Elektrodynamika klasyczna/Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym

Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Indukowany moment dipolowy w polu elektrostatycznym 2Całkowity moment sił oraz siła działające na dipol elektryczny w jednorodnym lub niejednorodnym polu elektrycznym 3Energia dowolnego dipola 4Wpływ pola elektrycznego na polaryzację dielektryka

Materię można podzielić na metale i izolatory (dielektryki), metale można potraktować jako nieskończony zbiór elektronów. W dielektrykach prawie każda cząsteczka ma pewien moment dipolowy, które mogą ustawiać się z zgodnie lub przeciwnie do pola elektrycznego. Jeśli potraktować dielektryk jak zbiór dipoli elektrycznych, to tutaj będziemy się zajmować się dipolami elektrycznymi w polu elektrycznym, czyli zajmować będziemy się właściwościami elementarnymi tychże obiektów.

Indukowany moment dipolowy w polu elektrostatycznym

Każdy atom jest elektrycznie obojętny, a więc pola elektryczne nie powinno na niego działać, ale w każdym bądź razie atom to jest elektrycznie dodatnie jądro z elektronami krążących wokół niego, a więc posiada rozkład ładunku elektrycznego po ustaleniu równowagi między polem elektrycznym a atomem podczas działania na niego pola elektrycznego. Napiszmy wzór mówiący jaki jest moment dipolowy materii w polu elektrycznym, gdy właściwości tej materii nie zależą od kierunku jakie to pole posiada w danym punkcie tego dielektryka.

${\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}$

(6.1)

• skalarny współczynnik proporcjonalności α nazywamy polaryzowalnością atomową .

Wzór (6.1) nie zależy od kierunku natężenia pola elektrycznego, ale w rzeczywistości tak nie jest, wtedy w takim przypadku, to moment dipolowy elektryczny wyrażony jest wzorem w zależności do prostopadłego kierunku wyróżnionego, lub nawet też do równoległego:

${\vec {p}}=\alpha _{\bot }{\vec {E}}_{\bot }+\alpha _{||}{\vec {E}}_{||}$

(6.2)

• gdzie parametry $\alpha _{\bot }\;$ i $\alpha _{||}\;$ są to wielkości stałe, lub bardzie ogólnie można zapisać zależność (6.2) w sposób:

${\vec {p}}={\hat {\alpha }}{\vec {E}}$

(6.3)

• gdzie: ${\hat {\alpha }}$ jest tensorem polaryzowalności atomowej.

Co rozpisując wzór (6.3), stosując tensor polaryzowalności atomowej, jako ogólnie niediagonalnej macierzy:

${\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{xx}&\alpha _{xy}&\alpha _{xz}\\\alpha _{yx}&\alpha _{yy}&\alpha _{yz}\\\alpha _{zx}&\alpha _{zy}&\alpha _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}$

(6.4)

Elementy macierzy ${\hat {\alpha }}$, zależą od bazy trójwymiarowej, w której wyrażone jest polaryzowalność atomowa. Widzimy, że wedle wzoru (6.4) wektor momentu dipolowego nie jest w ogólności równoległy do kierunku pola elektrycznego działająca na dipol elektryczny. Można wyrażać powyższą macierz ${\hat {\alpha }}$ w bazie wektorów własnych, wtedy ta macierz ma tylko diagonalne elementy, a pozadiagonalne elementy znikają.

Całkowity moment sił oraz siła działające na dipol elektryczny w jednorodnym lub niejednorodnym polu elektrycznym

(Rys. 6.1) Ilustracja dipola elektrycznego

Dipol elektryczny jest to obiekt niepunktowy, a więc może posiadać pewien moment siły w polu elektrycznym działających na niego. Moment siły możemy rozłożyć względem środka dipola elektrycznego na dwa składniki. Pierwszy składnik jest opisany dla ładunku q, a drugi dla -q, zatem całkowity moment dipolowy jest opisany:

${\vec {N}}=\left({\vec {r}}_{+}\times {\vec {F}}_{-}\right)+\left({\vec {r}}_{+}\times {\vec {F}}_{+}\right)=\left[\left(-{{\vec {d}} \over {2}}\right)\times \left(-q{\vec {E}}\right)\right]+\left[\left({{\vec {d}} \over {2}}\right)\times \left(q{\vec {E}}\right)\right]=\;$
$=q{\vec {d}}\times {\vec {E}}={\vec {p}}\times {\vec {E}}$

(6.5)

Powyżej skorzystano z definicji wektora momentu dipolowego, który jest funkcją ładunku bezwzględnej wartości na obu jego końcach osobno i wektora ${\vec {d}}\;$ łączącego ładunek ujemny z dodatnim.

${\vec {p}}=q{\vec {d}}$

(6.6)

Udowodniono, że moment siły działający na ciało na podstawie (6.5) jest równy:

${\vec {N}}={\vec {p}}\times {\vec {E}}$

(6.7)

Gdy mamy pole jednorodne, którego otacza nasz dipol, to siła działający na środek masy dipola jest równa zero, a jeśli jest niejednorodne dla względnie małych dipoli, to ta siła jest wyrażona:

${\vec {F}}={\vec {F}}_{+}+{\vec {F}}_{-}=q{\vec {E}}_{+}+(-q){\vec {E}}_{-}=q\left({\vec {E}}_{+}-{\vec {E}}_{-}\right)=q\delta {\vec {E}}=q\left({\vec {d}}\cdot \operatorname {div} \right){\vec {E}}=q\left({\vec {d}}\cdot \nabla \right){\vec {E}}=\left[\left(q{\vec {d}}\right)\cdot \nabla \right]{\vec {E}}=\left({\vec {p}}\cdot \nabla \right){\vec {E}}$

(6.8)

A zatem wypadkowa siła działająca na środek masy dipola elektrycznego jest równa:

${\vec {F}}=\left({\vec {p}}\cdot \nabla \right){\vec {E}}$

(6.9)

Jest ona funkcją momentu dipolowego dipola elektrycznego oraz zależy od zmiany pola elektrycznego na obu końcach tego obiektu. Prowadząc bardziej bardziej ogólne rozważania, to całkowity moment siły działający na dipol w polu niejednorodnym jest równy:

${\vec {N}}=\left({\vec {p}}\times {\vec {E}}\right)+\left({\vec {r}}\times {\vec {F}}\right)$

(6.10)

W polu jednorodnym drugi człon znika, bo zmiana siły działający na dipol elektryczny jest równa zero, bo: ${\vec {F}}=0$ wedle tożsamości (6.9).

Energia dowolnego dipola

Infinitezymalna praca wykonana przez dipol elektryczny, na które działa pole elektryczne o momencie siły ${\vec {N}}\;$(6.7) przy obrocie jego o kąt radialny $d{\vec {\alpha }}\;$ jest napisana:

$dW={\vec {N}}\cdot d{\vec {\alpha }}$

(6.11)

Wiedząc, że definicję momentu siły ${\vec {N}}$ dla dipola elektrycznego jest wyrażona wedle (6.7), dla naszego dipola, oraz kierunek zmiany kąta jest równoległy do wektora momentu siły działającego na dipol, dla pola jednorodnego wartość infinitezymalnej pracy wykonanej przez siły pola elektrycznego (6.11) przy obrocie jego od kąta α₁=π/2 do α₂ przedstawia się:

$U=\int {\vec {N}}\cdot d{\vec {\alpha }}=\int \left({\vec {p}}\times {\vec {E}}\right)d{\vec {\alpha }}=\int pE\sin \alpha d\alpha =-pE\cos \alpha |_{\alpha _{1}={{\pi } \over {2}}}^{\alpha _{2}}=-pE\sin \alpha _{1}=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$

(6.12)

A więc energia dipola elektrycznego, która znajdujący się polu elektrycznym jednorodnym, jest równa:

$U=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$

(6.13)

Energia dipola elektrycznego zależy od natężenia pola elektrycznego jednorodnego i od wektora momentu dipolowego dipola elektrycznego. Energia dipola elektrycznego jest równa zero, gdy kąt pomiędzy wektorem momentu dipolowego, a wektorem natężenia pola elektrycznego jest kątem prostym.

Wpływ pola elektrycznego na polaryzację dielektryka

Dla układów, których polaryzacja jest taka sama w całej objętości V, to moment dipolowy ciała spolaryzowanego w zależności od pola elektrycznego jakie istnieje w tym ciele wyraża się wzorem (6.3). Jeśli nieskończenie małą polaryzowalnością atomową w ciele spolaryzowanym w danym punkcie oznaczymy jako $d{\hat {\alpha }}\;$, to można powiedzieć, że infinitezymalny moment dipolowy małej cząstki materii ciała spolaryzowanego w danym punkcie w zależności od natężenia pola elektrycznego jakie w nim istnieją jest napisana:

$d{\vec {p}}=d{\hat {\alpha }}{\vec {E}}$

(6.14)

Polaryzacją elektryczną nazywamy stosunek nieskończenie małego momentu dipolowego znajdującego się infinitezymalnej objętości przez tą właśnie objętość, którą definiujemy:

${\vec {P}}={{d{\vec {p}}} \over {dV}}\;$

(6.15)

Aby policzyć polaryzację elektryczną ośrodka należy do wzoru na definicję polaryzacji elektrycznej (6.15) podstawić nieskończenie małą wielkość momentu dipolowego małej cząstki ciała spolaryzowanego (6.14), wtedy dostajemy:

${\vec {P}}={{d{\hat {\alpha }}} \over {dV}}{\vec {E}}\Rightarrow {\vec {P}}={\hat {\beta }}{\vec {E}}$

(6.16)

Można w ogólności powiedzieć, że wektor polaryzacji nie jest równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego. Gdy zachodzi:${\hat {\beta }}={\hat {I}}\beta$, wtedy mamy że:${\vec {P}}||{\vec {E}}$, czyli wtedy polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego panującego w danym punkcie.