Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
Będziemy się tutaj zajmować funkcjami, którego argumenty mają wartości zespolone, a wartością tejże opisywanej funkcji jest wartość należącej do zbioru liczb zespolonych.
==Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych==
{{IndexGrafikaRysunek|Zbior_R_zbior_C.png|wp2r|Płaszczyzna zespolona}}
Wprowadźmy jednostkę liczb urojoną "i", którego kwadrat jest równy minus jeden, zatem każdą liczbę zespoloną piszemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z=\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z)=x+i y\;</MATH>|8.1}}
Część rzeczywista liczby zespolonej zapisanej wzorem {{LinkWzór|8.1}} oznaczamy symbolem Re(z), a część urojoną symbolem Im(z).
==Płaszczyzna zespolona==
Linia 11:
==Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej==
===Przestawienie trygonometryczne===
{{IndexGrafikaRysunek|Complejog1.png|wp2r1|Postać trygonometryczna liczby zespolonej}}
Jeśli oś iksowa jest osią części rzeczywistej liczby zespolonej w przedstawieniu {{linkWzór|8.1}}, a część igrekowa jest osią części urojonej wspomnianego przestawienia liczby zespolonej, co jest napisane według rysunku obok, liczbą zespoloną w przestawieniu zespolonej nazywamy przestawienie:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z=\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\;</MATH>|8.2}}
*Gdzie modułem &rho; liczby zespolonej nazywamy przestawienie zapisane przy pomocy części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}\;</MATH>|8.3}}
 
===Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej===
Przestawieniem eksponencjalne liczby zespolonej nazywamy przestawienie w postaci wzoru:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>z=\rho e^{i\phi}\;</MATH>|8.4}}
*gdzie kąt &phi; jest to ten sam kąt napisaną w przestawieniu trygonometrycznym we wzorze {{LinkWzór|8.2}}.
Aby wyznaczyć równoważność między oba przestawieniami liczby zespolonej, tzn. między {{linkWzór|8.2}} i {{LinkWzór|8.4}} należy wyznaczyć wyrażenie poniżej, korzystając przestawienia funkcji kosinus i sinus w jego przedstawieniu według Taylora, wtedy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\cos\phi+i\sin\phi=\left(1-{{\phi^2}\over{2!}}+{{\phi^4}\over{4!}}-...\right)+i\left(\phi-{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^5}\over{5!}}+...\right)=
1+i\phi-{{\phi^2}\over{2!}}-i{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^4}\over{4!}}+i{{\phi^5}\over{5!}}+...=\;</MATH><BR><MATH>=1+(i\phi)+{{(i\phi)^2}\over{2!}}+{{(i\phi)^3}\over{3!}}+{{(i\phi)^4}\over{4!}}+{{(i\phi)^5}\over{5!}}+...=e^{i\phi}\;</MATH>|8.5}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.5}} wykazaliśmy równoważność wzorów {{LinkWzór|8.4}} i {{LinkWzór|8.2}}.
Linia 28:
==Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne==
Jeśli funkcję zespoloną przestawimy jako funkcję jednej zmiennej zespolonej, czyli jako funkcje dwóch zmiennych rzeczywistych, wtedy z twierdzenia o różniczce zupełnej dla liczby zespolonej różniczkę funkcji f możemy napisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial x}}dx+{{\partial f}\over{\partial y}}dy\;</MATH>|8.6}}
Wzór {{LinkWzór|8.6}} możemy zapisać w sposób równoważny (ale jego równoważność udowodnimy później) wedle sposobu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>df={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx+idy\right)+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx-idy\right)\;</MATH>|8.7}}
Aby przeprowadzić równoważność pomiędzy przestawieniami tej samej różniczki df, czyli wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}} przy pomocy rozpisywania jej na części rzeczywistą i urojonej, co wynika z przestawienia liczby zespolonej {{LinkWzór|8.1}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>df=\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dx+i\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]-{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dy
={{\partial f}\over{\partial x}}dx+{{\partial f}\over{\partial y}}dy</MATH>|8.8}}
Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.8}} równoważność wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}}, co było nam do udowodnienia.
Linia 38:
Policzmy teraz dla funkcji zespolonej pochodną funkcją f względem liczby z, a także pochodną tej samej funkcji co poprzednio, ale względem liczby zespolonej sprzężonej do niego, co matematycznie te dwie pochodne piszemy:
{{ElastycznyWiersz
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial z}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.9}}
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.10}}
}}
Wprowadzając oznaczenia {{linkWzór|8.9}} i {{LinkWzór|8.10}} do wzoru {{LinkWzór|8.7}}, wtedy on przechodzi w:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial z}}dz+{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}d\overline{z}\;</MATH>|8.11}}
'''Funkcją holomorficzną ''' nazywamy funkcję, która jest pochodną funkcji f względem {{Formuła|<MATH>\overline{z}\;</MATH>}}, czyli wyrażenie {{LinkWzór|8.10}} jest równe zero. Przestawmy funkcję zespoloną f(z) w postaci zespolonej przy pomocy funkcji u(x,y), która jest częścią rzeczywistą wspomnianej funkcji zespolonej, a także funkcji v(x,y), która jest częścią urojoną funkcji zespolonej, zatem tą naszą funkcję przestawiamy na podstawie {{LinkWzór|8.1}} w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\;</MATH>|8.12}}
Pochodną cząstkową {{LinkWzór|8.10}} piszemy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|8.12}} wedle sposobu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[\left({{\partial u}\over{\partial x}}+i{{\partial v}\over{\partial x}}\right)+i\left({{\partial u}\over{\partial y}}+i{{\partial v}\over{\partial y}}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[{{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}+i\left({{\partial v}\over{\partial x}}+{{\partial u}\over{\partial y}}\right)\right]\;</MATH>|8.13}}
Aby funkcja f była funkcją holomorficzną, to na podstawie wzoru końcowego {{LinkWzór|8.13}} muszą być spełnione związki:
{{ElastycznyWiersz
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial x}}={{\partial v}\over{\partial y}}\;</MATH>|8.14}}
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial y}}=-{{\partial v}\over{\partial x}}\;</MATH>|8.15}}
}}
 
==Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych==
Całkowanie funkcji {{linkWzór|8.12}} po konturze w przestrzeni zespolonej nazywamy całkowaniem, które zapisujemy wedle wzoru:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\int_Cf(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\int_C\left(udx-vdy\right)+i\int_C\left(vdx+udy\right)\;</MATH>|8.16}}
Jesli wykorzystamy twierdzenie Greena znanej z analizy matematycznej, otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\int_C f(x,y)dx+g(x,y)dy=\int_S\left({{\partial g}\over{\partial x}}-{{\partial f}\over{\partial y}}\right)dxdy\;</MATH>|8.17}}
Całkę {{LinkWzór|8.12}}, korzystając przy tym z twierdzenia całki okrężnej funkcji Greena, zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint_Cf(z)dz=\int_S\left(-{{\partial u}\over{\partial y}}-{{\partial v}\over{\partial x}}\right)dxdy+i\int_S\left({{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}\right)dxdy\;</MATH>|8.18}}
Dla funkcji holomorficznej całka okrężna {{LinkWzór|8.18}}, a stąd również {{linkWzór|8.16}}, czyli na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}, przyjmuje wartość zero.
 
==Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego==
Jest to całka funkcji zapisanej w przestrzeni zespolonej, którą możemy okreslić w następujący sposób:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint {{f(t)}\over{t-z}}dt\;</MATH>|8.19}}
Całkowanie występujące we wzorze {{LinkWzór|8.19}} możemy tak przekształcić, by po dokonaniu do niego podstawienia {{Formuła|<MATH>t-z=re^{i\phi}\;</MATH>}}, stąd możemy napisać wzór na dt, czyli {{Formuła|<MATH>dt=ire^{i\phi}dt\;</MATH>}}, by otrzymać w ostateczności przekształcone wyrażenie całkowe:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint{{f(t)}\over{t-z}}dt=\oint{{f(z+re^{i\phi})}\over{re^{i\phi}}}ire^{i\phi}d\phi=i\oint f(z+re^{\phi})d\phi\;</MATH>|8.20}}
Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalający wspomniany punkt osobliwy dążył do zera, zatem całkę {{LinkWzór|8.18}} piszemy wedle:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>i\oint f(z+re^{\phi})d\phi=i\int_0^{2\pi} f(z_0)d\phi=if(z_0)\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi i f(z_0)\;</MATH>|8.21}}
Na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.21}}, {{LinkWzór|8.20}} dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór {{linkWzór|8.19}}.
 
==Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu==
Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z<sub>0</sub>), zatem na tej podstawie nasz szereg:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\;</MATH>|8.22}}
Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z<sub>0</sub>, dokonując podstawienia {{Formuła|<MATH>z-z_0=re^{i\phi}\;</MATH>}}, otrzymujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint(z-z_0)^kdz=\oint r^ke^{ik\phi}ire^{i\phi}d\phi=ir^{k+1}\int_0^{2pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi\;</MATH>|8.23}}
We wzorze {{LinkWzór|8.23}}, gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2&pi;i;, ale gdy k&ne;-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór jest równoważny całce:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>ir^{k+1}\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}e^{i(k+1)\phi}\Bigg|_0^{2\pi}=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}\left(e^{i(k+1)2\pi}-1\right)=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}(1-1)=0\;</MATH>|8.24}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|8.24}} i dla k=-1 dochodzimy do wniosku, że dla poszczególnych k, mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint_C(z-z_0)^kdz=\begin{cases}
0&\mbox{ dla } k\neq -1\\
2\pi i&\mbox{ dla } k=-1\\
\end{cases}\;</MATH>|8.25}}
Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, zatem wyznaczmy teraz ten pierwszy czynnik, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równe zero, tzn. oprócz s=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, zatem końcowa całka jest już poznana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.17}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)=
{{1}\over{2\pi i}}a_{-n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2\pi i}}a_{-n}2\pi i=a_{-n}\;</MATH>|8.26}}
Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników b<sub>n</sub>, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równa zero, tzn. oprócz l=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, to końcowa całka jest już znana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.19}}, wtedy możemy napisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint{{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}={{1}\over{2\pi i}}\oint{{1}\over{(z-z_0)^{m+1}}}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)=
{{1}\over{2\pi i}}b_{n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2\pi i}}b_{n}2\pi i=b_{n}\;</MATH>|8.27}}
Na podstawie końcowych obliczeń współczynniki szeregu Laurenta {{LinkWzór|8.22}} w przeprowadzonych obliczeniach, w celu ich wyznaczenia w punktach {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}, są równe:
{{ElastycznyWiersz
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{-n}={{1}\over{2\pi i}}\oint_C(z-z_0)^{n-1}f(z)dz\;</MATH>|8.28|Obramuj}}
|{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>b_m={{1}\over{2\pi i}}\oint_C {{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}dz\;</MATH>|8.29|Obramuj}}
}}
 
==Zastosowanie definicji residuum funkcji==
Przeprowadźmy całkowanie funkcji zespolonej w przestrzeni zespolonej po linii zamkniętej, wtedy ta funkcja podcałkowa, jeśli ją przestawimy szeregiem Laurenta, to wszystkie całki wyrazów oprócz wyrazu z czynnikiem a<sub>-1</sub> znikają, czyli są równe zero, zatem zostaje tylko wyraz ze wspomnianym czynnikiem. Jeśli funkcja podcałkowa f(z) ma kilka residuów, to szereg Laurenta jest sumą szeregów Laurenta dla różnych x<sub>0</sub>, czyli {{LinkWzór|8.22}}, zatem dochodzimy do wniosku z właściwości {{LinkWzór|8.25}}, że jeśli gdy ma jedno residuum, to wtedy
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint f(z)=2\pi i \operatorname{Res} f(z_0)\;</MATH>|8.30}}
A dla kilku residuum, tzn. funkcja f(z) ma kilka osobliwych punktów, to z własności funkcji Laurenta dla kilku punktów osobliwych mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_j \operatorname{Res} f(z_j)\;</MATH>|8.31}}
 
==Wyznaczanie residuum funkcji==
Niech szereg Laurenta {{LinkWzór|8.22}} posiada wyraz, który to w mianowniku (z-z<sub>j</sub>) wykładnik potęgi ma nawiększą wartość w porównaniu z wykładnikami potęgi w mianowniku z innymi wyrazami należącego do tego szeregu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>f(z)={{a_{-m}}\over{(z-z_j)^m}}+{{a_{-m+1}}\over{(z-z_j)^{m-1}}}+...</MATH>|8.32}}
Wtedy residuum funkcji {{LinkWzór|8.32}} wyznaczamy przy pomocy wzoru poniżej, przy punkcie osobliwym z<sub>j</sub>.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\operatorname{Res} f(z_j)={{1}\over{(m-1)!}}\lim_{z\rightarrow z_j}\left[(z-z_j)^mf(z)\right]^{(m-1)}\;</MATH>|8.33}}
Zaraz wytłumaczymy wzór {{LinkWzór|8.33}}, zatem do dzieła. Szereg {{LinkWzór|8.32}} mnożymy obustronnie przez (z-z<sub>j</sub>)<sup>m</sup>, w ten sposób likwidujemy wszystkie wyrazy ujemne z-z<sub>j</sub>. Przy czynniku a<sub>-1</sub> pojawi się potęga (z-z<sub>j</sub>)<sup>m-1</sup>. Tak otrzymany szereg różniczkujemy m-1 razy likwidując tym samym współczynnik a<sub>-n</sub> z wyjatkiem a<sub>-1</sub>, aby wyszedł czynnik a<sub>-1</sub> należy tak otrzymane wyrażenie podzielić przez (m-1)!. Na samym końcu przechodzimy do granicy przy <MATH>_{z\rightarrow z_j}\;</MATH>, by potem otrzymać wzór {{linkWzór|8.33}}. Co kończy dowód tego twierdzenia.
 
==Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych==
Niech mamy dwa wektory określone jako pochodne wektorów wodzących w kartezjańskim układzie współrzędnym, które określamy jako pochodną cząstkową z tych wektorów względem pewnych parametrów charakteryzujących te nasze omawiane wektory.
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{T}_1={{\partial\vec{r}_1}\over{\partial s_1}}\;</MATH>|8.34}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{T}_2={{\partial\vec{r}_2}\over{\partial s_2}}\;</MATH>|8.35}}}}
Kat między wektorami {{LinkWzór|8.34}} a {{LinkWzór|8.35}} określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{T}_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{T}_2\;</MATH>}} i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kąta pomiędzy naszymi omawianymi wektorami.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\cos\alpha={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}\;</MATH>|8.36}}
Określmy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji {{LinkWzór|8.16}} względem zmiennych x i y, zatem tą macierz określamy wedle sposobu poniżej, przekształcimy tą macierz z warunku na holomorficzność funkcji {{LinkWzór|8.12}}, czyli ze wzoru określająca tą właściwość funkcji, tj. {{linkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>F=\begin{bmatrix}
{{\partial u}\over{\partial x}}&{{\partial u}\over{\partial y}}\\
{{\partial v}\over{\partial x}}&{{\partial v}\over{\partial y}}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
Linia 121:
-{{\partial u}\over{\partial y}}&{{\partial u}\over{\partial x}}\end{bmatrix}\;</MATH>|8.37}}
Okreslmy teraz wektor {{Formuła|<MATH>\vec{Y}\;</MATH>}} w nowych zmiennych (u, v) określany podobnie jak w punkcie dla wektora {{Formuła|<MATH>\vec {r}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2\;</MATH>}}, czyli przy pomocy {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{Y}={{d\vec{w}}\over{\partial s}}={{\partial(u,v)}\over{\partial (x,y)}}{{d(x,y)}\over{ds}}=F^'\vec{T}\;</MATH>|8.38}}
Kąt pomiędzy dwoma różnymi wektorami {{linkWzór|8.38}} wyznaczamy z definicji iloczynu skalarnego dla przestrzeni euklidesowej przestawionej w postaci macierzowej znanej z algebry, zatem jak się przekonamy, że porównując kąty pomiędzy wektorami określanymi według wzoru {{LinkWzór|8.36}}, a kątem pomiędzy wektorami {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}, to jak się przekonamy są kątami sobie równymi.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\cos\beta={{(F^'\vec{T}_1,F^'\vec{T}_2)}\over{||F^'\vec{T}_1|| ||F^'\vec{T}_2||}}={{\vec{T}_1^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}}\over{|\vec{T}_1^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}_1||\vec{T}_2^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}_2|}}={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}=\cos\alpha\;</MATH>|8.39}}
<noinclude>{{kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Wprowadzenie_do_funkcji_zespolonej”