Topologia ogólna/Przestrzenie metryczne

Przestrzenie metryczne

edytuj

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

Przestrzeń metryczna

edytuj

Definicja

edytuj

Odległością (lub: metryką) na zbiorze   nazywamy każdą funkcję   spełniającą poniższe warunki:

  1.  
  2.  
  3.  

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż  . Gdyby bowiem istniały   takie, że  , to byłoby:  , co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną  , gdzie   jest dowolnym zbiorem, zaś   jest metryką na zbiorze  .

  • Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli   jest metryką na   oraz  , to   jest metryką na zbiorze   (gdzie   oznacza obcięcie funkcji   do zbioru  ).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej   wyznaczaną przez zbiór   nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń  .

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną   oznaczać będziemy po prostu przez  , o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

Przykłady

edytuj
  1. Przestrzenią metryczną jest  , gdzie   dla dowolnych  , zaś   oznacza wartość bezwzględną z  . Istotnie, dla każdych  :
    •  
    •  
    •  .
  2. Rozważmy iloczyn kartezjański   kopii prostej rzeczywistej:  . Dla dowolnych   definiujemy  . W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja   jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla   jest to metryka z przykładu 1., gdyż  .
  3. W   możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę   zadaną wzorem:  . Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję   określoną  .
  4. Niech   będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję   określoną   dla dowolnych  . Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
  5. Rozważmy zbiór   funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym  , o wartościach rzeczywistych. Dla   definiujemy:  . Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Definicje

edytuj

Niech będą dane przestrzeń metryczna  ,   i  .

Kulą otwartą w przestrzeni   o środku   i promieniu   nazywamy zbiór  .

Kulą domkniętą w przestrzeni   o środku   i promieniu   nazywamy zbiór  .

Przykłady

edytuj
  1. W   z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W   kulą otwartą jest koło, zaś w   odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
  2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej  :  .
  3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w   z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):
 
  • Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w   i   z metryką maksimum.
  • Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

edytuj

Definicja

edytuj

Niech   będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś   dowolnym ciągiem elementów zbioru  .

Mówimy, że ciąg   jest zbieżny do granicy   (co zapisujemy symbolicznie   lub   ), o ile  .

Własności

edytuj
  1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg   zbiega w   do granicy   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   istnieje   takie, że dla   mamy:  .
  2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w   są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli   o środku w   istniało   takie, że dla    .


Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
Ćwiczenie: Wykazać, że   wtedy i tylko wtedy, gdy   (tzn. gdy ciąg odległości   od   zbiega do   w  ).

Przykłady

edytuj
  1. Jeśli   jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie  , że dla każdego   zachodzi  ).
  2. Niech   będzie ciągiem w   z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego   oznaczenie:  . Pokażemy, że   jest granicą ciągu   dokładnie wtedy, gdy dla każdego   zachodzi:  , gdzie zbieżność ciągów   rozważamy w   z metryką euklidesową.
    Dowód:
    [ ] Przypuśćmy, że dla pewnego    , to znaczy  .
    Zauważmy, że:  .
    Zatem:  , czyli  
    [ ] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego    . Weźmy dowolny  . Dla każdego   istnieje   takie, że  . Niech  . Wówczas:  . Wobec dowolności   wykazaliśmy, że  . 

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

edytuj

Definicje

edytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną, zaś  .

Mówimy, że   jest:

  • Punktem wewnętrznym zbioru  , o ile  ;
  • Punktem skupienia zbioru  , o ile  ;
  • Punktem izolowanym zbioru  , o ile   i   nie jest punktem skupienia  .

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru   są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru   nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru   nazywamy pochodną zbioru   i oznaczamy  .

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru   nazywamy wnętrzem   i oznaczamy  .

Domknięciem zbioru   nazywamy zbiór  .

Własności

edytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną oraz  .

  1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie:   jest punktem skupienia  , jeżeli  .
  2. Punkt   jest zatem punktem izolowanym zbioru  , o ile  .
  3. Fakt, że   jest punktem skupienia   możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie:   jest punktem skupienia zbioru   dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg   (tzn. ciąg elementów   różnych od  ) taki, że  .
    Dowód:
    [ ]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny  . Wówczas istnieje   takie, że dla    . Ponieważ  , to  .
    [ ]Załóżmy teraz, że   jest punktem skupienia  . Zdefiniujmy ciąg  . Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg   taki, że  . Nietrudno zauważyć, że  .  
  4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru   jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w   o wyrazach ze zbioru  . Istotnie, jeśli  , to   i jest granicą ciągu stałego  , lub też   i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów   zbieżny do  .

Przykłady

edytuj
  1. Rozważmy zbiór  .  ,  ,  , zaś jedynym punktem izolowanym w   jest  .
  2. Rozważmy podprzestrzeń   wyznaczaną przez zbiór   z powyższego przykładu. W tej przestrzeni  , , zaś   jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku   jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
  3. Jeśli   jest przestrzenią metryczną, to  .
  4. Rozważmy zbiór   jako podzbiór   z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że  ,  .
  5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej   dla każdego   mamy:  , zaś   (tzn. każdy punkt   jest izolowany).

Zbiory otwarte i domknięte

edytuj

Definicje

edytuj

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej   nazywamy każdy taki zbiór  , że  .

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej   nazywamy każdy taki zbiór  , że  .

Własności

edytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną oraz  .

  1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór   jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
  2. Zbiór   jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu   zbieżnego w   zachodzi:  .
    Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru   jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z  .
  3.   jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy   jest otwarty.
    Dowód:
    [ ] Załóżmy, że   jest otwarty. Weźmy dowolny  . Stąd:  , zatem nie jest prawdą, że  , co oznacza, że  . Zatem:  .
    [ ] Załóżmy teraz, że   jest domknięty. Weźmy dowolny  . Przypuśćmy, że   nie jest punktem wewnętrznym  . Zatem: dla każdego   istnieje   taki, że  , tzn.  . Wobec tego (ponieważ  )  . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem  . Zatem każdy   musi być punktem wewnętrznym  , czyli  .  
  4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
    Niech   oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej  . Wykażemy, że:
    1.  
    2.  
    3.  .
    Dowód:
    [1.] Oczywiste.
    [2.] Jeśli  , to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech  . Ponieważ każdy ze zbiorów   jest otwarty, to istnieją   takie, że dla każdego    . Niech  . Wówczas  , czyli  . Wobec dowolności   teza jest udowodniona.
    [3.] Możemy założyć, że  . Niech  . Wtedy istnieje   taki, że  .   jest otwarty, więc istnieje   takie, że  . Zatem  . Wobec dowolności   teza jest udowodniona.  
  5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.
    Dowód:
    Niech   będzie zbiorem otwartym. Dla każdego   istnieje   takie, że  . Zauważmy, że istnieje   takie, że  . Mamy zatem dla każdego  :  . Wobec tego:  . Ale również  . Dowód jest zakończony.  

Przykłady

edytuj
  1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
    Dowód:
    Niech   będzie kulą otwartą w przestrzeni   o środku   i promieniu  . Weźmy dowolny  . Niech  . Pokażemy, że  . Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego   mamy:  . Zatem  . 
  2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
  3. W każdej przestrzeni metrycznej   zbiory   i   są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W   z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w   traktowanym jako podprzestrzeń   otwarto-domknięty jest zbiór  . Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.
  4. Zbiór   nie jest ani otwarty, ani domknięty.

Funkcje ciągłe

edytuj

Definicje

edytuj

Funkcją ciągłą w punkcie   z przestrzeni metrycznej   do przestrzeni mestrycznej   nazywamy każdą funkcję   taką, że:  .

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej   do przestrzeni metrycznej   nazywamy funkcję   ciągłą w każdym punkcie  .

Własności

edytuj

Niech   będą przestrzeniami metrycznymi.

  1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji   w punkcie   możemy zapisać:  , czy też krócej:   (gdzie   oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach  ).
  2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja   jest ciągła w punkcie   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu   zbieżnego w   do   zachodzi:  .
    Dowód:
    [ ] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że   nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki  , że dla każdej   istnieje   takie, że   oraz  . Wobec tego możemy wybrać ciąg   taki, że dla każdego  :   oraz  . Zauważmy, że  , ale  . Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem   musi być ciągła.
    [ ] Załóżmy teraz, że   jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg   taki, że  . Pokażemy, że  . Niech   będzie dowolne. Z ciągłości   istnieje   taka, że dla dowolnego   jeśli  , to  . Ponieważ  , to istnieje   takie, że   dla wszystkich  . Stąd   dla  . Wobec dowolności   teza jest udowodniona.  
  3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
    Funkcja   jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru   otwartego w  , jego przeciwobraz   jest zbiorem otwartym w  .
    Dowód:
    [ ] Niech funkcja   spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne  . Pokażemy, że   jest ciągła w punkcie  , co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość  . Ustalmy  . Niech  . Z początkowego założenia wynika, że   jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto  , bo  . Z otwartości   wynika, że istnieje   taka, że  . Zauważmy, że jeśli  , to  , zatem  . Z dowolności     jest ciągła w  .
    [ ] Niech   będzie zbiorem otwartym w  . Weźmy dowolny punkt  . Ponieważ   i   jest otwarty, istnieje   taki, że  . Z ciągłości   wynika, że istnieje   taka, że jeśli  , to  . Zatem   dla każdego  , czyli  .   jest zatem punktem wewnętrznym  , co z dowolności jego wyboru oznacza, że   jest otwarty w  .  

Przykłady

edytuj
  1. Niech   będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś   dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja   jest ciągła.
  2. W dowolnej przestrzeni metrycznej   funkcja identycznościowa   jest ciągła.
  3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej   i punktu   ciągła jest funkcja  , jeżeli w   przyjmiemy metrykę euklidesową.
  4. Jeśli   jest punktem izolowanym przestrzeni  ,   jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja   jest ciągła w punkcie  .
  5. W   z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
    •  ,
    •  ,
    •  .
  • Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.


>> Zadania