Elektrodynamika klasyczna/Fale elektromagnetyczne w elektrodynamice Maxwella

Fale elektromagnetyczne w elektrodynamice Maxwella

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy zajmować się falami elektromagnetycznymi rozchodzące się w próżni lub w jakimś ośrodku.

Fale elektromagnetyczne w ośrodku liniowym w tym próżni

Równanie falowe pola elektrycznego

Bardzo nam będzie potrzebna tożsamość, którą zastosujemy do wyprowadzenia równania falowego, obrazującą falowy charakter natężenia pola elektrycznego od czasu, która jak udowodnimy później, przedstawia fale elektromagnetyczne rozchodzące się z prędkością światła v w danym ośrodku liniowym materialnym.

$\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\epsilon _{klm}\nabla _{l}E_{m}=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}\nabla _{l}E_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\nabla _{j}\nabla _{l}E_{m}=\delta _{il}\delta _{jm}\nabla _{j}\nabla _{l}E_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}\nabla _{j}\nabla _{l}E_{m}=\;$
$=\nabla _{j}\nabla _{i}E_{j}-\nabla _{j}\nabla _{j}E_{i}=\nabla _{i}\nabla _{j}E_{j}-\nabla _{j}\nabla _{j}E_{i}=\nabla \left(\nabla {\vec {E}}\right)-\Delta {\vec {E}}\;$

(17.1)

Wykorzystując pierwsze (15.46) i czwarte (15.49) prawo Maxwella dla ośrodków liniowych, zakładając przy tym, że nie rozkładu ładunków i prądów swobodnych, tam gdzie rozchodzą się fale elektromagnetyczne, tzn. w tych obszarach gęstość ładunków swobodnych i prąd objętościowy swobodny są równe zero, przestawiamy je:

$\nabla \times {\vec {B}}=\epsilon \mu {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\;$

(17.2)

$\nabla {\vec {E}}=0\;$

(17.3)

Wykorzystując prawa elektrodynamiki bez ładunków i prądów w przestrzeni , czyli wzoru (15.48) i wzoru (17.3) do prawa (17.1), wtedy mamy:

$\nabla \times \left(-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)=-\Delta {\vec {E}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {B}}\right)=\Delta {\vec {E}}\;$

(17.4)

Następnym krokiem jest zastosowanie czwartego prawa Maxwella bez prądów objętościowych ładunków elektrycznych (17.2) do wzoru końcowego wynikowego (17.4) podstawiając za jego lewą stronę prawą stronę przedostatniego równania, zatem w ostateczności dostajemy wniosek słuszny dla ośrodka liniowego, w tym próżni, który też jest w pewnym sensie ośrodkiem liniowym o względnych przenikalnościach elektrycznych μ_r i magnetycznych μ_r równej jeden.

${{\partial } \over {\partial t}}\left(\mu \epsilon {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)=\Delta {\vec {E}}\Rightarrow \Delta {\vec {E}}=\epsilon \mu {{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(17.5)

Równanie końcowe zapisane w punkcie (17.5) jest to równanie falowe dla natężenia pola elektrycznego dla fali elektrycznej.

Równanie falowe pola magnetycznego

Bardzo nam będzie potrzebna tożsamość, którą zastosujemy do wyprowadzenia równania falowego, obrazujące falowy charakter indukcji pola magnetycznego od czasu, która jak udowodnimy później rozchodzi się z prędkością światła v w danym ośrodku liniowym materialnym. Zależność udowodnioną w punkcie (17.1) dla natężenia pola elektrycznego, jak się okazuje słuszna, gdy zamiast wektora ${\vec {E}}\;$ występuje ${\vec {B}}\;$, zatem tę tożsamość piszemy:

$\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)=\nabla \left(\nabla {\vec {B}}\right)-\Delta {\vec {B}}\;$

(17.6)

Korzystamy z czwartego prawa Maxwella (17.2), które jest słuszne, gdy płynące prądy objętościowe wynoszą zero, i z drugiego prawa Maxwella (15.47), wtedy równanie (17.6) przyjmuje postać:

$\mu \epsilon \nabla \left(-{{\partial } \over {\partial t}}{\vec {E}}\right)=-\Delta {\vec {B}}\Rightarrow \epsilon \mu {{\partial } \over {\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {E}}\right)=\Delta {\vec {B}}\;$

(17.7)

Ostatnim krokiem jest wykorzystanie trzeciego prawa Maxwella (15.48) do równania (17.7) podstawiając za jego lewą stronę w naszej wspomnianej tożsamości jej prawą stronę, zatem w ostateczności dostajemy wniosek słuszny dla ośrodka liniowego, w tym próżni, a dlaczego co wcześniej wytłumaczyliśmy w przypadku fali pola elektrycznego.

$\epsilon \mu {{\partial ^{2}{\vec {B}}} \over {\partial t^{2}}}=\Delta {\vec {B}}\;$

(17.8)

Równanie końcowe zapisane w punkcie (17.8) jest to równanie falowe dla indukcji pola magnetycznego dla fali magnetycznej.

Prędkość fali pola elektromagnetycznego

Równania falowe równań pola elektromagnetycznego dla fali magnetycznej (17.8) i elektrycznej (17.5) są to równania falowe, bo spełniają ogólne równanie falowe:

$\nabla {\vec {f}}={{1} \over {v^{2}}}{{\partial ^{2}{\vec {f}}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(17.9)

• gdzie v jest to prędkość grupowa fali.

A zatem dla fal elektromagnetycznych dla wspomnianych wcześniej wzorów dla fali zarówno magnetycznej i elektrycznej mamy na pewno:

${{1} \over {v^{2}}}=\epsilon \mu \Rightarrow v={{1} \over {\sqrt {\epsilon \mu }}}\;$

(17.10)

Zatem udowodniliśmy, że wielkość wynikająca z końcowych obliczeń liczbowo razem z mianami (17.10) jest to prędkość światła "v", czyli tym samym co prędkość fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku liniowym.

Propagacja fal elektromagnetycznych w ośrodku liniowym

Prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku liniowym wyraża się wzorem (17.10), a dla próżni mamy μ=μ₀ i ε=ε₀, wyraża się:

$c={{1} \over {\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}\;$

(17.11)

Jeśli zastosujemy związki (7.36) dla pola elektrycznego i (12.31) dla pola magnetycznego, wtedy związek (17.10) na podstawie tożsamości na prędkość światła w próżni c (17.11), wtedy wzór na prędkość światła w ośrodku liniowym, w zależności od prędkości światła w próżni i względnych stałych przenikalności elektrycznych i magnetycznych dla tego naszego ośrodka liniowego, przedstawia się:

$v={{1} \over {\sqrt {\epsilon \mu }}}={{1} \over {\sqrt {\epsilon _{r}\epsilon _{0}\mu _{r}\mu _{0}}}}={{1} \over {\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}{{1} \over {\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}\Rightarrow v={{c} \over {\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}\;$

(17.12)

Zatem współczynnik załamania dla ośrodka liniowego po skorzystaniu, że współczynnik załamania jest stosunkiem prędkości światła w próżni przez prędkość światła w ośrodku liniowym, zatem piszemy go:

$n={{c} \over {v}}={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}={\sqrt {{\epsilon \mu } \over {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}\;$

(17.13)

Monochromatyczna fala elektromagnetyczna płaska w ośrodku liniowym

Rozwiązaniem równania falowego zarówno dla pola magnetycznego (17.8) i elektrycznego (17.5) są to rozwiązania w postaci:

${\vec {E}}(z,t)={\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}\;$

(17.14)

${\vec {B}}(z,t)={\vec {B}}_{0}e^{i(kx-\omega t)}\;$

(17.15)

Sprawdźmy czy równanie fali dla pola elektrycznego (17.14) spełnia równanie falowe (17.5), w tym celu policzmy dwie drugie pochodne względem współrzędnej zetowej i czasowej.

${{\partial ^{2}{\vec {E}}(z,t)} \over {\partial z^{2}}}=-{\vec {E}}_{0}k^{2}\;$

(17.16)

${{\partial {\vec {E}}(z,t)} \over {\partial t^{2}}}=-{\vec {E}}\omega ^{2}\;$

(17.17)

Z korzystajmy z równania falowego dla pola elektrycznego, którego ogólne równania dla fali jest (17.9) i załóżmy, że mamy do czynienia z falą płaską rozchodzącą się równolegle do osi zetowej i wykorzystując obliczenia (17.16) i (17.17), wtedy dochodzimy do wniosku:

$-{\vec {E}}_{0}k^{2}=-{{1} \over {v^{2}}}{\vec {E}}\omega ^{2}\Rightarrow {{1} \over {v^{2}}}={{k^{2}} \over {\omega ^{2}}}\Rightarrow v={{\omega } \over {k}}\;$

(17.18)

Oczywiste jest, że na podstawie obliczeń (17.18) zachodzi związek ω=vk. Zbadajmy następnie, teraz czy fala elektromagnetyczna płaska jest falą podłużną czy poprzeczną.

Ponieważ stałe ${\vec {B}}_{0}\;$ i ${\vec {E}}_{0}\;$ występujące we wzorach (17.14) i (17.15) są stałymi w sensie strykto, zatem skorzystajmy z pierwszego prawa Maxwella dla ośrodka liniowego (17.2), gdy w ośrodku liniowym w punkcie w której rozchodzi się fala nie ma ładunków elektrycznych, zatem rozwiązanie (17.14) równania falowego możemy podstawić do tego prawa, w ostateczności otrzymujemy wniosek:

$0=\nabla {\vec {E}}=\left({\vec {i}}{{\partial } \over {\partial x}}+{\vec {j}}{{\partial } \over {\partial y}}+{\vec {k}}{{\partial } \over {\partial z}}\right){\vec {E}}(z,t)=\left({\vec {E}}_{0}\right)_{z}{{\partial } \over {\partial z}}e^{i(kz-\omega t)}=ik\left({\vec {E}}_{0}\right)_{z}e^{i(kx-\omega t)}\;$

(17.19)

Dochodzimy na podstawie wniosku (17.19), że fala elektryczna jest falą poprzeczną, podobnie fala magnetyczna jest falą poprzeczną jak można udowodnić podobnie.

Następnie z korzystajmy z prawa Faraday'a (15.48), i udowodnijmy prostopadłość obu pól, tzn. dla pola magnetycznego i elektrycznego fali elektromagnetycznej. Naszym krokiem jest wyznaczenie dwóch związków występujących w tym naszym wspomnianej wcześniej w prawie, czyli policzmy pierwsze wyrażenie:

$-{{\partial } \over {\partial t}}({\vec {B}}(z,t))=-i\omega ({\vec {B}}(z,t))\;$

(17.20)

Drugie wyrażenie występujące w tym samym prawie:

$\nabla \times {\vec {E}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\(E_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}&(E_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}={\vec {i}}{\begin{vmatrix}{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\(E_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}-{\vec {j}}{\begin{vmatrix}{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\(E_{0})_{x}e^{i(kx-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}+\;$
$+{\vec {k}}{\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}\\{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}\\(E_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}&(E_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}\\\end{vmatrix}}=-ik{\vec {i}}(E_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}+ik{\vec {j}}(E_{0})_{x}e^{i(kx-\omega t)}\;$

(17.21)

Korzystając z obliczeń (17.20) i (17.21) i przyrównując obie strony tych obliczeń do siebie według prawa Faraday'a (15.48) otrzymamy wniosek wynikający z tym dysput.

$i\omega (B_{0})_{x}=-ik(E_{0})_{y}\Rightarrow \omega (B_{0})_{x}=-k(E_{0})_{y}\;$

(17.22)

$i\omega (B_{0})_{y}=ik(E_{0})_{x}\Rightarrow \omega (B_{0})_{y}=k(E_{0})_{x}\;$

(17.23)

Dwa warunki (17.22) i (17.23) możemy z nich zrobić jeden wzór wektorowy, wtedy otrzymujemy zależność amplitudy indukcji pola magnetycznego od amplitudy natężenia pola elektrycznego, co zapisujemy jako:

${\vec {B}}_{0}={{k} \over {\omega }}\left({\hat {z}}\times {\vec {E}}_{0}\right)\;$

(17.24)

Dowód równoważności równania wektorowego (17.24) z dwoma wzorami (17.22) i (17.23) możemy przeprowadzić według obliczeń:

${{\omega } \over {k}}{\vec {B}}_{0}={\hat {z}}\times {\vec {E}}_{0}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\0&0&1\\(E_{0})_{x}&(E_{0})_{y}&0\\\end{vmatrix}}={\vec {i}}{\begin{vmatrix}0&1\\(E_{0})_{y}&0\end{vmatrix}}-{\vec {j}}{\begin{vmatrix}0&1\\(E_{0})_{x}&0\\\end{vmatrix}}+{\vec {k}}{\begin{vmatrix}0&0\\(E_{0})x&(E_{0})_{y}\end{vmatrix}}=-{\vec {i}}(E_{0})_{y}+{\vec {j}}(E_{0})_{x}\;$

(17.25)

Co udało się udowodnić równoważność wzoru wektorowego (17.24) z dwoma równaniami skalarnymi (17.22) i (17.23) na podstawie obliczeń (17.25).

Sprawdźmy co otrzymamy z czwartego prawa elektrodynamiki Maxwella (17.2), gdy w przestrzeni nie płyną żadne prądy swobodne dla fali elektromagnetycznej, zatem policzmy prawą stronę tego równania:

$\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial } \over {\partial t}}{\vec {E}}e^{i(kz-\omega t)}=-i\mu _{0}\epsilon _{0}\omega {\vec {E}}^{i(kz-\omega t)}=-i\mu _{0}\epsilon _{0}\omega {\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}=-i{{1} \over {c^{2}}}\omega {\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}=-i{{k^{2}} \over {\omega ^{2}}}\omega {\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}=-i{{k^{2}} \over {\omega }}{\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}$

(17.26)

A teraz rotację fali elektromagnetycznej pola magnetycznego, czyli lewej strony wspomnianego wcześniej prawa, ale wyznaczmy dla tej samej fali co poprzednio:

$\nabla \times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial x}}\\(B_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}&(B_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}={\vec {i}}{\begin{vmatrix}{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\(B_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}-{\vec {j}}{\begin{vmatrix}{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\(B_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}&0\\\end{vmatrix}}+$
$+{\vec {k}}{\begin{vmatrix}{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}\\(B_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}&(B_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}\end{vmatrix}}=-{\vec {i}}ik(B_{0})_{y}e^{i(kz-\omega t)}+{\vec {j}}ik(B_{0})_{x}e^{i(kz-\omega t)}=e^{i(kz-\omega t)}\left[-{\vec {i}}ik(B_{0})_{y}+{\vec {j}}ik(B_{0})_{x}\right]$

(17.27)

Przyrównajmy do siebie obliczone wyrażenia (17.26) i (17.27) według czwartego prawo Maxwella przy zerowej gęstości prądu objętościowego dla fali elektromagnetycznej:

$e^{i(kz-\omega t)}\left[-{\vec {i}}ik(B_{0})_{y}+{\vec {j}}ik(B_{0})_{x}\right]=-i{{k^{2}} \over {\omega }}{\vec {E}}_{0}e^{i(kz-\omega t)}$

(17.28)

Z równania wektorowego (17.28) dostajemy dwa skalarne równanie, które są równoważne z tym ostatnim dla pierwszego równania skalarnego:

$-ik(B_{0})_{y}=-i{{k^{2}} \over {\omega }}(E_{0})_{x}\Rightarrow -i\omega (B_{0})_{y}=-ik(E_{0})_{x}\;$

(17.29)

a potem drugiego równania skalarnego:

$ik(B_{0})_{x}=-i{{k^{2}} \over {\omega }}(E_{0})_{y}\Rightarrow i\omega (B_{0})_{x}=-ik(E_{0})_{y}\;$

(17.30)

Co ostatecznie otrzymujemy na podstawie wniosków (17.29) i (17.30) zależność współrzędnych amplitudy indukcji pola magnetycznego przez współrzędne amplitudy natężenia pola elektrycznego dostając wzory (17.22) i (17.23), a więc otrzymujemy taki sam wzór wektorowy jak wzór zapisanej w punkcie (17.24), czyli otrzymaliśmy nić nowego.

(Rys. 17.1) Fala elektromagnetyczna

A więc wszystko się zgadza się, fala magnetyczna jest prostopadła do fali elektrycznej, której rysunek obok przedstawia wygląd fali elektromagnetycznej.

Jeśli określimy wektor propagacji fali elektromagnetycznej przez wektor jednostkowy:${\hat {k}}\;$, a przez:${\hat {n}}\;$ wektor polaryzacji fali elektrycznej i uwzględnimy związek między amplitudami fali indukcji magnetycznej i natężenia fali elektrycznej, w dowolnym układzie wedle równania (17.24), wtedy otrzymujemy wzory na natężenie elektryczne i indukcję pola magnetycznego fali elektromagnetycznej:

${\vec {E}}({\vec {r}},t)=E_{0}e^{({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}{\hat {n}}\;$

(17.31)

${\vec {B}}({\vec {r}},t)={{\omega } \over {k}}E_{0}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}({\hat {k}}\times {\hat {n}})={{1} \over {v}}{\hat {k}}\times {\hat {E}}\;$

(17.32)

Energia oraz pęd pola elektromagnetycznego w szczególności w ośrodku liniowym lub próżni

Wiemy jednak, że amplituda pola magnetycznego wyraża się wzorem (17.24) i wiedząc jeszcze że zachodzi $v={{\omega } \over {k}}\;$ , to wtedy operując na wartościach ich, dostajemy związek:

$B_{0}={{1} \over {v}}E_{0}\;$

(17.33)

Jeśli wykorzystamy związek prędkości fali elektromagnetycznej ze przenikalnościami elektrycznymi ε i magnetycznymi μ, w tym dla ośrodka, którym jest próżnia, czyli związku (17.10), to związek między kwadratami amplitud indukcji fali pola magnetycznego i natężenia fali pola elektrycznego wyraża się:

$B_{0}^{2}=\mu \epsilon E_{0}^{2}\;$

(17.34)

Wyznaczmy średnią wartość kwadratu amplitudy fali pola elektrycznego i magnetycznego wedle:

$\langle E^{2}\rangle =E_{0}^{2}\langle \sin ^{2}(kz-\omega t)\rangle ={{1} \over {2}}E_{0}^{2}\;$

(17.35)

$\langle B^{2}\rangle =B_{0}^{2}\langle \sin ^{2}(kz-\omega t)\rangle ={{1} \over {2}}B_{0}^{2}={{1} \over {2}}\mu \epsilon E_{0}^{2}\;$

(17.36)

Wykorzystując związki dla ośrodka zarówno liniowego elektrycznie i magnetycznie, tzn. (15.44) i (15.45), a także z tożsamości na wartość średnią kwadratu natężenia fali elektrycznej (17.35) i na wartość średnią fali magnetycznego fali magnetycznej (17.36), zatem średnia energia fali elektromagnetycznej według (16.28) wyraża się:

$\langle E\rangle ={{1} \over {2}}\left(\epsilon \langle E^{2}\rangle +{{1} \over {\mu }}\langle B^{2}\rangle \right)={{1} \over {2}}\left(\epsilon {{1} \over {2}}E^{2}+{{1} \over {2\mu }}\mu \epsilon E_{0}^{2}\right)={{1} \over {2}}\epsilon E_{0}^{2}\;$

(17.37)

Ilość energii przenoszonej na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu, uwzględniający również kierunek propagacji fali elektromagnetycznej, jest równy wektorowi Poytinga (16.25), co dla ośrodka liniowego mamy:

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}={{1} \over {\mu }}\left({\vec {E}}\times {\vec {B}}\right)={{1} \over {\mu }}E_{0}\cos(kz-\omega t)B_{0}\cos(kz-\omega t){\hat {z}}={{1} \over {\mu }}{{1} \over {v}}E_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}={{1} \over {\mu }}{\sqrt {\mu \epsilon }}E_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}=\;$
$={\sqrt {{\epsilon ^{2}} \over {\epsilon \mu }}}E_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}=\epsilon vE_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}\;$

(17.38)

Skorzystamy, że średni kwadrat kosinusa jest równy według wzoru $\langle \cos ^{2}(kz-\omega t)\rangle ={{1} \over {2}}\;$ , zatem wektor Poytinga dla fali elektromagnetycznej policzonej w punkcie (17.38) jest to natężenie fali elektromagnetycznej względem powierzchni, która jest prostopadła do padania tychże fal, to jego średnia wartość jako natężenie fali elektromagnetycznej wyrażamy poprzez:

$I=\langle S\rangle ={{1} \over {2}}\epsilon vE_{0}^{2}\;$

(17.39)

Gęstość pędu pola elektromagnetycznego dla ośrodka liniowego wyraża się na podstawie wzoru ogólnego (16.54), dla ośrodka liniowego piszemy wedle:

${\vec {\mathfrak {p}}}_{em}=\mu \epsilon {\vec {S}}={{1} \over {v^{2}}}{\vec {S}}={{1} \over {v^{2}}}\epsilon vE_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}={{1} \over {v}}={{1} \over {v}}\epsilon E_{0}^{2}\cos ^{2}(kz-\omega t){\hat {z}}\;$

(17.40)

Wartość średniej gęstości pędu dla ośrodka liniowego na podstawie policzonej gęstości pędu (17.40) wyraża się równaniem:

$\langle {\mathfrak {p}}_{em}\rangle ={{1} \over {v}}\epsilon E_{0}^{2}\langle \cos ^{2}(kz-\omega t)\rangle ={{1} \over {2v}}\epsilon E_{0}^{2}\;$

(17.41)

Natężenie i gęstość pędu fali elektromagnetycznej w próżni

Średnie natężenie fali elektromagnetycznej względem powierzchni prostopadłej do padania tychże fal i wartość średniej gęstości pędu też dla tego samej fali w próżni piszemy je na podstawie wzoru na natężenie fali elektromagnetycznej (17.39) względem omawianej powierzchni, a także wartość średniej gęstości pędu (17.41) dla ośrodka liniowego zarówno magnetycznie i elektrycznie:

$I=\langle S\rangle ={{1} \over {2}}\epsilon _{0}cE_{0}^{2}\;$

(17.42)

$\langle {\mathfrak {p}}_{em}\rangle ={{1} \over {2c}}\epsilon _{0}E_{0}^{2}\;$

(17.43)

Natężenie fali elektromagnetycznej padającej pod pewnym kątem

Obliczymy natężenie fali elektromagnetycznej padającej pod pewnym kątem do powierzchni mając natężenie fali elektromagnetycznej padającej padania fal elektromagnetycznej na powierzchnię pod kątem prostym.

(Rys. 17.2) Padające płaska fala elektromagnetyczna pod pewnym kątem

Z rysunku widać że stosunek boku b do l w trójkącie prostokątnym jest równy kosinusowi nachylenia płaszczyzny padania i po wyznaczeniu z niej zmiennej b, wtedy mamy:

${{b} \over {l}}=\cos \theta \Rightarrow b=l\cos \theta \;$

(17.44)

Powierzchnia na którą pada fala elektromagnetyczna, gdy by nie było nachylenia (pierwszy wzór), lub gdy by było nachylenie (drugi wzór), są przestawione według rysunku obok, których definicje:

$S=hb\;$

(17.45)

$S_{b}=hl\;$

(17.46)

Wyraźmy powierzchnię S (17.45) w zależności od powierzchni S_b (17.46) wedle sposobu:

$S=hb=hl\cos \theta =S_{p}\cos \theta \;$

(17.47)

Natężenie fali elektromagnetycznej padającej na powierzchnię prostopadłą jest wyrażona w zależności od natężenia fali padającej na powierzchnię pod pewnym kątem i wyrażając to ostatnie natężenie przez te pierwsze, wtedy dostajemy:

$I^{\bot }={{\Delta W} \over {S\Delta t}}={{\Delta W} \over {S_{b}\Delta t\cos \theta }}=I^{ukos}{{1} \over {\cos \theta }}\Rightarrow I^{ukos}=I^{\bot }\cos \theta \;$

(17.48)

Dochodzimy, że natężenia fali elektromagnetycznej padające na powierzchnię nieprostopadła do niej, której natężenie fali elektromagnetycznej jest mniejsze lub równe do natężeniu fali jakoby ona padała pod katem prostym do płaszczyzny padania, czyli (θ=0), bo w końcowym wzorze (17.48) występuje kosinus, którego wartość bezwzględna jest mniejsza lub równa jeden. To natężenia ukośne I^ukos (17.48), wyrażając w zależności od natężenia amplitudy fali elektromagnetycznej I^⊥ dla ośrodka liniowego, które było zdefiniowane w punkcie (17.39), jest wyrażone:

$I^{ukos}={{1} \over {2}}\epsilon vE_{0}^{2}\cos \theta \;$

(17.49)

Promieniowanie elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

Tutaj zajmować się będziemy propagacją fal elektromagnetycznych w ośrodku lub w ośrodkach liniowych lub próżni, które spełniając równania (15.44) i (15.45).

Padanie prostopadłe fali elektromagnetycznej na ośrodek, fala odbita i przechodząca

Załóżmy, że:${\hat {x}}\;$ i ${\hat {y}}\;$, to wektory polaryzacji fali elektrycznej i magnetycznej.

Równania fali elektromagnetycznej padającej, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

${\vec {E}}_{p}(z,t)=E_{0p}e^{i(k_{1}z-\omega _{p}t)}{\hat {x}}\;$

(17.50)

${\vec {B}}_{p}(z,t)={{1} \over {v_{1}}}E_{0p}e^{i(k_{1}z-\omega _{p}t)}{\hat {y}}\;$

(17.51)

Równania fali elektromagnetycznej odbitej, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

${\vec {E}}_{o}(z,t)=E_{0o}e^{i(-k_{1}z-\omega _{o}t)}{\hat {x}}\;$

(17.52)

${\vec {B}}_{o}(z,t)=-{{1} \over {v_{1}}}E_{0o}e^{i(-k_{1}x-\omega t)}{\hat {y}}\;$

(17.53)

Równania fali elektromagnetycznej wchodzącej do drugiego ośrodka, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

${\vec {E}}_{w}(z,t)=E_{0w}e^{i(k_{2}z-\omega _{o}t)}{\hat {x}}\;$

(17.54)

${\vec {B}}_{w}(z,t)={{1} \over {v_{2}}}E_{0w}e^{i(k_{2}z-\omega t)}{\hat {y}}\;$

(17.55)

(Rys. 17.3) Fala padająca, odbita i przechodząca przy padaniu prostopadłym

Korzystając, że wektory magnetyczne i elektryczne fali elektromagnetycznej są prostopadłe do kierunku ich propagacji, jeśli mamy prostopadłe padanie, dochodzimy do wniosku, że nie ma prostopadłych składowych dla pola elektrycznego i magnetycznego, są tylko ich równoległe składowe do granicy między ośrodkami, zatem dla pola elektrycznego i magnetycznego otrzymujemy:

$E_{0p}e^{i(k_{1}z-\omega _{p}t)}+E_{0o}e^{i(k_{1}z-\omega _{o}t)}=E_{ow}e^{i(k_{2}z-\omega _{p}t)}\;$

(17.56)

Gdy założymy, że granica pomiędzy dwoma ośrodkami jest dla z=0, bo zakładamy że płaszczyzna ograniczająca dwa różne ośrodki znajduje się w tym właśnie wspomnianym położeniu, zatem równanie (17.56) zapisujemy w bardziej uproszonym schemacie:

$E_{0p}e^{i(-\omega _{p}t)}+E_{0o}e^{i(-\omega _{o}t)}=E_{ow}e^{i(-\omega _{w}t)}\;$

(17.57)

Aby powyższe równanie było słuszne dla wszystkich czasów t, to musi być spełniona równość wykładników potęg, czyli:

$i(-\omega _{p}t)=i(-\omega _{o}t)=i(-\omega _{w}t)\Rightarrow \omega _{p}=\omega _{o}=\omega _{w}=\omega \;$

(17.58)

Zatem zachodzi równość częstotliwości kołowych dla fali padającej, odbitej i wchodzącej z ośrodka pierwszego do ośrodka drugiego zarówno dla fali pola elektrycznego i magnetycznego, czyli dla fali elektromagnetycznej.

Równość (17.57) na podstawie własności (17.58) przyjmuje wtedy postać:

$E_{0p}+E_{0o}=E_{0w}\;$

(17.59)

Korzystając z wiadomości o falach elektromagnetycznych i warunku ich padania dochodzimy do wniosku, że dla pola magnetycznego i warunku między polem elektrycznym i magnetycznym dla naszej fali (17.24), że:

${{1} \over {\mu _{1}}}\left({{1} \over {v_{1}}}E_{0p}-{{1} \over {v_{1}}}E_{0o}\right)={{1} \over {\mu _{2}}}\left({{1} \over {v_{2}}}E_{ow}\right)\;$

(17.60)

Pomnóżmy ostatnie równanie obustronnie przez μ₁v₁, zatem w takim przypadku (17.60) przyjmuje postać:

$E_{0p}-E_{0o}={{\mu _{1}v_{1}} \over {\mu _{2}v_{2}}}E_{ow}={{\mu _{1}} \over {\mu _{2}}}{{{c} \over {v_{2}}} \over {{c} \over {v_{1}}}}E_{ow}={{\mu _{1}n_{2}} \over {\mu _{2}n_{1}}}E_{ow}\;$

(17.61)

Możemy połączyć wzory (17.61) z (17.59) w jeden układ równań, które jednocześnie zachodzą, i to pierwsze zależne jest od parametru β i od wartości amplitud fali pola elektrycznego promienia padającego E_0p, odbitej E_0o i wchodzącej do drugiego ośrodka E_0w, która jest w pewnym sensie symbolizuje promień załamany pod kątek zerowym, jak się przekonamy w następnym rozdziale:

${\begin{cases}E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0w}\\E_{0p}+E_{0o}=E_{0w}\end{cases}}\;$

(17.62)

Jeśli dwa wzory układu równań (17.62) dodamy do siebie, i wyznaczmy stąd wartość amplitudy fali pola elektrycznego wchodzącej do drugiego ośrodka E_0w poprzez wartość amplitudy fali tego samego pola amplitudy fali padającej E_0p, wtedy dochodzimy do wniosku:

$2E_{0p}=E_{0w}\left(\beta +1\right)\Rightarrow E_{0w}={{2} \over {1+\beta }}E_{0p}\;$

(17.63)

Z drugiego układu równań (17.62) wyznaczamy wielkość E_0o i wykorzystujemy, że amplituda fali wchodzącej jest wyrażona końcowym wzorem (17.63), wtedy możemy wyrazić amplitudę fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej fali pola elektrycznego:

$E_{0o}=E_{0w}-E_{0p}={{2} \over {1+\beta }}E_{0p}-E_{0p}={{2-1-\beta } \over {1+\beta }}E_{0p}={{1-\beta } \over {1+\beta }}E_{0p}\;$

(17.64)

Ponieważ współczynniki μ₁ i μ₂ są bliskie wartości przenikalności magnetycznej w próżni, wtedy parametr β można zdefiniować jako stosunek współczynnika załamania w ośrodku drugim n₂ przez współczynnik załamania w ośrodku pierwszym n₁, co zapisujemy jako:

$\beta ={{\mu _{1}n_{2}} \over {\mu _{2}n_{1}}}\simeq {{n_{2}} \over {n_{1}}}\;$

(17.65)

Następnie podstawiając za naszą wielkość β jego przybliżoną definicję napisanej w punkcie (17.65) do wielkości na wartość amplitudy fali pola elektrycznego padającego E_0w, i to samo dla amplitudy fali odbitej E_0o, zatem te wspomniane wzory na te amplitudy zapisujemy:

$E_{0w}={{2} \over {1+\beta }}E_{0p}={{2} \over {1+{{n_{2}} \over {n_{1}}}}}={{2n_{1}} \over {n_{1}+n_{2}}}\;$

(17.66)

$E_{0o}={{1-\beta } \over {1+\beta }}E_{0p}={{1-{{n_{2}} \over {n_{1}}}} \over {1+{{n_{2}} \over {n_{1}}}}}={{n_{1}-n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\;$

(17.67)

Jeśli wykorzystamy wzór (17.39) dla ośrodka liniowego, który zależy od amplitudy fali pola elektrycznego, przenikalności elektrycznej ε i prędkości fali elektromagnetycznej, w której to ośrodku to natężenie zostało wyliczone, zatem współczynnik odbicia jest stosunkiem natężenia fali odbitej I_o i padającej I_p, i wyliczmy ten współczynnik dla fali padającej prostopadłej do powierzchni granicznej pomiędzy dwoma ośrodkami:

$R={{I_{o}} \over {I_{p}}}={{\epsilon _{1}v_{1}} \over {\epsilon _{1}v_{1}}}\left({{E_{0o}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}=\left({{n_{1}-n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}\;$

(17.68)

Stosunek natężenia fali wchodzącej do ośrodka do natężenia padającej, czyli współczynnik transmisji T możemy napisać wtedy, jeśli wykorzystamy wzór (17.39), ale dla fali wchodzącej (występuje w liczniku) i padającej (występuje w mianowniku), zatem obliczenia dla fali padającej prostopadle dla wspomnianego w tym tekście współczynnika:

$T={{I_{w}} \over {I_{p}}}={{\epsilon _{2}v_{2}} \over {\epsilon _{1}v_{1}}}\left({{E_{0w}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}={{v_{2}} \over {v_{1}}}{{v_{1}^{2}\mu _{0}} \over {v_{2}^{2}\mu _{0}}}\left({{E_{0w}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}={{v_{1}} \over {v_{2}}}\left({{E_{0w}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}={{n_{2}} \over {n_{1}}}{{4n_{1}^{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}={{4n_{1}n_{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}\;$

(17.69)

Jeśli w elektromagnetyzmie jest spełniona zasada zachowania energii, to powinno na pewno zachodzić, że suma współczynników odbicia R (17.68) i transmisji T (17.69) powinna być zawsze równe jeden, nawet dla tego przypadku.

$R+T=1\;$

(17.70)

Udowodnijmy wzór (17.70) mając już policzony współczynnik odbicia R (17.68) i współczynnik transmisji (17.69), wtedy możemy przejść do właściwego motta naszego dowodu:

$R+T=\left({{n_{1}-n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}+{{4n_{1}n_{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}={{\left(n_{1}-n_{2}\right)^{2}+4n_{1}n_{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}={{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}-2n_{1}n_{2}+4n_{1}n_{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}=\;$
$={{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+2n_{1}n_{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}={{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}} \over {\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}=1\;$

(17.71)

Dowód tożsamości (17.70) został ukończony na podstawie obliczeń (17.71).

Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej przy padaniu pod kątem

(Rys. 17.4) Fala odbita i przechodząca przy padaniu prostopadłym

Wcześniej omówiliśmy gdy fala padająca pada prostopadle do powierzchni ośrodka, czyli mieliśmy do czynienia z przypadkiem θ=0. Określmy trzy fala elektromagnetyczne, padająca, odbita i załamaną.

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej padającej można przedstawić:

${\vec {E}}_{p}=E_{0p}e^{i({\vec {k}}_{p}{\vec {r}}-\omega _{p}t)}\;$

(17.72)

${\vec {B}}_{p}={{1} \over {v_{1}}}\left({\vec {k}}_{p}\times {\vec {E}}_{p}\right)\;$

(17.73)

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej odbitej można przedstawić:

${\vec {E}}_{o}=E_{0o}e^{i({\vec {k}}_{o}{\vec {r}}-\omega _{o}t)}\;$

(17.74)

${\vec {B}}_{o}={{1} \over {v_{1}}}\left({\vec {k}}_{o}\times {\vec {E}}_{o}\right)\;$

(17.75)

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej załamanej można przedstawić w postaci:

${\vec {E}}_{z}=E_{0z}e^{i({\vec {k}}_{z}{\vec {r}}-\omega _{z}t)}\;$

(17.76)

${\vec {B}}_{z}={{1} \over {v_{2}}}\left({\vec {k}}_{z}\times {\vec {E}}_{z}\right)\;$

(17.77)

Dla z=0 można powiedzieć, że suma pól elektrycznych składowych równoległych, według warunków granicznych na granicy dwóch ośrodków:

${\vec {E}}_{p}^{||}+{\vec {E}}_{o}^{||}={\vec {E}}_{z}^{||}\Rightarrow E_{0p}^{||}e^{i({\vec {k}}_{p}{\vec {r}}-\omega _{p}t)}+E_{0o}^{||}e^{i({\vec {k}}_{o}{\vec {r}}-\omega _{o}t)}=E_{0z}^{||}e^{i({\vec {k}}_{z}{\vec {r}}-\omega _{z}t)}\;$

(17.78)

Powyższe równanie jest tożsamością, więc powinno być spełniona dla wszystkich x i y, przy z=0 i dla wszystkich czasów, wynika stąd równość wykładników potęg, czyli powinno zachodzić:

$i({\vec {k}}_{p}{\vec {r}}-\omega _{p}t)=i({\vec {k}}_{o}{\vec {r}}-\omega _{o}t)=i({\vec {k}}_{z}{\vec {r}}-\omega _{z}t)\;$

(17.79)

Równania Maxwella są słuszne także, gdy dokonamy przesunięcia czasowego o stałą wielkość, tzn. dokonamy zamiany t⇒ t+Δ t, dochodzimy wtedy stąd do wniosku, że występuje równość częstotliwości kołowych, czyli zachodzi: ω_p=ω_o=ω_z=ω, czyli te wszystkie częstotliwości oznaczmy przez ω.

Do każdej strony równania (17.79) należy dodać wielkość iωt, bo dla poszczególnych przypadków częstotliwości są równe (padającego, odbitego, załamanego) jak udowodniliśmy, to tak otrzymane nasze równanie podzielimy jeszcze przez jednostkę urojoną "i", i wtedy otrzymujemy tożsamość:

${\vec {k}}_{p}{\vec {r}}={\vec {k}}_{o}{\vec {r}}={\vec {k}}_{z}{\vec {r}}\;$

(17.80)

Równanie (17.80) możemy zapisać pamiętając przy tym, że płaszczyzna ograniczająca dwa ośrodki jest płaszczyzną, której położenie jest z=0, wiedząc o tym, to (k_p)_z, (k_o)_z, (k_z)_z przyjmuje wartość w tym naszym równaniu dowolną, chociaż ściśle określoną, dostajemy równanie:

$(k_{p})_{x}x+(k_{p})_{y}y=(k_{o})_{x}x+(k_{o})_{y}y=(k_{z})_{x}x+(k_{z})_{y}y\;$

(17.81)

Ostatnia równość powinna być spełniona dla wszystkich x i y, tzn. dowolnych, zatem otrzymujemy dwie tożsamości:

$(k_{p})_{x}=(k_{o})_{x}=(k_{z})_{x}\;$

(17.82)

$(k_{p})_{y}=(k_{p})_{y}=(k_{z})_{y}\;$

(17.83)

Dochodzimy więc do wniosku na podstawie tożsamości (17.82) i (17.83), że wektory falowe:${\vec {k}}_{p}\;$, ${\vec {k}}_{o}\;$, a także:${\vec {k}}_{z}\;$, leżą w tej samej płaszczyźnie, co stanowi treść pierwszego prawa odbicia i załamania. Ta płaszczyzna zawiera promień padający i ona jest prostopadła do małego wycinka płaszczyzny, w której rozpoczyna się odbicie i załamanie. Zatem w tej płaszczyźnie zawierają się promień odbity i załamany.

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego w tożsamości (17.80) i skracając obustronnie przez długość wektora ${\vec {r}}\;$, wtedy dochodzimy do wniosku, że:

$k_{p}\sin \theta _{p}=k_{o}\sin \theta _{o}=k_{z}\sin \theta _{z}\;$

(17.84)

Ponieważ prędkość i częstości w ośrodku pierwszym są takie same i jeśli: $k_{p}={{\omega } \over {v_{p}}}\;$ oraz $k_{o}={{\omega } \over {v_{o}}}\;$ ale v_p=v_o, i oznaczymy odpowiednio według naszych wywodów k_p=k_o=k, wtedy mamy:

$k_{p}\sin \theta _{p}=k_{o}\sin \theta _{o}\Rightarrow k\sin \theta _{p}=k\sin \theta _{o}\Rightarrow \sin \theta _{p}=\sin \theta _{o}\Rightarrow \theta _{p}=\theta _{o}\;$

(17.85)

Dochodzimy stąd do wniosku, że kąt padania i odbicia fali elektromagnetycznej na granicę między ośrodkami są sobie równe, czyli zachodzi związek θ_p=θ_o, jest to treść drugiego prawa odbicia i załamania .

Dla fali elektromagnetycznej załamanej i padającej wedle (17.84) zachodzi na pewno tożsamość:

$k_{o}\sin \theta _{o}=k_{z}\sin \theta _{z}\;$

(17.86)

Wiadomo jednak że zachodzi:$k_{p}={{\omega } \over {v_{p}}}\;$, a także:$k_{z}={{\omega } \over {v_{z}}}\;$, bo częstotliwości są sobie równe w tym wzorach. wtedy nasza równość (17.86) zachodzi według wzoru poniżej, w której tak go przekształćmy, by prędkości fal w dwóch granicznych ośrodkach dla promienia padającego i załamanego były po lewej stronie, a kąty padania i załamania były po jego prawej stronie:

${{\omega } \over {v_{p}}}\sin \theta _{p}={{\omega } \over {v_{z}}}\sin \theta _{z}\Rightarrow {{v_{z}} \over {v_{p}}}={{\sin \theta _{z}} \over {\sin \theta _{p}}}\;$

(17.87)

Korzystamy z definicji współczynników załamania w ośrodku promienia padającego $n_{1}={{c} \over {v_{p}}}\;$ i w ośrodku promienia załamanego $n_{2}={{c} \over {v_{z}}}\;$, wtedy lewą stronę końcowej tożsamości (17.87) zapisujemy:

${{v_{z}} \over {v_{p}}}={{{c} \over {v_{p}}} \over {{c} \over {v_{z}}}}={{n_{1}} \over {n_{2}}}\;$

(17.88)

I jeśli oznaczymy przez θ_p=θ₁ oraz θ_z=θ₂, wtedy otrzymujemy prawo załamania na podstawie końcowego wzoru (17.87) i przeprowadzonych obliczeń (17.88) dostajemy wniosek:

${{n_{1}} \over {n_{2}}}={{\sin \theta _{2}} \over {\sin \theta _{1}}}\Rightarrow n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\;$

(17.89)

co stanowi treść trzeciego prawa odbicia i załamania zwanym prawem załamania lub prawem Snella.

Z warunków brzegowych w elektrodynamice dla fal zmiennych w tym przypadku dla fali eletromagnetycznej zachodzą warunki dla ich aplitud czyli aplitud fali magnetycznej i elektrycznej, bo wykładniki potęg są sobie równe, zatem zachodzą wnioski:

${\begin{cases}\epsilon _{1}\left((E_{0p})_{z}+(E_{0o})_{z}\right)=\epsilon _{2}(E_{0z})_{z}&{\mbox{ z pierwszego prawa Maxwella}}\\(B_{0p})_{z}+(B_{0o})_{z}=(B_{0z})_{z}&{\mbox{ z drugiego prawa Maxwella}}\\(E_{0p})_{x,y}+(E_{0o})_{x,y}=(E_{0z})_{x,y}&{\mbox{ z trzeciego prawa Maxwella}}\\{{1} \over {\mu _{1}}}\left((B_{0p})_{x,y}+(B_{0o})_{x,y}\right)={{1} \over {\mu _{2}}}(B_{0z})_{x,y}&{\mbox{ z czwartego prawo Maxwella}}\\\end{cases}}$

(17.90)

(Rys. 17.5) Fala elektromagnetyczne padająca, odbita i załamana przy padaniu ukośnym

Korzystamy z pierwszego warunku granicznego układu równań (17.90) i wyraźmy go poprzez amplitudy wektora elektrycznego w fali elektromagnetycznej, patrząc na rysunek obok.

$\epsilon _{1}\left(-E_{0p}\sin \theta _{p}+E_{0o}\sin \theta _{o}\right)=-\epsilon _{2}E_{0z}\sin \theta _{z}$

(17.91)

Wiedząc, że zachodzi θ_p=θ_o, i po krótkich przekształceniach otrzymujemy:

$E_{0p}-E_{0o}={{\epsilon _{2}} \over {\epsilon _{1}}}{{\sin \theta _{z}} \over {\sin \theta _{p}}}E_{0z}$

(17.92)

Drugi wzór na warunki brzegowe (17.90) nic nie wnosi, ponieważ w naszym przypadku nie ma składowych fali elektromagnetycznej pola magnetycznego prostopadłej do granicy między ośrodkami, czyli wektory indukcji magnetycznej w płaszczyźnie XY.

Dla składowych prostopadłych zachodzi warunek graniczny (brzegowy) według trzeciego równania układu równań (17.90):

$E_{0p}\cos \theta _{p}+E_{0o}\cos \theta _{o}=E_{0z}\cos \theta _{z}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow E_{0p}+E_{0o}={{\cos \theta _{z}} \over {\cos \theta _{p}}}E_{0z}$

(17.93)

Jeśli oznaczymy, że:$\alpha ={{\cos \theta _{z}} \over {\cos \theta _{p}}}$, to wtedy równanie (17.93) możemy przepisać używając parametru α i wartości amplitud fali padającej, odbitej i załamanej, zatem piszemy:

$E_{0p}+E_{0o}=\alpha E_{0z}\;$

(17.94)

Z ostatniego warunku brzegowego układu równań (17.90), wykorzystując wniosek $B_{0}={{1} \over {v_{1}}}E_{0}$, który wynika z tożsamości (17.24) i z definicji prędkości fazowej, zatem napiszmy na podstawie tego tożsamość:

${{1} \over {\mu _{1}v_{1}}}\left(E_{0p}-E_{0o}\right)={{1} \over {\mu _{2}v_{2}}}E_{0z}\Rightarrow E_{0p}-E_{0o}={{\mu _{1}v_{2}} \over {\mu _{2}v_{2}}}E_{0z}$

(17.95)

Oznaczmy, że parametr β, który występuje z prawej strony równania końcowego (17.95) przy wartości amplitudy promienia padającego E_0z, piszemy wedle:

$\beta ={{\mu _{1}v_{1}} \over {\mu _{2}v_{2}}}={{\mu _{1}{{c} \over {v_{2}}}} \over {\mu _{2}{{c} \over {v_{1}}}}}={{\mu _{1}n_{2}} \over {\mu _{2}n_{1}}}$

(17.96)

Stąd otrzymujemy równoważne równanie do (17.95) przy definicji parametru β zdefiniowanego w punkcie (17.96):

$E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0z}\;$

(17.97)

Równania (17.94) i (17.97) możemy zebrać w jeden układ równań otrzymując układ dwóch równań, które jednocześnie zachodzą zależne od parametru α i β i od wartości amplitud fali pola elektrycznego padającej E_0p, odbitej E_0o i na samym końcu od amplitudy fali załamanej E_0z:

${\begin{cases}E_{0p}+E_{0o}=\alpha E_{0z}\\E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0z}\end{cases}}$

(17.98)

Możemy dodać dwa równania do siebie ostatniego układu równań (17.98) do siebie, otrzymując wzór na amplitudę fali załamanej E_0z w zależności od amplitudy fali padającej E_0p, oczywiście dla pola elektrycznego, zatem otrzymujemy ten nasz właśnie wzór:

$2E_{0p}=\left(\alpha +\beta \right)E_{0z}\Rightarrow E_{0z}={{2} \over {\alpha +\beta }}E_{0p}$

(17.99)

Z drugiego równań układu równań (17.98) wyznaczmy amplitudy natężenia fali elektrycznej odbitej wykorzystując wzór na amplitudę fali załamanej wedle:

$E_{0o}=E_{0p}-\beta E_{0z}=E_{0p}-\beta {{2} \over {\alpha +\beta }}E_{0p}={{\alpha +\beta -2\beta } \over {\alpha +\beta }}E_{0p}={{\alpha -\beta } \over {\alpha +\beta }}E_{0p}$

(17.100)

Widzimy, że przy α=β, fala odbita jest całkowicie stłumiona. zajmijmy się teraz tym przypadkiem.

Przekształćmy wyrażenie na parametr α, który występuje w wyrażeniu (17.94) zamieniając cosθ_z na wyrażenie w której występuje sinθ_z, wiedząc, że cosθ_z jest w zjawisku załamania i odbicia wielkością nieujemną:

$\alpha ={{\cos \theta _{z}} \over {\cos \theta _{p}}}={{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{z}}} \over {\cos \theta }}$

(17.101)

W (17.101) występujący w nim sinθ_z możemy wyrazić za pomocą prawa Snella (17.89) sinusa kąta załamania wedle:

$\alpha ={{\sqrt {1-\left[{{n_{1}} \over {n_{2}}}\sin \theta _{p}\right]^{2}}} \over {\cos \theta _{p}}}$

(17.102)

Dla całkowicie stłumionej fali odbitej według (17.98) parametr α jest równy współczynnikowi β, czyli: α=β, zatem wykorzystując wzór na α (17.102), następnie zamieniamy w nim parametr α na parametr β, dzięki temu piszemy go w nowej odsłonie:

$\beta ={{\sqrt {1-\left[{{n_{1}} \over {n_{1}}}\sin \theta _{p}\right]^{2}}} \over {\cos \theta _{p}}}$

(17.103)

Poprzekształcajmy nasze równanie (17.103), by wyznaczyć tangens kąta padania, w tym celu podnieśmy obie strony tego naszego równania do kwadratu, by zlikwidować pierwiastek w nim występujący, a potem go dalej przekształcając w celu wyznaczenia kwadratu sinusa kąta padającego w zależności od parametru β i współczynników załamania w ośrodku pierwszym n₁ i drugim n₂.

$\beta ^{2}\cos ^{2}\theta _{p}=1-{{n_{1}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{p}\Rightarrow \beta ^{2}(1-\sin ^{2}\theta _{p})=1-{{n_{1}^{2}} \over {n_{2}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{p}\Rightarrow \sin ^{2}\theta _{p}\left(\beta ^{2}-{{n_{1}^{2}} \over {n_{2}^{2}}}\right)=-1+\beta ^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \sin ^{2}\theta _{p}={{1-\beta ^{2}} \over {\left({{n_{1}} \over {n_{2}}}\right)^{2}-\beta ^{2}}}$

(17.104)

Weźmy definicję β (17.96) i wiedząc, że w nim występujące współczynniki μ₁ i μ₂ są w przybliżeniu równe przenikalności magnetycznej w próżni μ₀, czyli ten nasz wspomniany obiekt piszemy w przybliżeniu w postaci:

$\beta ={{\mu _{1}n_{2}} \over {\mu _{2}n_{1}}}\simeq {{n_{2}} \over {n_{1}}}\Rightarrow {{n_{1}} \over {n_{2}}}\simeq {{1} \over {\beta }}$

(17.105)

Tożsamość (17.104) na podstawie końcowego wniosku (17.105), który jest odwrotnością parametru β zdefiniowanym jako stosunek współczynnika załamania w ośrodku pierwszym przez ośrodek drugi, stąd wniosek:

$\sin ^{2}\theta _{p}={{1-\beta ^{2}} \over {{{1} \over {\beta ^{2}}}-\beta ^{2}}}\Rightarrow {{\beta ^{2}(1-\beta ^{2})} \over {1-\beta ^{4}}}=\beta ^{2}{{1-\beta ^{2}} \over {(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}}=\beta ^{2}{{1} \over {1+\beta ^{2}}}$

(17.106)

Ponieważ zachodzi tożsamość z znana z matematyki, że: $\sin ^{2}\theta ={{\operatorname {tg} ^{2}\theta } \over {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}$, i porównując definicję sin²θ ze wzorem (17.106), otrzymujemy, że zachodzi na pewno:

$\operatorname {tg} \theta _{p}={{n_{2}} \over {n_{1}}}$

(17.107)

Ostatni wzór stanowi treść twierdzenie Brewsteta, mówi ona przy jakim kącie zwanym kątem Brewstera nie ma promienia odbitego.

Policzmy wyrażenie, które jest kosinusem sumy kątów padania i załamania dla kąta padania Brewstera, tzn.: θ_p=θ_B, czyli dla którego zachodzi związek (17.107):

$\cos(\theta _{p}+\theta _{z})=\cos \theta _{p}\cos \theta _{z}-\sin \theta _{p}\sin \theta _{z}=\cos \theta _{p}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{z}}}-\sin \theta _{p}\sin \theta _{z}=\cos \theta _{p}{\sqrt {1-{{n_{1}^{2}} \over {n_{2}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{p}}}-{{n_{1}} \over {n_{2}}}\sin ^{2}\theta _{p}=$
$={{1} \over {\sqrt {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}{\sqrt {1-{{n_{1}^{2}} \over {n_{2}^{2}}}{{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}}-{{n_{1}} \over {n_{2}}}{{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}={{1} \over {\sqrt {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}{\sqrt {1-{{1} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}}-{{{n_{2}} \over {n_{1}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}={{1} \over {\sqrt {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}{{\sqrt {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}-1}} \over {\sqrt {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}}-{{{n_{2}} \over {n_{1}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}=$
$={{{n_{2}} \over {n_{1}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}-{{{n_{2}} \over {n_{1}}} \over {1+{{n_{2}^{2}} \over {n_{1}^{2}}}}}=0$

(17.108)

Dochodzimy do wniosku z ostatnich obliczeń dla kąta padania Brewstera, dla którego promień odbity jest całkowicie tłumiony, że cos(θ_p+θ_z)=0, a to z kolei owocuje, jak napiszemy poniżej, że suma kąta padania θ_p i załamania θ_z fali elektrycznej jest równa kątowi prostemu:

$\theta _{p}+\theta _{z}={{\pi } \over {2}}$

(17.109)

Odejdźmy od twierdzenia Brewstera i zajmijmy się ponownie ogólnym wnioskiem procesu odbicia i załamania.

Korzystając ze wzoru na natężenie fali w ośrodku liniowym fali elektromagnetycznej padającej pod kątem θ do powierzchni granicznej (17.49), wyznaczmy wielkość, która jest stosunkiem natężenia fali elektromagnetycznej odbitej I_o do fali padającej I_p, czyli współczynnik odbicia R. We wzorach na natężenia pola dla promienia odbitego, padającego, a nawet dla załamanego, co później uwzględnimy dla współczynnika transmisji, tzn. kąty pod którymi są względem prostej prostopadłej do płaszczyzny rozgraniczającej oba wspomniane wcześniej te dwa różne ośrodki względem tychże wymienionych promieni, co uwzględnienie tego dla współczynnika odbicia R nic nie wnosi, ponieważ kąty padania i odbicia są jednakowe, a dla współczynnika transmisji T katy padania i załamania mają jakiś wkład.

$R={{I_{o}} \over {I_{p}}}=\left({{E_{0o}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}=\left({{\alpha -\beta } \over {\alpha +\beta }}\right)^{2}$

(17.110)

A następnie stosunek natężenia fali elektromagnetycznej załamanej I_z do fali padającej I_p, czyli współczynnik transmisji T, korzystając przy tym ze wzoru (17.49) dla natężenia fali załamanej i padającej przy uwzględnieniu, że wszystkie te fale w szczególności załamane i odbite padają pod pewnym kątem do prostej prostopadłej do płaszczyzny rozgraniczającej oba te ośrodki, jak powiedziano wcześniej przy współczynniku odbicia R (17.110):

$T={{I_{z}} \over {I_{p}}}={{\epsilon _{2}v_{2}} \over {\epsilon _{1}v_{1}}}\left({{E_{0z}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}{{\cos \theta _{z}} \over {\cos \theta _{p}}}={{v_{2}\mu _{1}v_{1}^{2}} \over {\mu _{2}v_{2}^{2}v_{1}}}\left({{E_{0z}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}\alpha =\alpha \beta \left({{E_{0z}} \over {E_{0p}}}\right)^{2}=\alpha \beta {{4} \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}$

(17.111)

Policzmy wyrażenie będącej sumą współczynnika odbicia R (17.110) i współczynnika transmisji T (17.111), czyli sprawdźmy czy spełniona jest zasada zachowania energii:

$R+T=\left({{\alpha -\beta } \over {\alpha +\beta }}\right)^{2}+\alpha \beta {{4} \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}={{(\alpha -\beta )^{2}+4\alpha \beta } \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}={{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta +4\alpha \beta } \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}={{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+2\alpha \beta } \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}={{\left(\alpha +\beta \right)^{2}} \over {\left(\alpha +\beta \right)^{2}}}=1$

(17.112)

Na podstawie obliczeń (17.112) udowodniliśmy, że spełnione jest prawo zachowania energii dla procesu załamania i odbicia, bo suma współczynników odbicia R (17.110) i transmisji T (17.111) jest równa jeden.