Elektrodynamika klasyczna/Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki

Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Jeśli zdefiniujemy, że polem wektorowym nazywamy pole, dla którego w każdym punkcie w przestrzeni odpowiada pewien wektor ${\vec {E}}$, to można zdefiniować odpowiednie prawa różniczkowe i całkowe dla elektrostatyki.

Strumień pola elektrostatycznego

Niekończenie mały strumień pola elektrostatycznego dΦ zdefiniujmy jako iloczyn natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}\;$ panujące na nieskończenie małej powierzchni przez nieskończenie mały wektor tej powierzchni, którego wartość jest taka jak nieskończenie małe pole powierzchni i o zwrocie prostopadłym do tej powierzchni.

$d\Phi ={\vec {E}}d{\vec {S}}$

(2.1)

Całkowity strumień pola elektrostatycznego dla powierzchni zamkniętej, w której małe wektory pola $d{\vec {S}}\;$ są zwrócone jak umówiono się na zewnątrz tej powierzchni, jest wyrażony:

$\Phi =\oint d\Phi$

(2.2)

Całkowe prawo Gaussa

Policzmy całkę (2.2) dla kuli o powierzchni sfery o promieniu r, w którym w środku znajduje się punktowy ładunek o wartości q, który wytwarza pole elektryczne wokół niego ${\vec {E}}\;$:

$\Phi =\oint {\vec {E}}d{\vec {S}}=\oint {{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{q} \over {R^{2}}}dS={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{4\pi }{{q} \over {R^{2}}}d\omega R^{2}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}q\int _{0}^{4\pi }d\omega ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}q4\pi ={{q} \over {\epsilon _{0}}}$

(2.3)

A zatem na podstawie obliczeń (2.3) wynika, że całkowity strumień po powierzchni zamkniętej jest równy z dokładnością do odwrotności przenikalności elektrycznej ładunkowi zgromadzonemu w ściśle określonej objętości, którą ogranicza zamknięta powierzchnia. To prawo jest znane jako prawo Gaussa i zapisujemy je wedle:

$\oint {\vec {E}}d{\vec {S}}={{q} \over {\epsilon _{0}}}$

(2.4)

Ponieważ założyliśmy, że mieliśmy sferę o promieniu r, w której środku znajduje się ładunek q, to wtedy dla tej sfery prawo (2.4) jest na pewno spełnione, ale z wiadomości z analizy matematycznej wiadomo, że gdy mamy dowolną powierzchnię okalająca ładunek q, to całkowity strumień też wynosi:${{q} \over {\epsilon _{0}}}$. Załóżmy, że mamy N ładunków w nieokreślonej objętości V, to całkowite natężenia pola elektrycznego i całkowity ładunek jest napisany wedle:

${\vec {E}}=\sum _{i}^{N}{\vec {E}}_{i}$

(2.5)

$q=\sum _{i}^{N}q_{i}$

(2.6)

Ponieważ dla ładunku i-tego prawo Gaussa (2.4) jest również słuszne, którego zapis:

$\oint {\vec {E}}_{i}d{\vec {S}}={{q_{i}} \over {\epsilon _{0}}}$

(2.7)

to dodając N takich równań (2.7) i wykorzystywać będziemy wnioski sumacyjne na całkowite natężenie pola elektrycznego (2.5) i na całkowity ładunek (2.6) dla dowolnego rozkładu ładunków punktowych w danej objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia S, sumując te równania otrzymujemy całkowe prawo Gaussa dla dowolnego rozkładu ładunków czy to ciągłych lub dyskretnych znajdujących się w ściśle określonej objętości.

$\oint {\vec {E}}d{\vec {S}}={{q} \over {\epsilon _{0}}}$

(2.8)

Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego rozkładu ładunków o całkowitym ładunku q i dla dowolnej powierzchni zamkniętej, w której znajdują się te ładunki.

Różniczkowe prawo Gaussa

Powyżej wyprowadziliśmy całkową postać prawa Gausa, a teraz wyprowadźmy jej różniczkową postać. Wiadomo jednak, że zachodzi z twierdzenia Gaussa, że lewa strona wzoru (2.8) można zamienić na całkowanie po pewnej powierzchni zamkniętej przez całkowanie po objętości ograniczonej tą właśnie powierzchnię:

$\oint {\vec {E}}d{\vec {S}}=\int \operatorname {div} {\vec {E}}dV$

(2.9)

a także z definicji gęstości ładunku elektrycznego i jego addywności dla całkowitego ładunku q znajdujących się wewnątrz tej powierzchni, znając rozkład gęstości objętościowej ładunku ρ, w pewnej objętości, to całkowity ładunek q znajdującej się w tej powierzchni:

$q=\int \rho dV$

(2.10)

to wykorzystując prawo całkowe Gaussa (2.8) i podstawiając do obu jego stron, tzn. do lewej jego strony wzór (2.9), a do jego prawej jego strony wzór (2.10), wtedy otrzymamy wyrażenie napisane z obu stron za pomocą całek objętościowych:

$\int \operatorname {div} {\vec {E}}dV={{1} \over {\epsilon _{0}}}\int \rho dV\Rightarrow \int \left(\operatorname {div} {\vec {E}}-{{\rho } \over {\epsilon _{0}}}\right)dV=0$

(2.11)

Ponieważ wzór (2.10) zachodzi dla dowolnej objętości, to dochodzimy do wniosku, że jego część podcałkowa jest równe zero, zatem można ten nasz ostatni wzór wynikająca z naszej całki o dowolnej objętości V, zapisać w formie:

$\operatorname {div} {\vec {E}}={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}$

(2.12)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa, które jest słuszne dla pewnego określonego punktu, w której znajduje się nieskończenie mały ładunek o gęstości ładunku ρ i w której natężenie pola elektrycznego jest ${\vec {E}}\;$, mający pewną dywergencję w tymże punkcie.

Dywergencja natężenia pola elektrycznego dla ciągłego rozkładu ładunków

Aby sprawdzić, czy spełnione jest prawo Gausa, należy wyznaczyć wyrażenie, korzystając przy tym ze wzoru na natężenie pola wytwarzanego przez ciągły rozkład ładunków (1.7):

$\operatorname {div} {\vec {E}}=\nabla \cdot {\vec {E}}=\nabla \cdot \left(\int {{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV\right)=\int {{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV=\int {{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}}}4\pi \delta ^{3}({\vec {R}})dV={{\int \rho ({\vec {r}}^{'})\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})dV^{'}} \over {\epsilon _{0}}}={{\rho ({\vec {r}})} \over {\epsilon _{0}}}\;$

(2.13)

• gdzie:${\vec {r}}^{'}\;$ jest to wektor wodzący ładunku infinitezymalnego należący do pewnego rozkładu ładunków.
• ${\vec {r}}\;$ jest to wektor wodzący pewnego ściśle określonego punktu, w którym liczymy natężenie pola elektrycznego.

Napiszmy wyrażenie, która jest całką wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, by potem otrzymać znane twierdzenie z namiastką o dystrybucjach, które to twierdzenie zastosowaliśmy w punkcie (2.13), zatem:

$\int _{V}\nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV=\int {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}d{\vec {S}}=\int _{0}^{4\pi }{{1} \over {R^{2}}}d\omega R^{2}=\int _{0}^{4\pi }d\omega =4\pi \Rightarrow \nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}=4\pi \delta ^{3}({\vec {R}})\;$

(2.14)

Jeśli obierzemy sobie kulę o promieniu R, wtedy zwiększając promień takiej kuli na podstawie (2.14) nie zmieniamy wartości całki, jedyną osobliwością występującą w (2.14) jest R=0, zatem dla tego R do całki jest wnoszony wkład, zatem aby powyższa całka była spełniona, to z własności delty Diraca, otrzymujemy, że dywergencja naszej wielkości radialnej jest równa według końcowego wyrażenia według (2.14). A także w (2.13) skorzystaliśmy z definicji wektora odległości pewnego infinitezymalnego ładunku do punktu, w którym liczymy pewne wielkości, czyli przez ${\vec {R}}={\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}$, zatem z definicji delty Diraca możemy napisać końcowe obliczenia w (2.13). Co kończy dowód tego prawa dla ciągłego rozkładu ładunków.

Całkowe prawo Stokesa

Obierzmy okrąg o promieniu r, policzmy cyrkulację pola elektrycznego, z wiadomości o prawie Coulomba mamy, że wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do tego okręgu, zatem dostajemy prawo:

$\oint {\vec {E}}d{\vec {l}}=0$

(2.15)

Czyli dla dowolnej linii zamknętej okalającej ładunek z wiadomości analizy matematycznej też jest równa zero cyrkulacja pola elektrycznego, zatem dla tego konturu również jest spełnione twierdzenie (2.15). Wedle wzorów (2.5) prawo Stokesa (2.15) jest również spełnione dla dowolnego rozkładu ładunków punktowych q_i, którego cząstkowe natężenia jest liczona wedle wzoru (1.3).

Różniczkowe prawo Stokesa

Znamy już całkową postać prawa Stokesa (2.15), a teraz wyprowadźmy jego podstać różniczkową. Aby wyznaczyć różniczkowe prawo Stokesa, to wtedy należy policzyć całkę i zamienić te całkowanie po pewnym konturze na całkowaniem po powierzchni, który ogranicza ten właśnie kontur:

$\oint {\vec {E}}d{\vec {l}}=\oint \operatorname {rot} {\vec {E}}d{\vec {S}}$

(2.16)

Zatem z prawa całkowego Stokesa (2.15) i przekształcenia (2.16) dostajemy całkowe równanie, które jest pewnym rodzajem, ale inaczej zapisanym całkowym prawem Stokesa:

$\oint \operatorname {rot} {\vec {E}}d{\vec {S}}=0$

(2.17)

Ale powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej linii zamkniętej, to wtedy dla pola elektrostatycznego stałego, funkcja podcałkowa (2.17) jest równa zero, wtedy mamy prawo różniczkowe:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=0$

(2.18)

Jest to różniczkowe prawo Stokesa dla elektrostatyki.

Rotacja natężenia pola elektrycznego dla ciągłego rozkładu ładunków

Aby sprawdzić, czy spełnione jest różniczkowe prawo Stokesa dla ciągłego rozkładu ładunków, skorzystajmy ze wzoru (1.7), mamy wyrażenie:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=\nabla \times {\vec {E}}=\nabla \times \left(\int {{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV^{'}\right)=\int {{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\nabla \times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}dV^{'}$

(2.19)

Aby dokończyć różniczkowanie w punkcie (2.19) należy zauważyć, że ${{1} \over {R}}\;$, zależy tylko od współrzędnych radialnych, zatem powyższe obliczenia możemy dokończyć, korzystając z definicji rotacji we współrzędnych kulistych, którego to definicja jest napisana w punkcie (MMF-7.59), co te obliczenia dokończamy dla współrzędnych w tym operatorze, w której występuje różniczkowanie po odległości radialnej, a pozostałe współrzędne tego operatora pomijamy, bo one są równe zero, zatem:

$\nabla \times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}=\nabla \times {{\hat {\vec {r}}} \over {r^{2}}}={{1} \over {r}}\left[{{\partial } \over {\partial r}}\left(r\cdot 0\right)-{{\partial } \over {\partial \phi }}\left({{1} \over {r^{2}}}\right)\right]{\vec {e}}_{\theta }+{{1} \over {r}}\left[{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left({{1} \over {r^{2}}}\right)-{{\partial } \over {\partial r}}\left(r\cdot 0\right)\right]{\vec {e}}_{\phi }=0$

(2.20)

Ostatecznie otrzymujemy na podstawie (2.20) i późniejszych rozważań, że prawo Stokesa (2.19) dla ciągłego rozkładu ładunków według (1.7) jest również spełnione.

Co kończy dowód różniczkowego prawa Stokesa.