Wikibooks

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.
==Czterowektor wielkości tensorowych==
Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego {{Formuła|<MATH>T^{\mu}\;</MATH>}} i kowariantnego {{Formuła|<MATH>T_{\mu}\;</MATH>}}, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.76|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}}:
{{indexWzór|<MATH>T^{\mu}=\begin{bmatrix}T_t\\\vec T\end{bmatrix}=[T_t,T_x,T_y,T_z]^T\wedge T_{\mu}=T^{\nu}\eta_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}T_t\\-\vec T\end{bmatrix}=[T_t,-T_x,-T_y,-T_z]^T\;</MATH>|G1}}
 
Linia 15:
Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x<sup>&mu;</sup> {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.2}}
*gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} (przestrzeń nieprostokątna) i {{LinkWzór|1.74b|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i {{LinkWzór|1.80a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} dla mechaniki Newtona.
===Szczególna teoria względności===
Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\gamma\;</MATH>|2.3}}|2={{IndexWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{v^i}\over{c}}\gamma\;</MATH>|2.4}}}}
Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:
Linia 24:
===Mechanika Newtona===
Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x<sup>&mu;</sup> {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie {{LinkWzór|2.2}}.
Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.80a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt}}=1\;</MATH>|2.3a}}|2={{IndexWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt}}={{v^i}\over{c}}\;</MATH>|2.4a}}}}
Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3a}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4a}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:
Linia 33:
Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.
===Szczególna teoria względności===
Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego {{linkWzór|1.75|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia {{LinkWzór|2.1}}, zatem wzór {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} jest wyrażony:
{{IndexWzór|<MATH>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\Rightarrow 1=\eta_{\mu\nu}{{dx^{\mu}}\over{ds}}{{dx^{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.6}}
Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|2.2}}, to końcową tożsamość wynikową {{LinkWzór|2.6}} przepisujemy:
Linia 40:
{{IndexWzór|<MATH>1=u_{\nu}u^{\nu}\;</MATH>|2.8}}
===Mechanika Newtona===
Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.77|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} w szczególnej teorii względności przy {{Formuła|<MATH>||\vec v||<<c\;</MATH>}}, które spełnia mechanika Newtona, jest {{LinkWzór|1.80a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} znając definicję tensora prędkości {{linkWzór|2.2}} przepiszmy:
{{IndexWzór|<MATH>ds=cdt\Rightarrow 1={{dct}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}=u^0\Rightarrow u^0=1\wedge v^0=u^0c=c\Rightarrow v^0=c\;</MATH>|2.8aa}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.8aa}} w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła {{Formuła|<MATH>v^0=c\;</MATH>}}, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem {{linkWzór|2.5a}}.
Linia 65:
Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.
====Szczególna teoria względności====
Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{linkWzór|2.11}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_r}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix}
\gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\
Linia 74:
Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.14}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=\gamma C_p\left(\vec p_{||}-m\vec V\right)\;</MATH>|2.15}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.16}}}}
Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościTransformacje wielkości fizycznych}}:
{{IndexWzór|<MATH>{\vec {p}^'_{\perp}}^2={\vec {p}^'}_{\perp}^TA^'{\vec p}^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.17}}
Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.
 
====Mechanika Newtona====
Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{linkWzór|2.111}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63d|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_0}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix}
1&0\\
Linia 89:
Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.141}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=C_p\left(\vec p_{||}-m_0\vec V\right)\;</MATH>|2.151}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.161}}}}
Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościTransformacje wielkości fizycznych}}:
{{IndexWzór|<MATH>{\vec p^'_{\perp}}^2={{\vec p}^'_{\perp}}^TA^'\vec p^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.171}}
Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.
 
== Tensor siły w czasoprzestrzeni ==
N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu {{LinkWzór|2.8a}} względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} (lub {{LinkWzór|1.74b|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}}):
{{IndexWzór|<MaTH>K^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.18}}
===Szczególna teoria względności===
Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły {{LinkWzór|2.18}} i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina {{LinkWzór|1.110|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}:
{{IndexWzór|<MATH>K^i={{dp^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{dp^i}\over{dt}}{{\gamma}\over{c}}=F^i{{\gamma}\over{c}}\;</MATH>|2.19}}
Wedle wzoru {{LinkWzór|2.13}} siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:
Linia 127:
{{IndexWzór|<MATH>X^{\mu}={{\sum_{k}m_kx^{\mu}_{k}}\over{\sum_km_k}}\;</MATH>|2.28}}
Gdzie <MATH>x^{\mu}_k\;</MATH> to tensor położenia ciała o numerze {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>X^{\mu}\;</MATH>}} to położenie środka mas.
N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej {{Formuła|<MATH>\lambda\;</MATH>}} możemy napisać w postaci podobnej do {{LinkWzór|1.114|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}},tzn:
{{IndexWzór|<MATH>\left({X^{\mu}}\right)^{(n)}(\lambda)={{\sum_{k}m_k\cdot\left({x^{\mu}_{k}}\right)^{(n)}(\lambda)}\over{\sum_km_k}}\;</MATH>|2.29}}
Wzór {{LinkWzór|2.29}} podobnie się udowadnia jak wzór {{LinkWzór|1.114|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}}.
A więc twierdzenie {{LinkWzór|2.29}} zostało udowodnione.
Wzory {{LinkWzór|2.28}} i {{LinkWzór|2.29}} są równoważne ze wzorami {{linkWzór|1.113|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}} i {{linkWzór|1.114|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}.
Gdy we wzorze {{LinkWzór|2.28}} mamy {{Formuła|<MATH>m_{k}=m_{0k}\gamma\;</math>}}, gdzie w nim {{Formuła|<MATH>m_{0k}\;</MATH>}} to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>x^{0}=t\;</MATH>}}, to wtedy dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>t\sum_km_{k}=\sum_km_{k}t\Rightarrow\sum_km_{k}=\sum_km_{k}\wedge M_0=\sum_km_{0k}\wedge M=\sum_km_{0k}\gamma_k\Rightarrow M_0\Gamma=M\Rightarrow M_0={{\sum_km_{0k}\gamma_k}\over{\Gamma}}={{M}\over{\Gamma}}\;</MATH>|2.30}}
Widzimy, że według wzoru {{LinkWzór|2.30}} masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór {{LinkWzór|2.28}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=0\;</MATH>}} jest tożsamością. Stąd wzór {{linkWzór|2.29}} jest słuszny dla każdego {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez {{Formuła|<MATH>\Gamma\;</MATH>}}, które jest zdefiniowane wzorem {{linkWzór|1.106|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}}(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}.
Przepiszmy wzór {{LinkWzór|2.29}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>n=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_k=m_{0k}\gamma_k\;</MATH>}}, co po przekształceniu go wykorzystując {{linkWzór|2.30}} i {{LinkWzór|2.5}} oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>{{V^i}\over{c}}M=\sum_i m_i {{v^i}\over{c}}\Rightarrow {{V^i}\over{c}}M_0\Gamma=\sum_km_{0k}\gamma_k{{v^i_k}\over{c}}\Rightarrow U^iM_0=\sum_k m_{0k}u^i_k\;</MATH>|2.31}}
Linia 145:
 
==Tensor siły dla środka mas==
Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka {{LinkWzór|2.6}} dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie {{linkWzór|1.113|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}} o środku mas układu cząstek, to wzory {{LinkWzór|2.18}} i {{LinkWzór|2.27}} są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}} ogólnie dla środka mas układów cząstek, a {{linkWzór|1.121|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}} udowodniliśmy wychodząc z {{linkWzór|1.110|Szczególna_teoria_względnościSzczególna teoria względności/Wstęp_do_szczególnej_teorii_względnościDynamika ruchu ciał}}. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.
 
==Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)==
A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.
{{Twierdzenie|Jakie=pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych)|Tekst=W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (popatrz na definicję macierzy transformacji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}} w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.}}
*1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
{{IndexWzór|<MATH>u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0</MATH>|Ld}}
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości {{LinkWzór|Ld}} jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}.
Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji {{LinkWzór|B5|Szczególna teoria względności/WstępTransformacje dowielkości szczególnej teorii względnościfizycznych}}:
{{IndexWzór|<MATH>{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=\overline u^{\nu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>|Ld1}}
Wyraz w {{LinkWzór|Ld1}} jest równy zero ze względu, że wyraz {{Formuła|<MATH>{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.
Linia 163:
\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\Big((\rho_0c^2+p)_{,j}u^{\mu}u^j+(\rho_0c^2+p){u^{\mu}}_{,j}u^j+\;</MATH><BR><MATH>+(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}{u^j}_{,j}\Big)dV=
u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^j}_{,j}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_Su^jdS_j=0\;</MATH>|Ld3a}}
Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} i niezależności ciśnienia {{LinkWzór|r6|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równy zero na podstawie przykładu {{linkWzór|Ld2}}.
Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}. A więc przejście całki {{LinkWzór|Ld3a}} od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.
 
==Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów==
Linia 179:
 
====Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości====
Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu {{LinkWzór|2.42}} przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} oraz [[Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni#Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości|(Twierdzenie-2.1)]], jako:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dK^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{dt}\over{ds}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\Bigg(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\;</MATH><BR><MATH>+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{\gamma}\over{c}}\Bigg)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\right)dV=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_Vu^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV+\;</MATH><BR><MATH>-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left[\left(u^iu^{\mu}\right)_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right]dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\;</MATH><BR><MATH>=\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^idS_i-\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^{i}dS_i+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}\;</MATH>|2.38}}
Wzór na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38}} zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w {{LinkWzór|2.38}}, mamy:
Linia 189:
 
====Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich====
Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru {{LinkWzór|2.42a}}, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według {{LinkWzór|1.110|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}, a więc:
{{IndexWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.43}}
Napiszmy z definicji delty Diraca:
Linia 196:
Na podstawie {{linkWzór|2.43}} i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:
{{IndexWzór|<MATH>F^{\mu}=\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=m_0\int_V\delta^n(\vec r-\vec r_0)c{{du^{\mu}}\over{dt}}dV\Rightarrow F^{\mu}=m_0c{{du^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow F^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow\vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|2.45}}
Stąd wzór {{linkWzór|2.43}} dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór {{LinkWzór|2.45}} (końcowy wzór), czyli w {{LinkWzór|1.110|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci {{LinkWzór|2.18}}, a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie {{LinkWzór|2.42}} (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.
 
===Mechanika Newtona===
Linia 206:
 
====Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości====
Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu {{LinkWzór|2.42s}} przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da1|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}} oraz [[Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni#Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości|(Twierdzenie-2.1)]], jako:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0 v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\;</MATH><BR><MATH>=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}-v^{\mu}{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}\right)dV=\rho_0\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\left(v^iv^{\mu}\right)_{,i}-{v^i}_{,i}u^{\mu}\right)dV+
\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}-v^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}dV=\;</MATH><BR><MATH>=
Linia 216:
 
====Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich====
Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru {{LinkWzór|2.42s}}, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według {{LinkWzór|1.110|Szczególna teoria względności/WstępDynamika doruchu szczególnej teorii względnościciał}}, a więc:
{{IndexWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.43s}}
Napiszmy z definicji delty Diraca:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Szczególna_teoria_względności/Tensory_w_czasoprzestrzeni”