}D_{prawy}^{\bot }-S_{lewy}D_{lewy}^{\bot }+S_{przez}D_{przed}^{\bot }-S_{za}D_{za}^{\bot }$

(7.27)

Przy liczeniu strumienia względem jakieś ścianki, to strumień indukcji elektrycznej oznaczmy jako iloczyn średniej wartości indukcji magnetycznej panujący na danej ściance przez pole tej ścianki, jak można trywialnie udowodnić powyższe wnioski. Przy czym zakładamy, że wektory powierzchni są prostopadłe do tych ściśle określonych ścianek i ich wartości równe są powierzchni tych ścianek, na które wskazują, i dlatego rozważamy części prostopadłe wektorów indukcji do tych ścianek, bo w prawie Gaussa dla dielektryków pod całką mamy iloczyn skalarny, który wycina ich części prostopadłe wektorów indukcji do wektorów powierzchni, pozostawiając ich części równoległe do wektorów powierzchni. Zakładamy, że powierzchnie wszystkich ścianek dążą do zero, tak by iloraz powierzchni jakikolwiek ścianki bocznej przez pola jakikolwiek ścianki podstawy była w przybliżeniu równa zero, a matematycznie dążyła do zera, ale pamiętamy pola podstaw są bardzo małe i wynoszą S, zatem średnia wartość natężenia pola elektrycznego jest równa natężeniu pola magnetycznego w danym punkcie dla podstaw blisko przy powierzchni dwóch ośrodków, przez którą przechodzi bardzo mały prostopadłościan, zatem dla prawa Gaussa dla dielektryków (7.27) po podzieleniu wspomnianego równania przez $S=S_{nad}=S_{pod}\;$ i potem przechodzimy do granicy stosunku pola ścianek bocznych do pola ścianek podstawy, które dążą do zera, wtedy zapisujemy to w postaci:

${{q} \over {S}}=D_{nad}^{\bot }-D_{pod}^{\bot }+{{S_{prawy}} \over {S}}D_{prawy}^{\bot }-{{S_{lewy}} \over {S}}D_{lewy}^{\bot }+{{S_{przez}} \over {S}}D_{przed}^{\bot }-{{S_{za}} \over {S}}D_{za}^{\bot }\rightarrow {{q} \over {S}}=D_{nad}^{\bot }-D_{pod}^{\bot }$

(7.28)

Gęstość ładunku powierzchniowego nazywamy iloraz ładunku znajdujący się w omawianym prostopadłościanie podzielona przez powierzchnię okładek równoległych do powierzchni dielektryka i przedstawia się:

$\sigma ={{q} \over {S}}$

(7.29)

Ostatecznie nasze równanie (7.28) po wykorzystaniu (7.29), wtedy wyrażać ją możemy przez wartość indukcji pola magnetycznego wektora prostopadłego do powierzchni na danym wycinku w danym punkcie nad i pod granicą pomiędzy ośrodkami:

$\sigma =D_{nad}^{\bot }-D_{pod}^{\bot }$

(7.30)

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Stokesa i wniosków, korzystający z tego prawa. Obierzmy sobie prostokąt, którego powierzchnia jest prostopadła do powierzchni dielektryka, którego odcinki górne są równoległe do powierzchni dielektryka, a boczne są prostopadłe, i wiedząc że całka po odcinku dla iloczynu natężenia pola elektrycznego przez nieskończenie małą długością, która jest częścią danego boku, jest równa średniej natężenia pola elektrycznego panujące na danym boku przez długość tego boku.

(Rys. 7.2) Wycinek powierzchni granicznej i zastosowanie prawa Stokesa

Jeśli długości boku górnego i dolnego należącego do prostokąta są bardzo małe przy powierzchni granicy dwóch ośrodków, którą przechodzi bardzo mały prostokąt a właściwie infinitezymalny przy założeniu, że długość boku górnego lub dolnego jest o wiele większa niż długość dla boków bocznych (lewego i prawego), czyli: h/l<<1. Zatem z tego prawa dostajemy, że:

${E}_{nad}^{||}l+{E}_{lewy}^{||}h-{E}_{pod}^{||}l-{E}_{prawy}^{||}h=0$

(7.31)

• gdzie:$l\;$ jest to długość odcinków górnych tego prostokąta
• $h\;$ długość odcinków bocznych prostokąta.
• ${E}_{nad}^{||}\;$ lub ${E}_{pod}^{||}\;$ są to części wektorów równoległych natężenia pola elektrycznego równoległe do ścianki górnej lub dolnej a właściwie ich wartości.
• ${E}_{lewy}^{||}\;$ lub ${E}_{prawy}^{||}\;$ są to części równoległe, a właściwie ich wartości natężenia pola elektrycznego.

Zatem przy powyższych założeniach, co do prostokąta, to równanie (7.31) podzielmy przez h obustronnie i przechodzimy go granicy ilorazu długości boku lewego lub prawego przez długość boku dolnego lub górnego dążącą do zera, wtedy ono przechodzi w:

${E}_{nad}^{||}+{E}_{lewy}^{||}{{h} \over {l}}-{E}_{pod}^{||}-{E}_{prawy}^{||}{{h} \over {l}}=0{\xrightarrow[{{{h} \over {l}}\rightarrow 0}]{}}{E}_{nad}^{||}-{E}_{pod}^{||}=0$

(7.32)

Końcowa równość w (7.32) możemy zapisać równoważnie w postaci:

${E}_{nad}^{||}={E}_{pod}^{||}$

(7.33)

Na podstawie wzoru (7.33) dostajemy, że składowa równoległa do powierzchni dielektryka jest wartością niezmienną. Znając funkcję ${\vec {P}}$, a ${\vec {E}}_{zew}$, można udowodnić jaka jest zmiana wektora:${\vec {E}}$ na granicy między dwoma dielektrykami.

Dielektryki liniowe

Będziemy się tutaj zajmować dielektrykami liniowymi dla których zachodzi jego tensorowa wersja (6.16), ale w tym przypadku liniowym:

${\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi {\vec {E}}$

(7.34)

• gdzie χ jest to podatność elektryczna ośrodka liniowego.

Wektor polaryzacji elektrycznej jest wektorem równoległym do wektora natężenia pola elektrycznego w danym punkcie ciała spolaryzowanego. Dla próżni względna podatność elektryczna ośrodka liniowego jest równa zero.

Dielektryki liniowe, podatność elektryczna i przenikalność elektryczna

Ale mamy do czynienia z dielektrykami linowymi, dla którego zachodzi (7.34), zatem wektor indukcji elektrycznej zdefiniowanej wedle wzoru (7.14) z definicji liniowości wektora polaryzacji elektrycznej do wektora natężenia pola elektrycznego jest wyrażony:

${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+\epsilon _{0}\chi {\vec {E}}=\epsilon _{0}(1+\chi ){\vec {E}}\;$

(7.35)

Wektor indukcji elektrycznej według (7.35) jest równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego dla dielektryków liniowych. Przyjmijmy, że współczynnik proporcjonalności występujący w (7.35) jest przenikalnością elektryczną i napiszmy go jako:

$\epsilon =\epsilon _{0}\epsilon _{r}\;$

(7.36)

• gdzie ε_r jest to względna przenikalność elektryczna i zachodzi:

$\epsilon _{r}=1+\chi \;$

(7.37)

• gdzie ε_r jest to przenikalność elektryczna ośrodka, ona jest sumą jedynki i podatności elektrycznej badanego ośrodka, dla próżni, która jest ośrodkiem liniowym, dla której względna przenikalność ośrodka jest równa jeden, dla której podatność ośrodka jest równa zero.

Wykorzystując definicję indukcji elektrycznej (7.35) i na względną przenikalność elektryczną (7.36), czyli dla ośrodka liniowego, którego tą naszą definicję dla tego ośrodka piszemy:

${\vec {D}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\vec {E}}$

(7.38)

czyli pole indukcji elektrycznej w tym przypadku jest równoległe do pola natężenia pola elektrycznego. Można udowodnić, z praw elektrostatyki, że dywergencja polaryzacji dla ośrodków liniowych jest ona równa zero, czyli:

$\nabla \times {\vec {P}}=0$

(7.39)

a oto dowód, który korzysta ze wzoru wyprowadzonego wcześniej (7.19):

$\nabla \times {\vec {D}}=\nabla \times {\vec {P}}=\nabla \times \epsilon _{0}\chi {\vec {E}}=\chi \epsilon _{0}\nabla \times {\vec {E}}=0$

(7.40)

Gdy cała przestrzeń jest wypełniona dielektrykiem linowym spełniającego zależność (7.38) i gdy rotacja indukcji elektrycznej (7.40) jest równa zero i gdy zachodzi (7.16), to siła działająca w takim w dielektryku, w którym znajduje się ładunek Q, który działa na ładunek q, jest wyrażona:

${\vec {F}}={{1} \over {4\pi \epsilon }}{{qQ} \over {R}}$

(7.41)

Warunki brzegowe dla dielektryków liniowych

Naszym celem jest obliczenie gęstości ładunków związanych wykorzystując związek polaryzacji z gęstością ładunków związanych według (7.9), a także wykorzystując związek polaryzacji z natężeniem pola elektrycznego, by potem skorzystać ze wzoru (7.38) dla dielektryków liniowych, a także z prawa Gaussa dla dielektryków (7.15):

$\rho _{zw}=-\nabla {\vec {P}}=-\nabla \chi {\vec {E}}=-\chi \nabla {{\vec {D}} \over {\epsilon }}=-{{\chi } \over {\epsilon }}{\vec {D}}=-{{\chi } \over {\epsilon }}\rho _{sw}=-{{\chi } \over {1+\chi }}\rho _{sw}$

(7.42)

Wedle wzoru (7.42) mamy udowodnioną zależność pomiędzy gęstością objętościową ładunków związanych, a swobodnych, ten związek zapisujemy jako:

$\rho _{zw}=-{{\chi } \over {1+\chi }}\rho _{sw}$

(7.43)

Na podstawie (7.43), jeśli mamy gęstość objętościowa ładunków swobodnych, która jest równa zero, to gęstość objętościowa ładunków związanych też jest równa zero. Ze wzoru (7.38) przy definicji przenikalności elektrycznej (7.36) mamy wzór łączący wartość indukcji elektrycznej przez wartość natężenia pola elektrycznego:

$D=\epsilon E\;$

(7.44)

Możemy wykorzystać (7.44) podstawiając go do wzoru (7.30) jako warunku brzegowego uwzględniając odpowiednio przenikalności elektryczne dla ośrodków stykających:

$\epsilon _{nad}E_{nad}^{\bot }-\epsilon _{pod}E_{pod}^{\bot }=\sigma _{sw}$

(7.45)

Z definicji natężenia pola elektrycznego w zależności od wektora położenia, korzystając przy tym ze wzoru (3.5), można napisać nasz wzór dla składowej prostopadłej natężenia pola elektrycznego do powierzchni dielektryka:

$E^{\bot }=-{{\partial V} \over {\partial {\vec {n}}}}$

(7.46)

• gdzie:${\vec {n}}\;$ jest to wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni dielektryka.

Jeśli wykorzystamy wzór na natężenie prostopadłe pola elektrycznego (7.46) i podstawiając go do wzoru (7.45), wtedy mamy wzór na warunek brzegowy pomiędzy dwoma dielektrykami:

$\epsilon _{nad}{{\partial V_{nad}} \over {\partial {\vec {n}}}}-\epsilon _{pod}{{\partial V_{pod}} \over {\partial {\vec {n}}}}=-\sigma _{sw}$

(7.47)

Należy pamiętać, że pole skalarne potencjału elektrycznego na granicy pomiędzy dielektrykami zmienia się w sposób ciągły.

Ładunek, a płaszczyzna z indukowanymi ładunkami

(Rys. 7.3) Schemat z ładunkiem q i płaszczyzna z indukowanymi ładunkami

Weźmy sobie wektor jednostkowy prostopadły do rozważanej powierzchni według rysunku obok, ma ona kierunek i zwrot zgodny do kierunku osi zetowej, i licząc dalej gęstość powierzchniową ładunków, wykorzystując wzór (7.8) i na samym końcu dla dielektryków linowych wykorzystując wzór (7.34), zatem tą wspomnianą gęstość możemy policzyć w zależności od współrzędnej zetowej pola elektrycznego:

$\sigma _{zw}={\vec {P}}{\hat {n}}=\epsilon _{0}\chi {\vec {E}}{\hat {n}}=\epsilon _{0}\chi E_{z}$

(7.48)

Naszym krokiem jest obliczenie składowej zetowej natężenia pola elektrycznego, jednak wiadomo, że zwrot tej składowej jest przeciwny do osi z. Z prawa Coulumba wartość natężenia pola elektrycznego (1.3) wyraża się:

$E=-{{q} \over {4\pi \epsilon _{0}\left(r^{2}+d^{2}\right)}}$

(7.49)

Składowa zetowa pola elektrycznego, wedle wzoru (7.5) i licząc $\cos \theta \;$, jest wyrażona:

$E_{z}=E\cos \theta =-{{q\cos \theta } \over {4\pi \epsilon _{0}\left(r^{2}+d^{2}\right)}}=-{{qd} \over {4\pi \epsilon _{0}\left(d^{2}+r^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}$

(7.50)

Pole pochodzące od ładunków związanych jest określone wedle (4.2) nad powierzchnią, ale tym razem tuż pod powierzchnią natężenie pola elektrycznego zachowuje się jakoby było wytwarzane przez nieskończoną powierzchnię, wtedy natężenie pola elektrycznego jest wyrażone w zależności od ładunków powierzchniowych o gęstości powierzchniowej σ_zw:

$E_{zw}=-{{\sigma _{zw}} \over {2\epsilon _{0}}}$

(7.51)

Zatem całkowite pole elektryczne blisko przy powierzchni płyty (z=0), jest sumą natężenia pola elektrycznego ładunku q (7.50) i natężenia pola elektrycznego ładunków związanych (7.51), jest równe:

$E_{z}^{c}=E_{z}+E_{zw}=-{{qd} \over {4\pi \epsilon _{0}\left(d^{2}+r^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}-{{\sigma _{zw}} \over {2\epsilon _{0}}}$

(7.52)

Jeśli z korzystając przy tym ze wzoru (7.48), biorąc po lupę wzór (7.52), który przedstawia natężenie pola elektrycznego tuż przy powierzchni, to gęstość powierzchniowa ładunku związanego możemy napisać jako:

$\sigma _{zw}=\epsilon _{0}\chi \left[-{{qd} \over {4\pi \epsilon _{0}\left(d^{2}+r^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}-{{\sigma _{zw}} \over {2\epsilon _{0}}}\right]$

(7.53)

A zatem gęstość ładunku związanego, co można uzyskać ze wzoru (7.53) wyznaczając gęstość powierzchniową tego ładunku, jest wyrażona:

$\sigma _{zw}(1+{{1} \over {2}}\chi )=-\chi {{qd} \over {4\pi \left(d^{2}+r^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}\Rightarrow \sigma _{zw}{{2+\chi } \over {2\chi }}=-{{qd} \over {4\pi \left(d^{2}+r^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}$

(7.54)

I ostatecznie gęstość ładunków powierzchniowych na badanej powierzchni, która jest funkcją odległości punkowego ładunku q od powierzchni, który polaryzuje naszą badaną płaszczyznę i promienia r, która jest odległością radialną r od punku na płaszczyźnie, który to punkt, który ma początek, który jest rzutem prostopadłym ładunku q na płaszczyznę, w której są indukowane ładunki, a koniec tego odcinka jest w punkcie, w którym będziemy wyznaczali gęstość powierzchniową ładunków, zatem wyznaczając wspomnianą gęstość powierzchniową ze wzoru (7.54) otrzymujemy jako ostateczny warunek:

$\sigma _{zw}=-{{1} \over {2\pi }}\left({{\chi } \over {\chi +2}}\right){{qd} \over {\left(r^{2}+d^{2}\right)^{{3} \over {2}}}}$

(7.55)

Jest to gęstość ładunków powierzchniowych indukowanych na powierzchni płyty poprzez ładunek punkowy q znajdujący się od powierzchni odległej od ładunku "q" o "d"

iły działające na dielektryk

(Rys. 7.4) Siły działające na dielektryk

Na dielektryk działa siła ze strony pola elektrycznego i należy ją zrównoważyć siłą:${\vec {F}}_{z}=-{\vec {F}}$, aby dielektryk poruszał się bardzo powoli. Infinitezymalna praca wykonana przez siły zewnętrzne przy przesuwaniu dielektryka znajdującego się między dwoma okładkami jest wyrażona przez:

$dW_{c}={\vec {F}}_{z}dx=-{\vec {F}}dx$

(7.56)

Można powiedzieć, że wyrażając siła działająca na okładki kondensatora przez pole elektryczne, to praca nad dielektrykiem jest równa ilorazowi infinitezymalnej pracy przez nieskończenie małe przesunięcie ładunku q , i to wszystko razem wzięte z minusem:

$F=-{{dW_{c}} \over {dx}}$

(7.57)

Nasz rozważany kondensator składa się z dwóch dielektryków. Pierwszym dielektrykiem jest powietrze o szerokości x i względnej przenikalności elektrycznej w przybliżeniu jest równy jeden i drugi dielektryk o grubości l-x o względnej przenikalności elektrycznej ε_r. Korzystać przy tym będziemy z definicji pojemności elektrycznej kondensatora (4.4), którym dielektrykiem nie jest w ogólności powietrze, ale pewien dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε_r, zatem pojemności tych dwóch kondensatorów przestawiamy:

Pojemność elektryczna kondensatora powietrznego

$C_{p}={{xw\epsilon _{0}} \over {d}}$

(7.58)

Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem

$C_{d}={{(l-x)w\epsilon _{r}\epsilon _{0}} \over {d}}$

(7.59)

Pojemność całego układu równoległych kondensatorów (powietrznego i z dielektrykiem), korzystać przy tym będziemy z definicji pojemności elektrycznej mniejszych kondensatorów (7.58) i (7.59), wyraża się według:

$C=C_{p}+C_{d}={{xw\epsilon _{0}} \over {d}}+{{(l-x)w\epsilon _{0}\epsilon _{r}} \over {d}}={{w\epsilon _{0}} \over {d}}\left(x+(l-x)\epsilon _{r}\right)={{w\epsilon _{0}} \over {d}}\left(x+(l-x)(1+\chi )\right)={{w\epsilon _{0}} \over {d}}\left(x+l\epsilon _{r}-x(1+\chi )\right)=$
$={{w\epsilon _{0}} \over {d}}\left(l\epsilon _{r}-x\chi \right)$

(7.60)

Całkowita energia kondensatora, która jest funkcją pojemności kondensatora i ładunku elektrycznego znajdującego się na okładkach kondensatora, jest napisana przez:

$W={{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C}}$

(7.61)

Napiszmy pochodną energii kondensatora (7.61) względem przesunięć dielektryka znajdującego się w kondensatorze:

${{dW} \over {dx}}=-{{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C^{2}}}{{dC} \over {dx}}+{{1} \over {2}}{{2Q} \over {C}}{{dQ} \over {dx}}=-{{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C^{2}}}{{dC} \over {dx}}+{{Q} \over {C}}{{dQ} \over {dx}}$

(7.62)

Ponieważ bateria zasilająca kondensator również wykonuje prace, zatem:

$dW_{c}=dW-UdQ={{dW} \over {dx}}dx-UdQ\;$

(7.63)

W ogólności potencjał i ładunek na okładkach kondensatora może się zmieniać, a więc siła działająca na dielektryk, wykorzystując dodatkowy człon w (7.63) oparty o pracę baterii elektrycznej, wyrażona jest:

$F_{c}=-{{dW_{c}} \over {dx}}={{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C^{2}}}{{dC} \over {dx}}-{{Q} \over {C}}{{dQ} \over {dx}}+U{{dQ} \over {dx}}$

(7.64)

Ponieważ mamy z definicji pojemności elektrycznej kondensatora jako funkcję ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora i różnicy potencjałów U, stąd wyznaczmy potencjał elektryczny U między okładkami omawianego kondensatora:

$C={{Q} \over {U}}\Rightarrow U={{Q} \over {C}}$

(7.65)

Korztystając przy tym z końcowego wyrażenia wynikowego (7.65), wtedy dochodzimy do wniosku, że siła F_c jest napisana:

$F_{c}={{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C^{2}}}{{dC} \over {dx}}-{{Q} \over {C}}{{dQ} \over {dx}}+{{Q} \over {C}}{{dQ} \over {dx}}\Rightarrow F_{c}={{1} \over {2}}{{Q^{2}} \over {C^{2}}}{{dC} \over {dx}}={{1} \over {2}}U^{2}{{dC} \over {dx}}=-U^{2}{{\epsilon _{0}w\chi } \over {2d}}$

(7.66)

Powyższy wniosek jest spełniony, gdy mamy stałe Q i zmienia się U lub odwrotnie, albo oba, w każdym bodź razem siła działająca na nasz dielektryk powoduje, że on próbuje się wsunąć pod okładki kondensatora w stronę niższych x.