Wikibooks

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 147:
Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka {{LinkWzór|2.6}} dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie {{linkWzór|1.113|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} o środku mas układu cząstek, to wzory {{LinkWzór|2.18}} i {{LinkWzór|2.27}} są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} ogólnie dla środka mas układów cząstek, a {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}} udowodniliśmy wychodząc z {{linkWzór|1.110|Szczególna_teoria_względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względności}}. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.
 
==Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, słabozakrzywionych i słabozakrzywionych (zakrzywionych)==
A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, które będziemy stosować.
{{Twierdzenie|Jakie=pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich, słabozakrzywionych i słabozakrzywionych (zakrzywionych)|Tekst=W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (popatrz na definicję macierzy transformacji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych lub (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do do układów słabozakrzywionych, czy (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.}}
*1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0</MATH>|Ld}}
Linia 158:
*2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}}
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych) daje nam zero, a jeśli mamy po przejściu układy słabozakrzywione, pochodna tensora tensora prędkości jest równa w przybliżeniu jego pochodnej cząstkowej, a to wynika, że przestrzenie słabozakrzywione są prawie płaskie na podstawie własności {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, i dlatego w {{LinkWzór|Ld2}} tensor prędkości można przenieść przed całką powierzchniową, czy objętościową, stąd więc dla infinitezymalnych prostopadłościanów na ściankach i w jego wnętrzu tensor prędkości jest wszędzie w przybliżeniu taki sam. Widzimy na podstawie tego, że w układach słabozakrzywionych, że to prawo wygląda na to, że jest spełnione w przybliżeniu, a spełnioność w układach zakrzywionych nie jest wcale oczywista, czy jest spełnione. Ale spełnionośc obliczeń w {{linkWzór|Ld2}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest prawdziwa, że na podstawie powyższego twierdzenia, wynik wychodzi też zero po przejściu do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych).
*3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^jdS_j=0\Rightarrow \lim_{V\rightarrow}\int_V\left((\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u_j\right)_{,j}dV=
Linia 164:
u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^j}_{,j}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_Su^jdS_j=0\;</MATH>|Ld3a}}
Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} i niezależności ciśnienia {{LinkWzór|r6|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równy zero na podstawie przykładu {{linkWzór|Ld2}}.
Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc przejście tej całki od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wygląda na to, że daje nam w przybliżeniu zero, a więc wtedy wynikałoby, że całka {{LinkWzór|Ld3a}} w układach co najwyżej słabozakrzywionych jest równa co najwyżej w przybliżeniu zero ze względu na przybliżoną płaskość układów słabozakrzywionych, a więc wtedy symbole Christoffela są małe, a więc na ściankach nieskończenie małego prostopadłościanu tensory prędkości są w przybliżeniu takie same ze względu na własność {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc wtedy pochodna tensorowa jest w przybliżeniu równa pochodnej cząstkowej, a w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} według własności przestrzeni słabozakrzywionej pochodna cząstkowa tensora prędkości jest równa tylko w przybliżeniu zero, ale jest za to nierówna dokładnie tam zero. Ale ze względu na to twierdzenie, jeżeli całko trzecia w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równa zero w układfachukładach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, to w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) też jest równa zero.
 
==Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów==
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Szczególna_teoria_względności/Tensory_w_czasoprzestrzeni”