Wikipedysta:Persino/Mechanika relatywistyczna

Spis treści
1Zasada najmniejszego działania 2Energia i pęd 3Przekształcenie rozkładu funkcji prawdopodobieństwa 4Moment pędu

Zasada najmniejszego działania

Całką najmniejszego działania nazywamy całkę określoną wzorem poniżej, która jest zależna tylko od wartości prędkości cząstki:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}dt\;$

(1)

Lagrangianem występującej w powyższym wzorze określamy przy pomocy zmiennej, która jest prędkością cząstki, a także przy pomocy masy spoczynkowej cząstki m₀:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(2)

Możemy rozwinąć w szereg Tayllora z dokładnością do zmiennej kwadratowy, gdy prędkość cząstki jest o wiele mniejsza od prędkości światła wedle sposobu:

$L\simeq -m_{0}c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=-m_{0}c^{2}+{{m_{0}v^{2}} \over {2}}\;$

(3)

Widzimy, że ona jest zależna od wartości prędkości i jest ona z dokładnością do stałej równa energii kinetycznej cząstki znanej z mechaniki klasycznej Newtona.

Energia i pęd

Pędem cząstki nazywamy pochodną cząstkową lagrangianu (2) względem wektora prędkości cząstki, czyli wedle wzoru:

${\vec {p}}={{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(4)

Wzory, w której prędkości cząstki się nie zmieniają co do modułu, lub gdy kierunek prędkości cząstki się nie zmieni, co w obu przypadkach siła jest wprost proporcjonalna do przyspieszenia cząstki.

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}{{d{\vec {v}}} \over {dt}}\;$ (5)

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{m_{0}} \over {({1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}})^{{3} \over {2}}}{{d{\vec {v}}} \over {dt}}\;$ (6)

Energią pędu definiujemy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy energię cząstki, zatem w takim razie otrzymujemy wzór:

$E={\vec {p}}{\vec {v}}-L={{m_{0}v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\left(v^{2}+c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\right)={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}$

(7)

We wzorze (7), została wyprowadzona w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 3.3), ale gdy natomiast gdy prędkość cząstki jest równa zero, to cząstka również ma energię zwaną energią spoczynkową, którą podamy we wzorze poniżej:

$E=m_{0}c^{2}\;$

(8)

Całkowitą energią relatywistyczną cząstki możemy rozłożyć w szereg Tayllora, co piszemy:

$E={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq m_{0}c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=m_{0}c^{2}+{{m_{0}v^{2}} \over {2}}\;$

(9)

Widzimy, że według wzoru napisanego w punkcie (9) energia cząstki jest sumą energii spoczynkowej cząstki i jej energii kinetycznej. Patrząc na wzór na pęd cząstki (4) i na wzór na energię całkowitą cząstki (7), zatem pęd cząstki wyrażamy wzorem w zależności od energii całkowitej cząstki i jego wektora, którą to wielkość wektora pędu w zależności od energii i prędkości cząstki piszemy wzorem:

${\vec {p}}={{E{\vec {v}}} \over {c^{2}}}\;$

(10)

Z pooglądajmy sobie teraz na całkę działania (1), którą można tez napisać spoglądając jeszcze na wzór na długość linii światła wedle (Niedopasowany uchwyt: 1.69), zatem tą naszą całkę działania piszemy wedle wzoru:

$S=\int _{a}^{b}ds\;$

(11)

Wtedy możemy napisać wzór na wariację całki działania (11), które to działania piszemy wedle (Niedopasowany uchwyt: 2.6), zatem na podstawie tego piszemy wykorzystując przy tym całkowanie przez części poniższej całki, zatem:

$\delta S=-m_{0}c\int _{a}^{b}\delta ds=-m_{0}c\int _{a}^{b}{{dx_{\alpha }\delta dx^{\alpha }} \over {ds}}=-m_{0}c\int _{a}^{b}u_{\alpha }d\delta x^{\alpha }=\;$
$=-m_{0}cu_{\alpha }\delta x^{\alpha }{\Bigg |}_{a}^{b}+m_{0}c\int _{a}^{b}\delta x^{\alpha }{{du^{\alpha }} \over {ds}}ds\;$

(12)

Ponieważ jest spełniona zasada najmniejszego działania, to pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie (12) znika na podstawie, że wariacja funkcji x^α w punktach zmiennej x^{α=a i xα=b jest równa zero, zatem jeśli założymy, że wariacja funkcji S jest zawsze równa zero, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna elementu czterowektora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego jest równa zero, zatem dla cząstki swobodnej czteropredkość jest wielkością niezmienną. Mając wzór na czteropęd, którą napisaliśmy w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 2.11), wtedy transformacja pędów przestrzennych i energii cząstki z jednego układu do drugiego korzystając z transformacji współrzędnych z jednego układu współrzędnych do drugiego piszemy wedle wzorów:}

$p_{x}^{'}=\gamma \left(p_{x}-\beta {{E} \over {c}}\right)={{p_{x}-{{V} \over {c^{2}}}E} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (13)

${{E^{'}} \over {c}}=\gamma \left({{E} \over {c}}+\beta p_{x}\right)\Rightarrow E^{'}={{E-Vp_{x}^{'}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ (14)

Aby wykorzystać relatywistyczne równanie Hamiltona-Jacobiego (Niedopasowany uchwyt: 7.66) dla hamiltonianu cząstki swobodnej , którego pierwszym argumentem są współrzędne uogólnionych położeń, a drugie współrzędne uogólnionego pędu zdefiniowanego w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 7.64) (przy czym tutaj S nie jest całką działania dla naszego niżej rozważanego równania), zatem to nasze równanie jest napisane równością:

${{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial S} \over {\partial t}}\right)^{2}-\left({{\partial S} \over {\partial x}}\right)^{2}-\left({{\partial L} \over {\partial y}}\right)^{2}-\left({{\partial S} \over {\partial z}}\right)^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(15)

Jeśli napiszemy wzór na S w zależności od S', który to przestawiamy równaniem:

$S=S^{'}-m_{0}c^{2}t\;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.16)

Po podstawieniu (Niedopasowany uchwyt: 5.16) do (15), wtedy dostajemy równanie:

${{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial S^{'}} \over {\partial t}}-m_{0}c^{2}\right)^{2}-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial x}}\right)^{2}-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial y}}\right)^{2}-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial z}}\right)^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{1} \over {c^{2}}}\left[\left({{\partial S^{'}} \over {\partial t}}\right)^{2}+m_{0}^{2}c^{4}-2m_{0}c^{2}{{\partial S^{'}} \over {\partial t}}\right]-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial x}}\right)^{2}-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial y}}\right)^{2}-\left({{\partial S^{'}} \over {\partial z}}\right)^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow {{1} \over {2m_{0}c^{2}}}\left({{\partial S} \over {\partial t}}\right)^{2}-{{\partial S^{'}} \over {\partial t}}-{{1} \over {2m_{0}}}\left[\left({{\partial S^{'}} \over {\partial x}}\right)^{2}+\left({{\partial S^{'}} \over {\partial y}}\right)^{2}+\left({{\partial S^{'}} \over {\partial z}}\right)^{2}\right]=0$

(Niedopasowany uchwyt: 5.16)

Gdy prędkość światła dąży do nieskończoności, to wtedy równanie (Niedopasowany uchwyt: 5.16) przechodzi w równość Hamiltona-Jacobiego dla układu opisywanego przez hamiltonian klasyczny.

Przekształcenie rozkładu funkcji prawdopodobieństwa

Wyliczmy czemu jest równa infinitezymalna objętość w nowym układzie odniesienia względem objętości w starym układzie odniesienia oraz korzystając z definicji transformacji pędów ze starego układu do nowego, które ta wspomniana objetość przestawiamy wzorem:

$dp_{x}dp_{y}dp_{z}=|J|dp_{x}^{'}dp_{y}^{'}dp_{z}^{'}=\gamma dp_{x}^{'}dp_{y}^{'}dp_{z}^{'}\Rightarrow dpxdp_{y}dp_{z}={{E} \over {m_{0}c^{2}}}dp_{x}^{'}dp_{y}^{'}dp_{z}^{'}\Rightarrow$
$\Rightarrow {{dp_{x}dp_{y}dp_{z}} \over {E}}={{dp_{x}^{'}dp^{'}dp_{z}} \over {m_{0}c^{2}}}\;$

(18)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (18), dochodzimy do wniosku, że wielkość:

${{dp_{x}dp_{y}dp_{z}} \over {E}}\;$

(19)

jest wielkością niezmienniczą, że względu na wybór układu współrzędnych, w których to liczymy naszą powyższe wyrażenie. Prawdopodobieństwo infinitezymalne, że układ będzie posiadał dany pęd jest określany wzorem:

$f({\vec {p}})dp_{x}dp_{y}dp_{z}=f({\vec {p}})E{{dp_{x}dp_{y}dp_{z}} \over {E}}\;$

(20)

Na podstawie tego, że wielkość (19) jest niezmiennicza, to wtedy zachodzi transformacja gęstości prawdopodobieństwa, że cząstka posiada pęd ${\vec {p}}\;$, zatem w takim przypadku możemy powiedzieć:

$f^{'}({\vec {p}})={{f({\vec {p}})E} \over {E^{'}}}\;$

(21)

Objętości w układzie według wzoru (Niedopasowany uchwyt: 4.6) transformują się według schematów:

$dV=dV_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=dV_{0}{{m_{0}c^{2}} \over {E}}\;$ (22)

$dV^{'}=dV_{0}{\sqrt {1-{{v'^{2}} \over {c^{2}}}}}=dV_{0}{{m_{0}c^{2}} \over {E^{'}}}\;$ (23)

Jeśli podzielimy obie strony wzorów (22) przez (23) przez siebie, wtedy otrzymamy wzór:

${{dV} \over {dV^{'}}}={{E^{'}} \over {E}}\;$

(24)

Obliczmy infinitezymalną objętość dτ w rozważanej przestrzeni fazowej, korzystając przy tym ze wzoru (24) i na niezmiennoczość wyrażanie (19) wedle schematu poniżej:

$d\nu =dp_{x}^{'}dp_{y}^{'}dp_{z}^{'}dV'=E^{'}{{dp_{x}dp_{y}dp_{z}dV} \over {E}}{{E} \over {E^{'}}}=dp_{x}dp_{y}dp_{z}\;$

(25)

Obliczenia (25) wskazują na to, że infinitezymalne prawdopodobieństwo jest wielkością niezmienniczą, a także objętość infinitezymalna w przestrzeni fazowej (przestrzeń pędów i położeń) jest wielkością nieimienniczą, stąd dochodzimy do wniosku, że gęstość, że cząstka posiada pęd ${\vec {p}}\;$ i położenie ${\vec {r}}\;$, którą posiada dana cząstka jest określana przez wzór poniżej i która też jest wielkością niezmienniczą:

$f^{'}({\vec {r}}^{'},{\vec {p}}^{'})=f({\vec {r}},{\vec {p}})\;$

(26)

Moment pędu

Teraz rozważmy nieskończenie mały obrót cząstki, tak by otrzymać nowe współrzędne kontrawariantne, zatem nasz wzór opisujący nasze przekształcenie piszemy w postaci tensorowej:

$x^{'i}-x^{i}=x_{k}\delta \Omega ^{ik}\;$

(27)

Obrót o pewien kąt spełnia własność taką , że długość przetransformowanych wektorów nie zmieniają swej długości podczas tego przekształcenia tutaj rozważanego, i biorąc na uwadze, że x^'i od x^{i praktycznie niczym się nie różnią, zatem na podstawie tych rozważań możemy napisać tożsamość:}

$x^{'i}x_{i}-x^{i}x_{i}=x_{k}x_{j}\delta \Omega ^{ik}\Rightarrow x^{i}x^{k}\delta \Omega _{ik}=0\;$

(28)

Końcowa równość (28) spełniona jest przy dowolnych xⁱ, ale wiedząc, że tensor xⁱx^k jest tensorem symetrycznym, ale ponieważ iloczyn tensora symetrycznego z tensorem antysymetrycznym Ω_ik jest równe zero, zatem na podstawie tego możemy porysować:

$\delta \Omega _{ik}=-\delta \Omega _{ki}\;$

(29)

Patrząc na tą cześć wariacji pewnego funkcjonału (12), czyli na pierwszy jego wyraz, którego to wariacja jest równa zero, zatem na tej podstawie możemy powiedzieć:

$\delta S=-\sum p^{i}\delta x_{i}{\Bigg |}_{a}^{b}=0\;$

(30)

Patrząc na wzór (Niedopasowany uchwyt: 5.59), wtedy możemy powiedzie $\delta x_{i}=\delta \Omega _{ik}x^{k}\;$, zatem podstawiając ten wniosek do (30), wtedy dostajemy wniosek:

$\delta S=-\delta \Omega _{ik}\sum p^{i}x^{k}{\Bigg |}_{a}^{b}\;$

(31)

Tensor $_{\sum p_{i}x^{k}}\;$ możemy rozłożyć na część symetryczną i asymetryczną i który jest pomnożony przez tensor asymetrycznym, wtedy dochodzimy do wniosku:

$\delta S=-{{1} \over {2}}\delta \Omega _{ik}\sum (p^{i}x^{k}+p^{i}x^{k}){\Bigg |}_{a}^{b}=-\delta \Omega _{ik}{{1} \over {2}}\sum \left(p^{i}x^{k}-p^{i}x^{i}\right){\Bigg |}_{a}^{b}\;$

(32)

Ale ponieważ wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem na podstawie tego również współczynnik stojące przy δΩ_ik są równe zero, stąd otrzymujemy, że współczynniki stojące przy δΩ_i są równy zero, zatem na podstawie tego tensor podany poniżej M^ik jest stała ruchu:

$M^{ik}=\sum (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})\;$

(33)

Współrzędne przestrzenne pokrywają się ze współrzędnymi zwykłego momentu pędu, tzn. że według $_{{\vec {M}}=\sum {\vec {r}}\times {\vec {p}}}\;$ i według (33) i powracając jeszcze raz na początek zdania, wtedy dostajemy wnioski:

$M^{23}=M_{x}\;$ (34)

$-M^{13}=M_{y}\;$ (35)

$M^{12}=M_{z}\;$ (36)

Określmy czemu jest równy elementy składowe tensora (Niedopasowany uchwyt: 5.64), tzn. składowe $_{M^{01},M^{02},M^{03}}\;$, zatem na podstawie tego możemy napisać:

$(M^{01},M^{02},M^{03})=c\sum (t{\vec {p}}-{{E{\vec {r}}} \over {c^{2}}})\;$

(37)

Ogólnie składowe tensora M^ik określamy na podstawie wzoru (37), a także z tożsamości (34), (35) i na samym końcu (36), a także z definicji tensora antysymetrycznego (Niedopasowany uchwyt: 2.21), przestawiamy tensor M^ik wedle schematu jak w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 2.22), co jest przestawieniem symbolicznym wspomnianego tensora antysymetrycznego:

$M^{ik}=\left(c\sum \left(t{\vec {p}}-{{E{\vec {r}}} \over {c^{2}}}\right),-{\vec {M}}\right)\;$

(38)

Zajmijmy się teraz tensorem (Niedopasowany uchwyt: 5.69), który jest wielkości stałą na podstawie (31) i (33) i po podzieleniu tego przez przez całkowitą energię układu $_{\sum E}\;$, w takim razie dostajemy, który jest wielkością stałą:

${{\sum E{\vec {r}}} \over {\sum E}}-t{{c^{2}\sum {\vec {p}}} \over {\sum E}}=\operatorname {const} \;$

(39)

Oznaczmy teraz jako wektor wodzący układu ciała w jako zależność położeń i energię poszczególnych ciał wchodzących w skład układu.

${\vec {R}}={{\sum E{\vec {r}}} \over {\sum E}}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.39)

Na podstawie przestawienia wektor wodzącego układu ciał, to wtedy wzór (39) określamy wzorem:

$R-t{{c^{2}\sum {\vec {p}}} \over {\sum E}}=\operatorname {const} \;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.39)

Korzystając z zasady zachowania energii i pędu dochodzimy do wniosku, że czynnik stojący przy t jest wielkością stałą, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć, że prędkość układu mas wyraża się wzorem:

${\vec {V}}={{c^{2}\sum {\vec {p}}} \over {\sum E}}\;$

(42)

Gdy przyjmować będziemy, że w przypadku małych prędkości z porównaniu z prędkością światła, wtedy poszczególne energię E piszemy jako $E\simeq m_{0}c^{2}\;$, w takim przypadku możemy napisać równość (Niedopasowany uchwyt: 5.39), a także (42) w postaci dla przypadku nierelatywistycznego:

${\vec {R}}={{\sum E{\vec {r}}} \over {\sum E}}\simeq {{\sum m_{0}c^{2}{\vec {r}}} \over {\sum m_{0}c^{2}}}={{\sum m_{0}{\vec {r}}} \over {\sum m_{0}}}\;$ (43)

${\vec {V}}={{c^{2}\sum m_{0}{\vec {v}}} \over {\sum m_{0}c^{2}}}={{\sum m_{0}{\vec {v}}} \over {\sum m_{0}}}\;$ (44)

Widzimy, że wzór (43) jest pochodną zupełną obu stron równania (44), tak jak należało oczekiwać dla przypadku nierelatywistycznego.