Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 25:
Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y<sub>o</sub> i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y<sub>0</sub> niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y<sub>o</sub>+δy Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie δy(a)=δy(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje δy' i δy są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y<sup>'</sup>(x)| i |y<sub>0</sub>(x)|, co matematycznie piszemy je dla x∈(a,b) równaniami:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\delta y^'(x)|<<|y^'(x)|\;</MATH>|17.9}}}}
Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem
{{CentrujWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}
Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego:
|