Wikibooks

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 158:
*2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}}
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych) daje nam zero.
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych) daje nam zero, a jeśli mamy po przejściu układy słabozakrzywione, pochodna tensora tensora prędkości jest równa w przybliżeniu jego pochodnej cząstkowej, a to wynika, że przestrzenie słabozakrzywione są prawie płaskie na podstawie własności {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, i dlatego w {{LinkWzór|Ld2}} tensor prędkości można przenieść przed całką powierzchniową, czy objętościową, stąd więc dla infinitezymalnych prostopadłościanów na ściankach i w jego wnętrzu tensor prędkości jest wszędzie w przybliżeniu taki sam. Widzimy na podstawie tego, że w układach słabozakrzywionych, że to prawo wygląda na to, że jest spełnione w przybliżeniu, a spełnioność w układach zakrzywionych nie jest wcale oczywista, czy jest spełnione. Ale spełnionośc obliczeń w {{linkWzór|Ld2}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest prawdziwa, że na podstawie powyższego twierdzenia, wynik wychodzi też zero po przejściu do układów zakrzywionych (słabozakrzywionych).
*3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^jdS_j=0\Rightarrow \lim_{V\rightarrow}\int_V\left((\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u_j\right)_{,j}dV=
Linia 164:
u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^j}_{,j}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_Su^jdS_j=0\;</MATH>|Ld3a}}
Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} i niezależności ciśnienia {{LinkWzór|r6|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równy zero na podstawie przykładu {{linkWzór|Ld2}}.
Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc przejście tej całki od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wygląda na to, że daje nam w przybliżeniu zero, a więc wtedy wynikałoby, że całka {{LinkWzór|Ld3a}} w układach co najwyżej słabozakrzywionych jest równa co najwyżej w przybliżeniu zero ze względu na przybliżoną płaskośćod układów słabozakrzywionych, a więc wtedy symbole Christoffela są małe, a więc na ściankach nieskończenie małego prostopadłościanu tensory prędkości są w przybliżeniu takie same ze względu na własność {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, a więc wtedy pochodna tensorowa jest w przybliżeniu równa pochodnej cząstkowej, a w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} według własności przestrzeni słabozakrzywionej pochodna cząstkowa tensora prędkości jest równa tylko w przybliżeniu zero, ale jest za to nierówna dokładnie tam zero. Ale ze względu na to twierdzenie, jeżeli całko trzecia w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równa zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, todo w układachukładów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też jestdaje równanam zero.
 
==Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów==
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Szczególna_teoria_względności/Tensory_w_czasoprzestrzeni”