Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Teoria oddziaływań i pól kwantowych

Teoria oddziaływań i pól kwantowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W teorii oddziaływania przyjmuje się, że oddziaływania są wynikiem wymiany między sobą bozonów, to musi odbywać się w czasie krótszym niż Δt określonym przez równanie $\Delta E\Delta t\simeq \hbar \;$, takie cząstki nazywamy wirtualnymi. Kwantowa teoria oddziaływania w oddziaływaniu elektromagnetycznym, to ciągła wymiana fotonów pomiędzy cząstkami naładowanymi. Pola, ani kwanty nie są obserwowalne bezpośrednio.

Teoria pól kwantowych Yukawy

Poszukując krótkozasięgowe oddziaływanie pomiędzy protonami, a neutronami w jądrach, można opisywać bezpośrednio za pomocą równania kwantowego Kleina-Gordona:

${{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}=\Delta \psi -{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(2.1)

Gdy będziemy rozpatrywać będziemy pola bez udziału czasu, i zakładając, że funkcja jest zależna tylko od od "r":

$\Delta U(r)=\nabla ^{2}U(r)={{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r^{2}{{\partial U} \over {\partial r}}\right)={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}U(r)\;$

(2.2)

Pamiętając, że zachodzi (2.1), a także (2.2), to wtedy na podstawie tego zależność potencjału od "r" i od stałej g₀, jest w postaci:

$U(r)={{g_{0}} \over {4\pi r}}e^{-{{r} \over {R}}}{\mbox{ gdzie R}}={{\hbar } \over {m_{0}c}}\;$

(2.3)

Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia (2.3) względem "r" w zależności od parametru g₀, m₀ i $\hbar \;$ i stałej R zależnej od stałej kreślonej Planka, masy spoczynkowej bozonu i prędkości światła:

${{\partial U(r)} \over {\partial r}}=-{{g_{0}} \over {4\pi r^{2}}}e^{-{{r} \over {R}}}-{{g_{0}} \over {4\pi r}}e^{-{{r} \over {R}}}{{m_{0}c} \over {\hbar }}=-{{g_{0}} \over {4\pi }}e^{-{{r} \over {R}}}\left({{1} \over {r^{2}}}+{{m_{0}c} \over {r\hbar }}\right)\;$

(2.4)

Następnym krokiem jest policzenie pochodnej względem "r" podzielonej przez r² iloczynu kwadratu "r" i pochodnej cząstkowej wielkości U(r) względem "r":

$\Delta U(r)=\nabla ^{2}U(r)={{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r^{2}{{\partial U} \over {\partial r}}\right)=-{{g_{0}} \over {4\pi r^{2}}}{{\partial } \over {\partial r}}e^{-{{r} \over {R}}}\left(1+{{m_{0}c} \over {\hbar }}r\right)=\;$
$={{g_{0}} \over {4\pi r^{2}}}e^{-{{r} \over {R}}}{{m_{0}c} \over {\hbar }}\left(1+{{m_{0}c} \over {\hbar }}r\right)-{{g_{0}} \over {4\pi r^{2}}}e^{-{{r} \over {R}}}{{m_{0}c} \over {\hbar }}=\left({{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)^{2}{{g_{0}} \over {4\pi r}}e^{-{{r} \over {R}}}={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}U(r)\;$

(2.5)

wtedy równanie (2.1) dla przypadku stacjonarnego po działaniu operatorem Δ funkcję U(r), czyli (2.5), stąd rozwiązaniem (2.1) jest (2.3).

Transformata pędu cząstki

Napiszmy ile wynosi transformata Fouriera cząstki potencjału $U(r)={{g_{0}} \over {4\pi r}}e^{-{{r} \over {R}}}\;$ (2.3), którą napiszemy po całkowitej przestrzeni względem przekazu pędu q. Ją piszemy jako w układzie współrzędnych kulistych, zakładając przy okazji, że pęd q jest równoległy z osią zetową:

$f({\vec {q}})=g\int U({\vec {r}})e^{i{{{\vec {q}}{\vec {r}}} \over {\hbar }}}dV=g\int \int \int U(r)e^{{irq\cos \theta } \over {\hbar }}r^{2}d\phi \sin \theta d\theta dr=\;$
$=2\pi g\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi }U(r)e^{i{{qr} \over {\hbar }}\cos \theta }\sin \theta d\theta =2\pi g\int _{0}^{\infty }drU(r)r^{2}\int _{0}^{\pi }e^{i{{qr} \over {\hbar }}\cos \theta }\sin \theta d\theta =\;$
$=-2\pi g\int _{0}^{\infty }drU(r)r^{2}\int _{0}^{\pi }{{\hbar } \over {iqr}}\left(e^{i{{qr} \over {\hbar }}\cos \theta }\right)^{'}d\theta =2\pi g{{\hbar } \over {iq}}\int _{0}^{\infty }drU(r)r\left(e^{i{{qr} \over {\hbar }}}-e^{-i{{qr} \over {\hbar }}}\right)=\;$
$=g_{0}g{{\hbar } \over {2iq}}\int _{0}^{\infty }dre^{-{{r} \over {R}}}\left(e^{i{{qr} \over {\hbar }}}-e^{-i{{qr} \over {\hbar }}}\right)=g_{0}g{{\hbar } \over {2iq}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{r\left(-{{1} \over {R}}+i{{q} \over {\hbar }}\right)}-e^{-r\left({{1} \over {R}}+i{{q} \over {\hbar }}\right)}\right]=\;$
$=g_{0}g{{\hbar } \over {2iq}}\left({{1} \over {-{{1} \over {R}}+i{{q} \over {\hbar }}}}+{{1} \over {{{1} \over {R}}+i{{q} \over {\hbar }}}}\right)={{g_{0}g\hbar ^{2}} \over {2iq}}\left({{1} \over {-m_{0}c+iq}}+{{1} \over {m_{0}c+iq}}\right)=\;$
$={{g_{0}g\hbar ^{2}} \over {2iq}}{{m_{0}c+iq-m_{0}c+iq} \over {m_{0}^{2}c^{2}+q^{2}}}={{g_{0}g\hbar ^{2}} \over {2iq}}{{2iq} \over {(m_{0}c)^{2}+q^{2}}}={{g_{0}g\hbar ^{2}} \over {(m_{0}c)^{2}+q^{2}}}$

(2.6)

Powyższa dyskusja dotyczy rozpraszania cząstki o stałej sprzężenia g opisanej równaniem (2.6) dla potencjału U(r) zależnej tylko od promienia położenia cząstki na danym potencjale i niezależnej od współrzędnych cząstkowych. U(r) jest to pole statyczne. Propagacja bozonu opisuje rozpraszanie elastyczne na danym potencjale. Proces wymiany dwóch bozonów dla przypadków opisujących cząstkę rozpraszającą a cząstką rozpraszaną propagator bozonu jest iloczynem stałych sprzężenia g i g₀ przez sumę kwadratów m₀c i q.

Opis podstawowych oddziaływań w przyrodzie

Oddziaływania elektromagnetyczne

Stała sprzężenia, która charakteryzuje cząstki ze sobą oddziaływających piszemy w zależności od ładunku elektronu, stałej prędkości światła, stałej Planka i nazwiemy ją stała struktury subtelnej:

$\alpha ={{e^{2}} \over {4\pi \hbar c}}={{1} \over {137,0360...}}\;$

(2.7)

Ona określa rozszczepienie widm atomowych oddziaływań spin-orbita. Pola elektromagnetyczne mogą być transformowane jak wektory i dlatego foton. który jest przekaźnikiem oddziaływania jest cząstką wektorową. Jeśli będziemy definiować moment magnetyczny jako:

$\mu =g\hbar \mu _{B}s\;$

(2.8)

gdzie s=1/2, w teorii Diraca (mechanice kwantowej) otrzymujemy g=2. Weźmy ile jest równa wielkość g w elektrodynamice kwantowej jako wielkość odchylenia od liczby g.

$\left({{g-2} \over {2}}\right)^{teor}=0,5\left({{\alpha } \over {\pi }}\right)^{2}-0,32848\left({{\alpha } \over {\pi }}\right)^{2}+1,19\left({{\alpha } \over {\pi }}\right)^{3}+...\;$

(2.9)

Bardzo ważną teorią jest elektrodynamika kwantowa QED. Ta owa teoria opisuje właściwości zwane renormalizowalnością i niezmienniczością względem cechowania.

(Rys. 2.1) Odziaływanie tego samego elektronu na ten sam poprzez fotony wirtualne

Rysunek obok przedstawia pojedynczy elektron, który oddziaływuje sam ze sobą poprzez fotony wirtualne lub ona przedstawia wirtualną parę cząstek elektron-pozyton. Linie elektronowe dla diagramach Feymanna reprezentuje sam "goły" elektron ubrany w procesy, które stanowią procesy wirtualne poprzez wymianę fotonów wirtualnych. Ograniczenia na pęd "k" nie ma. W teorii QED występują rozbieżne całki, które można zastąpić predyfiniując ładunek i masę, który zawsze występuje w obliczeniach z czynnikiem multiplikatywnym, która posiada całkę rozbieżną. Zatem te dwa ładunki można zastąpić przez wielkości mierzone doświadczalnie, tzn. e i m. Taki stan postępowania nazywamy renormalizacją. Okazuje się, że QED stała sprzężenia wcale nie jest stałą, tylko zależy w skali logarytmicznie od energii w dokonywanym procesie. Bardzo ważnym elementem jest niezmienniczość względem cechowania, co jest ważne do teorii renormalizowalności. Dla rzędu skali energii Z⁰ współczynnik sprzężenia wynosi 1/128, a nie 1/127.

Oddziaływanie silne

Rozpatrzmy cząstkę Σ⁰(uds), która rozpadać się może na cząstki Λ i γ, a silne rozpady tej cząstki są zabronione, ze względu na zasadę zachowania izospinu, a Λ jest stanem singletowym i ma spin 1/2, natomiast na rozkład Λ i π⁰ zachodzi z oddziaływaniem silnym, dalej cząstka Σ⁺ są barionami o spinie 1/2 i jej rozkład może zachodzić z użyciem oddziaływania silnego.

Barion	Skład	Wartość energii rozpadu Q [MeV]	Sposoby rozpadu	Czas życia [s]
Σ0	uds	74	$\Sigma \rightarrow \Lambda ^{0}+\gamma \;$	10-19
Σ0	uds	208	$\Sigma \rightarrow \Lambda ^{0}+\pi ^{0}\;$	10-23
Σ+	uus	189	$\Sigma \rightarrow p+\pi ^{0}\;$	10-10

(Rys. 2.2) Diagram Feynmana proton-neutron rozpraszania, któremu pośredniczy pion, pojedyncze kwarki są pokazane na rysunku obok w rozkładając je na układ kwarków

Oddziaływanie silnie spotykamy w oddziaływaniach pomiędzy neutronami i protonami, a także pomiędzy kwarkami. Stosunek stałej sprzężenia oddziaływania silnego przez stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego jak udowodnimy jest równy w przybliżeniu sto, czyli:

${{\alpha _{s}} \over {\alpha }}\sim {\sqrt {{10^{-19}} \over {10^{-23}}}}\sim 100\;$

(2.10)

Ale ponieważ stała sprzężenia w oddziaływaniu elektromagnetycznym jest równa (2.7), zatem stała sprzężenia oddziaływania silnego jest równa w przybliżeniu jeden (α_s≈1). Oddziaływania pomiędzy kwarkami w oddziaływaniu silnym zachodzi poprzez wymianę gluonu, który jest obojętny elektrycznie, jest ona cząstką wektorową o parzystości J^p=1^-. W teorii oddziaływania między kwarkami istnieje 6 typów silnych ładunków kolorowych, przy czym każdy kwark niesie jeden ładunek kolorowy, czyli czerwony, zielony i niebieski, a antykwark odpowiednio antykolory. Sam gluon jest również obdarzony ładunkiem kolorowym, i dlatego one mogą bezpośrednio oddziaływać. W teorii QED istnieją sprzężenia pomiędzy bozonami przenoszących oddziaływanie, co jest charakterystyczne dla teorii nieabelowych, a elektrodynamika kwantowa jest teorią abelową. Gluony przenoszą jednocześnie ładunek kolorowy i antykolorowy, a tych kombinacji jest 3²=9. Istnieje osiem stanów gluonowych, tzn. $r{\overline {r}}+b{\overline {b}}+g{\overline {g}}\;$.

Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający)

Oszacowaliśmy że α_s, które odpowiadają wymianie jednego gluonu, a za wymiany wielogluonowe odpowiedzialne są kolejne człony potęgi stałych sprzężenia oddziaływania silnego. Potencjał pola silnego zależny od "r", a także od "k" i od stałej sprzężenia α_s piszemy:

$V_{s}=-{{4} \over {3}}{{\alpha _{s}} \over {r}}+kr\;$

(2.11)

Pierwszy człon jest dominujący przy małych odległościach, a w przypadku drugim dla dużych odległości. Czynnik 4/3 w (2.11) jest uzasadniany tym, że mamy osiem stanów kolorowych, które uśredniamy po trzech stanach gluonowych. Drugi wyraz w (2.11) odpowiada z uwięzieniem kwarków w cząstkach elementarnych. Próby oderwania kwarku z cząstki elementarnej powoduje produkowanie nowych mezonów, za co jest odpowiedzialny drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne. Podczas anihilacji elektronu i pozytonu, co wyniku której powstaje hadron, antyhadron, który jest fragmentacją kwarków.

Oddziaływanie słabe i elektrosłabe

Można zauważyć porównując rozpad zmieniający dziwność $\Sigma ^{+}\rightarrow p+\pi ^{+}\;$, a także rozpad elektromagnetyczny $\Sigma ^{0}\rightarrow \Lambda +\gamma \;$ zauważamy, że stała oddziaływań słabych jest mniejsza stałej oddziaływań elektromagnetycznych α o czynnik ${\sqrt {10^{-19}/10^{-10}}}\sim 10^{-5}\;$. Pomiędzy kwarkami i leptonami te oddziaływania zachodzą, z której z każdej tych oddziaływań przepisujemy ładunek "g". Oddziaływania słabe są całkowite przesłonięte przez znacznie silne oddziaływanie elektromagnetyczne i silne, chyba że zostaje wykluczone z których z tych oddziaływań przez jakąś zasadę zachowania. Obserwowane słabe oddziaływanie wiąże się z neutrinami lub z procesami zmiany zapachu kwarku, czyli ΔS=1, ΔC=1, co jest nie możliwe w oddziaływaniu silnym.

(Rys. 2.3) Oddziaływanie słabe podczas rozpadu neutronu na elektron, proton i antyneutrino elektronowe

Przykładami oddziaływań z namiastką oddziaływania stałego są $n\rightarrow p+e^{-}+{\tilde {\nu }}_{e}\;$ i ${\tilde {\nu }}_{e}+p\rightarrow n+e^{+}\;$. Oddziaływania słabe są związane z wymianą naładowanych i obojętnych bozonów zwanych bozonami wektorowymi W^±,Z, których masy są M_W=80GeV i M_Z=91GeV, stąd mamy oddziaływania słabe mają krótko zasięgowy zakres. W oddziaływaniu słabym wymiana W^± jest związana ze zmianą ładunku leptonu lub kwarka, ale już z Z⁰ już nie. Propagator bozonu dla oddziaływania słabego określmy przez:

$f(q^{2})={{g^{2}\hbar ^{2}} \over {q^{2}+(M_{W,Z}c)^{2}}}\;$

(2.12)

Dla q<<M_W,Zc propagator oddziaływania słabego piszemy przy takim założeniu poprzez:

$G={{g^{2}(\hbar c)^{2}} \over {(M_{W,Z}c^{2})^{2}}}=10^{-5}\operatorname {fm} ^{2}\;$

(2.13)

Oddziaływania grawitacyjne

Oddziaływania grawitacyjne nie grają żadnej roli w fizyce cząstek elementarnych. Jeżeli za jednostkę masy będziemy przyjmować mc²=1 GeV, to stała sprzężenia piszemy poprzez stałą grawitacji G_N, stałą Planka kreśloną i prędkość światła, a także w zależności od masy źródła pola grawitacyjnego M, co w takowej sytuacji:

${{G_{N}M^{2}} \over {4\pi \hbar c}}=5,34\cdot 10^{-40}\;$

(2.14)

co porównując z stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego (2.7). Dla mas zbliżonych do masy Planka $((\hbar c)/G_{N})^{1/2}=1,2\cdot 10^{19}GeV\;$. Dwie punktowe masy o masach Plancka oddalone od siebie o długość Plancka będą miały energię $G_{N}M_{p}^{2}/l_{p}=M_{p}c^{2}\;$ równą energii spoczynkowej ciała o masie spoczynkowej M_p.

Parametry oddziaływań w przyrodzie (Mc²=1 GeV)

W naszej tabeli przedstawimy wszystkie oddziaływania w przyrodzie grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne. A także przedstawimy bozony pośredniczące w tych oddziaływaniach, spin i parzystość, zasięg, stałe sprzężenia, przekrój czynny, czas życia.

	Grawitatyjne	Elektromagnetyczne	Słabe		Silne
kwant pola	grawiton	foton	W±	Z	gluon
źródło	masa	ładunek elektryczny	ładunek słaby		ładunek kolorowy
spin, parzystość	2+	1-	1-	1+	1-
masa [GeV]	0	0	80,2	91,2	0
Zasięg [m]	∞	∞	10-18		≤10-15
stała sprzężenia	${{G_{N}M^{2}} \over {4\pi \hbar c}}=5\cdot 10^{-40}\;$	$\alpha ={{e^{2}} \over {4\pi \hbar c}}={{1} \over {137}}$	${{G(Mc^{2})^{2}} \over {(\hbar c)^{3}}}=1,17\cdot 10^{-5}\;$		$\alpha _{s}\leq 1\;$
Przekrój czynny		10-33	10-39		≤10-30
czas życia		10-20	10-10		10-23

Przekroje czynne na zachodzące reakcje

Rozważmy reakcję, w której współuczestniczą dwa substraty a i b, wyniku której powstają dwa produkty c i d:

$a+b\rightarrow c+d\;$

(2.15)

Miarą intensywności z jaką zachodzi dana reakcja jest przekrój czynny zachodzącej reakcji (2.15). Wiązka cząstek pocisku uderza w cząstki, które stanowią tarcze, czyli b, którego grubość jest dx, i koncentracja tych cząstek jest n_b. Strumień, która przechodzi przez tarczę definiujemy jako iloczyn koncentracji cząstek a i prędkości v_i, na jednostkę czasu:

$\phi =n_{a}v_{i}\;$

(2.16)

Jeżeli przekrój czynny na zachodzenie reakcji jest σ, to prawdopodobieństwo zachodzenia reakcji jest σn_bdx. A ilość reakcji zachodzącej w przekroju dx jest: φσn_bdx. Prawdopodobieństwo, że reakcja będzie zachodziła jest W=φσ. Jednostką przekroju czynnego jest 1b=10^-28m². Prawdopodobieństwo zajścia reakcji W wiedząc, że M_if jest to element macierzowy zachodzenia reakcji pomiędzy stanem początkowym, a końcowym stanem reakcji, co można otrzymać z rachunku zaburzeń (jest to całka $\int \psi _{f}^{*}U\psi _{i}dV\;$ mając funkcje falowe w stanie początkowym i końcowym zachodzenia reakcji z potencjałem zachodzenia reakcji), piszemy przez:

$W={{2\pi } \over {\hbar }}|M_{if}|^{2}\rho _{f}\;$

(2.17)

Jeżeli ρ_f przedstawia ilość stanów końcowych, co można zapisać ją jako pochodną dN/dE, tą wielkość zapiszmy w zależności od pędu i objętości danego układu badanego, w której zachodzi reakcja:

$\rho _{f}={{dN} \over {dE}}={{V} \over {(2\pi \hbar )^{3}}}p^{2}{{dp} \over {dE}}d\Omega \;$

(2.18)

Będziemy przyjmować, że przekrój czynny liczony jest dla objętości V=1 i jednostkowej koncentracji cząstek n_a, wtedy pochodna przekroju czynnego czynnego względem kąta bryłowego w układzie środka masy jest:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}={{W} \over {\phi }}={{W} \over {v_{i}}}={{2\pi } \over {\hbar }}{{|M_{if}|^{2}} \over {v_{i}}}{{p_{f}^{2}} \over {(2\pi \hbar )^{3}}}{{dp_{f}} \over {dE_{0}}}\;$

(2.19)

Z definicji energii całkowitej dwóch produktów reakcji (2.15) mamy ${\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{c}c^{2})^{2}}}+{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{d}c^{2})^{2}}}=E_{0}\;$, wtedy piszemy pochodną wielkości E₀ względem wielkości p_f:

${{dE_{0}} \over {dp_{f}}}={{2p_{f}c^{2}} \over {2{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{c}c^{2})^{2}}}}}+{{2p_{f}c^{2}} \over {2{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{d}c^{2})^{2}}}}}=\;$
$=2p_{f}c^{2}{{{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{d}c^{2})^{2}}}+{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{c}c^{2})^{2}}}} \over {{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{c}c^{2})^{2}}}{\sqrt {(p_{f}c)^{2}+(m_{d}c^{2})^{2}}}}}={{p_{f}c^{2}E_{0}} \over {E_{c}E_{d}}}\Rightarrow {{dp_{f}} \over {dE_{0}}}={{E_{c}E_{d}} \over {p_{f}c^{2}E_{0}}}={{1} \over {v_{f}}}\;$

(2.20)

Przekrój czynny różniczkowy zachodzącej reakcji (2.15) piszemy na podstawie wzoru (2.19) i (2.20) w sposób:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}={{1} \over {4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}|M_{if}|^{2}{{p_{f}^{2}} \over {v_{i}v_{f}}}\;$

(2.21)

Jeżeli cząstki w stanie początkowym mają spiny s_a i s_b, a w stanie końcowym spiny s_c i s_d, wtedy liczba stanów dostępnych w stanie początkowym i końcowym jest:

$g_{i}=(2s_{a}+1)(2s_{b}+1)\;$

(2.22)

$g_{f}=(2s_{c}+1)(2s_{d}+1)\;$

(2.23)

Rezonanse podczas zderzenia cząstek i ich rozpady

Średni czas zycia danej cząstki niestabilnej określamy jako odwrotność wielkości W (2.17). Gdy mamy doczynienia z rozpadami silnymi to τ jest niemierzalnie krótkie, i pod tym względem posługujemy się wielkością Γ, która jest szerokością (rozmyciem energii stanu podstawowego):

$\Gamma ={{\hbar } \over {\tau }}=\hbar W=2\pi |M|^{2}\int \rho _{f}d\Omega \;$

(2.24)

Rozmycie stanu podstawowego definiujemy jako pochodna liczby cząstek A względem czasu przez liczbę cząstek N_A pomnożonej ze znakiem ujemnej przez stałą kreśloną Plancka, z którego obliczymy liczbę cząstek A w zależności od czasu:

$\Gamma =-\hbar {{dN_{A}} \over {dt}}{{1} \over {N_{A}}}\Rightarrow N_{A}(t)=N_{A}(0)e^{-{{\Gamma t} \over {\hbar }}}\;$

(2.25)

Jeżeli mamy kilka kanałów rozpadów, to szerokość energii rozmycia energii stanu podstawowego jest sumą rozmycia poszczególnych energii stanu podstawowych poszczególnych kanałów reakcji. Γ=Σ_iΓ_i. Stanu o dużej szerokości są to stany zwane rezonansami. Równość (2.25) określa kształt rezonansu. Funkcja falowa stanu niestabilnego, którego częstotliwość kołowa jest $\omega _{R}=E_{R}/\hbar \;$, gdzie E_R jest to energia rezonansu o czasie życia (2.24):

$\psi (t)=\psi (0)e^{-i\omega _{R}t}e^{-{{t} \over {2\tau }}}=\psi (0)e^{-{{t} \over {\hbar }}\left(iE_{R}+{{\Gamma } \over {2}}\right)}\;$

(2.26)

Policzmy teraz transfcrmatę funkcji (2.26) względem czasu:

$\chi (E)=\int \psi (t)e^{i{{E} \over {\hbar }}t}=\psi (0)\int e^{-{{t} \over {\hbar }}\left(i(E_{R}-E)+{{\Gamma } \over {2}}\right)}dt={{K} \over {(E-E_{R})-i\Gamma /2}}\;$

(2.27)

Prawdopodobieństwo rezonansu utworzenia stanu z cząstek a i b jest wprost proporcjonalne do χ^*(E)χ(E), zatem na tej podstawie (2.27) określamy wzorami:

$\sigma (E)={{K} \over {(E-E_{R})-i\Gamma /2}}{{K} \over {(E-E_{R})+i\Gamma /2}}=\sigma _{max}{{\Gamma ^{2}/4} \over {(E-E_{R})^{2}+\Gamma ^{2}/4}}\;$

(2.28)

Jak można zauważyć, przekrój czynny maleje do połowy swej wartości w przypadku wzoru (2.28), gdy zachodzi E-E_R=±Γ/2. Fala płaska jest sumą poszczególnych fal o różnych orbitalnych liczbach kwantowych $l\hbar =pb\;$, a b jest parametrem zderzenia, a "p" jest to pęd cząstki. Cząstki o liczbach kwantowych l do l+1 jest o kształcie pierścienia (przy założeniu, że $\not {\lambda }\;$ jest to kreślona długość fali równej $\not {\lambda }=\hbar /p\;$, który piszemy:

$\sigma =\pi \left(b_{l+1}^{2}-b_{l}^{2}\right)=\pi \not {\lambda }^{2}\left[(l+1)^{2}-l^{2}\right]=\pi \not {\lambda }^{2}\left[l^{1}+2l+1-l^{2}\right]=\pi \not {\lambda }^{2}(2l+1)\;$

(2.29)

Amplituda na rozpraszanie elastyczne maksymalne jest dwukrotne większe niż (2.29), zatem na podstawie wcześniejszych rozważań i (2.28) uwzględniając krotność wynikająca ze stanów spinowych ,mamy:

$\sigma ={{4\pi \not {\lambda }(2J+1)} \over {(2s_{a}+1)(2s_{b}+1)}}{{\Gamma ^{2}/4} \over {(E-E_{R})^{2}+\Gamma ^{2}/4}}\;$

(2.30)

Rezonanse Δ⁺⁺ w układzie zderzeniowym π⁺ (pion) i p (proton)

Utworzenie cząstki Δ⁺⁺ w wyniku zderzenia pionu i protonu, która po pewnej chwili rozpada się na takie same cząstki z jakich został utworzony, ono zachodzi według:

$\pi ^{+}+p\rightarrow \Delta ^{++}\rightarrow \pi ^{+}+p\;$

(2.31)

Cząstka Δ⁺⁺ ma spin J=3/2, szerokość Γ=120 MeV, a także spiny s_a=s_b=1/2 i s_b=s_π=0. Przekrój czynny na utworzenie tego stanu dla przypadku rozpraszania elastycznego jest $8\pi \not {\lambda }^{2}\;$ dla tego J, wiedząc (2.29), mając pod uwagę przekrój czynny dla stanu rozproszeniowego.

Rezonans na utworzenie stanu Z⁰

Jest to bozon pośredniczący w oddziaływaniu słabym, jego wartość centralna masy jest 91 GeV, a jego szerokość rezonansu jest Γ=2,5 GeV. Bozon Z⁰ może się rozpaść na hadrony tworząc parę $Q{\overline {Q}}\;$, a także mogą być to naładowane leptony:

$Z^{0}\rightarrow e^{+}+e^{-}\;$

(2.32)

$Z^{0}\rightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}$

(2.33)

$Z^{0}\rightarrow \tau ^{+}+\tau ^{-}\;$

(2.34)

a także również na parę leptonów obojętnych:

$Z^{0}\rightarrow \nu _{e}+{\tilde {\nu }}_{e}\;$

(2.35)

$Z^{0}\rightarrow \nu _{\mu }+{\tilde {\nu }}_{\mu }\;$

(2.36)

$Z^{0}\rightarrow \nu _{\tau }+{\tilde {\nu }}_{\tau }\;$

(2.37)