Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Teoria oddziaływań i pól kwantowych

Teoria oddziaływań i pól kwantowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

W teorii oddziaływania przyjmuje się, że oddziaływania są wynikiem wymiany między sobą bozonów, to musi odbywać się w czasie krótszym niż Δt określonym przez równanie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Delta E\Delta t\simeq \hbar\;} , takie cząstki nazywamy wirtualnymi. Kwantowa teoria oddziaływania w oddziaływaniu elektromagnetycznym, to ciągła wymiana fotonów pomiędzy cząstkami naładowanymi. Pola, ani kwanty nie są obserwowalne bezpośrednio.

Teoria pól kwantowych Yukawy

Poszukując krótkozasięgowe oddziaływanie pomiędzy protonami, a neutronami w jadrach, można opisywać bezpośrednio za pomocą równania kwantowego Kleina-Gordona:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\Delta\psi-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;}

(2.1)

Gdy będziemy rozpatrywać będziemy pola bez udziału czasu, i zakładając, że funkcja jest zależna tylko od od "r":

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;}

(2.2)

Pamiętając, że zachodzi (2.1), a także (2.2), to wtedy na podstawie tego zależność potencjału od "r" i od stałej g₀, jest w postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle U(r)={{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}\mbox{ gdzie R}={{\hbar}\over{m_0c}} \;}

(2.3)

Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia (2.3) względem "r" w zależności od parametru g₀, m₀ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \hbar\;} i stałej R zależnej od stałej kreślonej Planka, masy spoczynkowej bozonu i prędkości światła:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial U(r)}\over{\partial r}}=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}-{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=-{{g_0}\over{4\pi}}e^{-{{r}\over{R}}}\left({{1}\over{r^2}}+{{m_0c}\over{r\hbar}}\right)\;}

(2.4)

Następnym krokiem jest policzenie pochodnej względem "r" podzielonej przez r² iloczynu kwadratu "r" i pochodnej cząstkowej wielkości U(r) względem "r":

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}e^{-{{r}\over{R}}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle ={{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=\left({{m_0c}\over{\hbar}}\right)^2{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;}

(2.5)

wtedy równanie (2.1) dla przypadku stacjonarnego po działaniu operatorem Δ funkcję U(r), czyli (2.5), stąd rozwiązaniem (2.1) jest (2.3).

Transformata pędu cząstki

Napiszmy ile wynosi transformata Fouriera cząstki potencjału Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle U(r)={{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}\;} (2.3), którą napiszemy po całkowitej przestrzeni względem przekazu pędu q. Ją piszemy jako w układzie współrzędnych kulistych, zakładając przy okazji, że pęd q jest równoległy z osią zetową:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle f(\vec{q})=g\int U(\vec{r})e^{i{{\vec{q}\vec{r}}\over{\hbar}}}dV=g\int\int\int U(r)e^{{{i rq\cos\theta}\over{\hbar}}}r^2d\phi\sin\theta d\theta dr=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =2\pi g\int_0^{\infty}\int_{0}^{\pi}U(r)e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =-2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}{{\hbar}\over{iqr}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\right)^{'}d\theta= 2\pi g{{\hbar}\over{iq}}\int_{0}^{\infty}dr U(r)r\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle = g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}dr e^{-{{r}\over{R}}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}\left[e^{r\left(-{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}\right)}-e^{-r\left({{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}\right)}\right]=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle = g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\left({{1}\over{-{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}}}+{{1}\over{{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}}}\right)={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}\left({{1}\over{-m_0c+iq}}+{{1}\over{m_0c+iq}}\right)=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle = {{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{m_0c+iq-m_0c+iq}\over{m_0^2c^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{2iq}\over{(m_0c)^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{(m_0c)^2+q^2}} }

(2.6)

Powyższa dyskusja dotyczy rozpraszania cząstki o stałej sprzężenia g opisanej równaniem (2.6) dla potencjału U(r) zależnej tylko od promienia położenia cząstki na danym potencjale i niezależnej od współrzędnych cząstkowych. U(r) jest to pole statyczne. Propagacja bozonu opisuje rozpraszanie elastyczne na danym potencjale. Proces wymiany dwóch bozonów dla przypadków opisujących cząstkę rozpraszającą a cząstką rozpraszaną propagator bozonu jest iloczynem stałych sprzężenia g i g₀ przez sumę kwadratów m₀c i q.

Opis podstawowych oddziaływań w przyrodzie

Oddziaływania elektromagnetyczne

Stała sprzężenia, która charakteryzuje cząstki ze sobą oddziaływających piszemy w zależności od ładunku elektronu, stałej prędkości światła, stałej Planka i nazwiemy ją stała struktury subtelnej:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137,0360...}}\;}

(2.7)

Ona określa rozszczepienie widm atomowych oddziaływań spin-orbita. Pola elektromagnetyczne mogą być transformowane jak wektory i dlatego foton. który jest przekaźnikiem oddziaływania jest cząstką wektorową. Jeśli będziemy definiować moment magnetyczny jako:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \mu=g\hbar\mu_{B}s\;}

(2.8)

gdzie s=1/2, w teorii Diraca (mechanice kwantowej) otrzymujemy g=2. Weźmy ile jest równa wielkość g w elektrodynamice kwantowej jako wielkość odchylenia od liczby g.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \left({{g-2}\over{2}}\right)^{teor}=0,5\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2-0,32848\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2+1,19\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^3+...\;}

(2.9)

Bardzo ważną teorią jest elektrodynamika kwantowa QED. Ta owa teoria opisuje właściwości zwane renormalizowalnością i niezmienniczością względem cechowania.

(Rys. 2.1) Odziaływanie tego samego elektronu na ten sam poprzez fotony wirtualne

Rysunek obok przedstawia pojedynczy elektron, który oddziaływuje sam ze sobą poprzez fotony wirtualne lub ona przedstawia wirtualną parę cząstek elektron-pozyton. Linie elektronowe dla diagramach Feymanna reprezentuje sam "goły" elektron ubrany w procesy, które stanowią procesy wirtualne poprzez wymianę fotonów wirtualnych. Ograniczenia na pęd "k" nie ma. W teorii QED występują rozbieżne całki, które można zastąpić predyfiniując ładunek i masę, który zawsze występuje w obliczeniach z czynnikiem multiplikatywnym, która posiada całkę rozbieżną. Zatem te dwa ładunki można zastąpić przez wielkości mierzone doświadczalnie, tzn. e i m. Taki stan postępowania nazywamy renormalizacją. Okazuje się, że QED stała sprzężenia wcale nie jest stałą, tylko zależy w skali logarytmicznie od energii w dokonywanym procesie. Bardzo ważnym elementem jest niezmienniczość względem cechowania, co jest ważne do teorii renormalizowalności. Dla rzędu skali energii Z⁰ współczynnik sprzężenia wynosi 1/128, a nie 1/127.

Oddziaływanie silne

Rozpatrzmy cząstkę Σ⁰(uds), która rozpadać się może na cząstki Λ i γ, a silne rozpady tej cząstki są zabronione, ze względu na zasadę zachowania izospinu, a Λ jest stanem singletowym i ma spin 1/2, natomiast na rozkład Λ i π⁰ zachodzi z oddziaływaniem silnym, dalej cząstka Σ⁺ są barionami o spinie 1/2 i jej rozkład może zachodzić z użyciem oddziaływania silnego.

Barion	Skład	Wartość energii rozpadu Q [MeV]	Sposoby rozpadu	Czas życia [s]
Σ0	uds	74	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Sigma\rightarrow\Lambda^0+\gamma\;}	10-19
Σ0	uds	208	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Sigma\rightarrow\Lambda^0+\pi^0\;}	10-23
Σ+	uus	189	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Sigma\rightarrow p+\pi^0\;}	10-10

(Rys. 2.2) Diagram Feynmana proton-neutron rozpraszania, któremu pośredniczy pion, pojedyncze kwarki są pokazane na rysunku obok w rozkładając je na układ kwarków

Oddziaływanie silnie spotykamy w oddziaływaniach pomiędzy neutronami i protonami, a także pomiędzy kwarkami. Stosunek stałej sprzężenia oddziaływania silnego przez stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego jak udowodnimy jest równy w przybliżeniu sto, czyli:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\alpha_s}\over{\alpha}}\sim\sqrt{{{10^{-19}}\over{10^{-23}}}}\sim 100\;}

(2.10)

Ale ponieważ stała sprzężenia w oddziaływaniu elektromagnetycznym jest równa (2.7), zatem stała sprzężenia oddziaływania silnego jest równa w przybliżeniu jeden (α_s≈1). Oddziaływania pomiędzy kwarkami w oddziaływaniu silnym zachodzi poprzez wymianę gluonu, który jest obojętny elektrycznie, jest ona cząstką wektorową o parzystości J^p=1^-. W teorii oddziaływania między kwarkami istnieje 6 typów silnych ładunków kolorowych, przy czym każdy kwark niesie jeden ładunek kolorowy, czyli czerwony, zielony i niebieski, a antykwark odpowiednio antykolory. Sam gluon jest również obdarzony ładunkiem kolorowym, i dlatego one mogą bezpośrednio oddziaływać. W teorii QED istnieją sprzężenia pomiędzy bozonami przenoszących oddziaływanie, co jest charakterystyczne dla teorii nieabelowych, a elektrodynamika kwantowa jest teorią abelową. Gluony przenoszą jednocześnie ładunek kolorowy i antykolorowy, a tych kombinacji jest 3²=9. Istnieje osiem stanów gluonowych, tzn. Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle r\overline{r}+b\overline{b}+g\overline{g}\;} .

Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający)

Oszacowaliśmy że α_s, które odpowiadają wymianie jednego gluonu, a za wymiany wielogluonowe odpowiedzialne są kolejne człony potęgi stałych sprzężenia oddziaływania silnego. Potencjał pola silnego zależny od "r", a także od "k" i od stałej sprzężenia α_s piszemy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle V_s=-{{4}\over{3}}{{\alpha_s}\over{r}}+kr\;}

(2.11)

Pierwszy człon jest dominujący przy małych odległościach, a w przypadku drugim dla dużych odległości. Czynnik 4/3 w (2.11) jest uzasadniany tym, że mamy osiem stanów kolorowych, które uśredniamy po trzech stanach gluonowych. Drugi wyraz w (2.11) odpowiada z uwięzieniem kwarków w cząstkach elementarnych. Próby oderwania kwarku z cząstki elementarnej powoduje produkowanie nowych mezonów, za co jest odpowiedzialny drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne. Podczas anihilacji elektronu i pozytonu, co wyniku której powstaje hadron, antyhadron, który jest fragmentacją kwarków.

Oddziaływanie słabe i elektrosłabe

Można zauważyć porównując rozpad zmieniający dziwność Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Sigma^+\rightarrow p+\pi^+\;} , a także rozpad elektromagnetyczny Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Sigma^0\rightarrow\Lambda+\gamma\;} zauważamy, że stała oddziaływań słabych jest mniejsza stałej oddziaływań elektromagnetycznych α o czynnik Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sqrt{10^{-19}/10^{-10}}\sim 10^{-5}\;} . Pomiędzy kwarkami i leptonami te oddziaływania zachodzą, z której z każdej tych oddziaływań przepisujemy ładunek "g". Oddziaływania słabe są całkowite przesłonięte przez znacznie silne oddziaływanie elektromagnetyczne i silne, chyba że zostaje wykluczone z których z tych oddziaływań przez jakąś zasadę zachowania. Obserwowane słabe oddziaływanie wiąże się z neutrinami lub z procesami zmiany zapachu kwarku, czyli ΔS=1, ΔC=1, co jest nie możliwe w oddziaływaniu silnym.

(Rys. 2.3) Oddziaływanie słabe podczas rozpadu neutronu na elektron, proton i antyneutrino elektronowe

Przykładami oddziaływań z namiastką oddziaływania stałego są Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_{e}\;} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{\nu}_{e}+p\rightarrow n+e^+\;} . Oddziaływania słabe są związane z wymianą naładowanych i obojętnych bozonów zwanych bozonami wektorowymi W^±,Z, których masy są M_W=80GeV i M_Z=91GeV, stąd mamy oddziaływania słabe mają krótko zasięgowy zakres. W oddziaływaniu słabym wymiana W^± jest związana ze zmianą ładunku leptonu lub kwarka, ale już z Z⁰ już nie. Propagator bozonu dla oddziaływania słabego określmy przez:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle f(q^2)={{g^2\hbar^2}\over{q^2+(M_{W,Z}c)^2}}\;}

(2.12)

Dla q<<M_W,Zc propagator oddziaływania słabego piszemy przy takim założeniu poprzez:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle G={{g^2(\hbar c)^2}\over{(M_{W,Z}c^2)^2}}=10^{-5}\operatorname{fm}^2\;}

(2.13)

Oddziaływania grawitacyjne

Oddziaływania grawitacyjne nie grają żadnej roli w fizyce cząstek elementarnych. Jeżeli za jednostkę masy będziemy przyjmować mc²=1 GeV, to stała sprzężenia piszemy poprzez stałą grawitacji G_N, stałą Planka kreśloną i prędkość światła, a także w zależności od masy źródła pola grawitacyjnego M, co w takowej sytuacji:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5,34\cdot 10^{-40}\;}

(2.14)

co porównując z stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego (2.7). Dla mas zbliżonych do masy Planka Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle ((\hbar c)/G_N)^{1/2}=1,2\cdot 10^{19}GeV\;} . Dwie punktowe masy o masach Plancka oddalone od siebie o długość Plancka będą miały energię Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle G_NM_p^2/l_p=M_pc^2\;} równą energii spoczynkowej ciała o masie spoczynkowej M_p.

Parametry oddziaływań w przyrodzie (Mc²=1 GeV)

W naszej tabeli przedstawimy wszystkie oddziaływania w przyrodzie grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne. A także przedstawimy bozony pośredniczące w tych oddziaływaniach, spin i parzystość, zasięg, stałe sprzężenia, przekrój czynny, czas życia.

	Grawitatyjne	Elektromagnetyczne	Słabe		Silne
kwant pola	grawiton	foton	W±	Z	gluon
źródło	masa	ładunek elektryczny	ładunek słaby		ładunek kolorowy
spin, parzystość	2+	1-	1-	1+	1-
masa [GeV]	0	0	80,2	91,2	0
Zasięg [m]	∞	∞	10-18		≤10-15
stała sprzężenia	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5\cdot 10^{-40}\;}	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137}}}	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{G(Mc^2)^2}\over{(\hbar c)^3}}=1,17\cdot 10^{-5}\;}		Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \alpha_s\leq 1\;}
Przekrój czynny		10-33	10-39		≤10-30
czas życia		10-20	10-10		10-23

Przekroje czynne na zachodzące reakcje

Rozważmy reakcję, w której współuczestniczą dwa substraty a i b, wyniku której powstają dwa produkty c i d:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle a+b\rightarrow c+d\;}

(2.15)

Miarą intensywności z jaką zachodzi dana reakcja jest przekrój czynny zachodzącej reakcji (2.15). Wiązka cząstek pocisku uderza w cząstki, które stanowią tarcze, czyli b, którego grubość jest dx, i koncentracja tych cząstek jest n_b. Strumień, która przechodzi przez tarczę definiujemy jako iloczyn koncentracji cząstek a i prędkości v_i, na jednostkę czasu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi=n_av_i\;}

(2.16)

Jeżeli przekrój czynny na zachodzenie reakcji jest σ, to prawdopodobieństwo zachodzenia reakcji jest σn_bdx. A ilość reakcji zachodzącej w przekroju dx jest: φσn_bdx. Prawdopodobieństwo, że reakcja będzie zachodziła jest W=φσ. Jednostką przekroju czynnego jest 1b=10^-28m². Prawdopodobieństwo zajścia reakcji W wiedząc, że M_if jest to element macierzowy zachodzenia reakcji pomiędzy stanem początkowym, a końcowym stanem reakcji, co można otrzymać z rachunku zaburzeń (jest to całka Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int\psi_f^*U\psi_idV\;} mając funkcje falowe w stanie początkowym i końcowym zachodzenia reakcji z potencjałem zachodzenia reakcji), piszemy przez:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W={{2\pi}\over{\hbar}}|M_{if}|^2\rho_f\;}

(2.17)

Jeżeli ρ_f przedstawia ilość stanów końcowych, co można zapisać ją jako pochodną dN/dE, tą wielkość zapiszmy w zależności od pędu i objętości danego układu badanego, w której zachodzi reakcja:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \rho_f={{dN}\over{dE}}={{V}\over{(2\pi\hbar)^3}}p^2{{dp}\over{dE}}d\Omega\;}

(2.18)

Będziemy przyjmować, że przekrój czynny liczony jest dla objętości V=1 i jednostkowej koncentracji cząstek n_a, wtedy pochodna przekroju czynnego czynnego względem kąta bryłowego w układzie środka masy jest:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{d\sigma}\over{d\Omega}}={{W}\over{\phi}}={{W}\over{v_i}}={{2\pi}\over{\hbar}}{{|M_{if}|^2}\over{v_i}}{{p_f^2}\over{(2\pi\hbar)^3}}{{dp_f}\over{dE_0}}\;}

(2.19)

Z definicji energii całkowitej dwóch produktów reakcji (2.15) mamy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}=E_0\;} , wtedy piszemy pochodną wielkości E₀ względem wielkości p_f:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{dE_0}\over{dp_f}}={{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}}+{{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =2p_fc^2{{\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}\over{\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}={{p_fc^2E_0}\over{E_cE_d}}\Rightarrow{{dp_f}\over{dE_0}}={{E_cE_d}\over{p_fc^2E_0}}={{1}\over{v_f}}\;}

(2.20)

Przekrój czynny różniczkowy zachodzącej reakcji (2.15) piszemy na podstawie wzoru (2.19) i (2.20) w sposób:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{d\sigma}\over{d\Omega}}={{1}\over{4\pi^2\hbar^4}}|M_{if}|^2{{p_f^2}\over{v_iv_f}}\;}

(2.21)

Jeżeli cząstki w stanie początkowym mają spiny s_a i s_b, a w stanie końcowym spiny s_c i s_d, wtedy liczba stanów dostępnych w stanie początkowym i końcowym jest:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle g_i=(2s_a+1)(2s_b+1)\;} (2.22)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle g_f=(2s_c+1)(2s_d+1)\;} (2.23)

Rezonanse podczas zderzenia cząstek i ich rozpady

Średni czas zycia danej cząstki niestabilnej określamy jako odwrotność wielkości W (2.17). Gdy mamy doczynienia z rozpadami silnymi to τ jest niemierzalnie krótkie, i pod tym względem posługujemy się wielkością Γ, która jest szerokością (rozmyciem energii stanu podstawowego):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Gamma={{\hbar}\over{\tau}}=\hbar W=2\pi|M|^2\int\rho_fd\Omega\;}

(2.24)

Rozmycie stanu podstawowego definiujemy jako pochodna liczby cząstek A względem czasu przez liczbę cząstek N_A pomnożonej ze znakiem ujemnej przez stałą kreśloną Plancka, z którego obliczymy liczbę cząstek A w zależności od czasu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Gamma=-\hbar{{dN_{A}}\over{dt}}{{1}\over{N_A}}\Rightarrow N_A(t)=N_A(0)e^{-{{\Gamma t}\over{\hbar}}}\;}

(2.25)

Jeżeli mamy kilka kanałów rozpadów, to szerokość energii rozmycia energii stanu podstawowego jest sumą rozmycia poszczególnych energii stanu podstawowych poszczególnych kanałów reakcji. Γ=Σ_iΓ_i. Stanu o dużej szerokości są to stany zwane rezonansami. Równość (2.25) określa kształt rezonansu. Funkcja falowa stanu niestabilnego, którego częstotliwość kołowa jest Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \omega_R=E_R/\hbar\;} , gdzie E_R jest to energia rezonansu o czasie życia (2.24):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \psi(t)=\psi(0)e^{-i\omega_Rt}e^{-{{t}\over{2\tau}}}=\psi(0)e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(iE_R+{{\Gamma}\over{2}}\right)}\;}

(2.26)

Policzmy teraz transfcrmatę funkcji (2.26) względem czasu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \chi(E)=\int \psi(t)e^{i{{E}\over{\hbar}}t}=\psi(0)\int e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(i(E_R-E)+{{\Gamma}\over{2}}\right)}dt={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}\;}

(2.27)

Prawdopodobieństwo rezonansu utworzenia stanu z cząstek a i b jest wprost proporcjonalne do χ^*(E)χ(E), zatem na tej podstawie (2.27) określamy wzorami:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sigma(E)={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}{{K}\over{(E-E_R)+i\Gamma/2}}=\sigma_{max}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;}

(2.28)

Jak można zauważyć, przekrój czynny maleje do połowy swej wartości w przypadku wzoru (2.28), gdy zachodzi E-E_R=±Γ/2. Fala płaska jest sumą poszczególnych fal o różnych orbitalnych liczbach kwantowych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle l\hbar=pb\;} , a b jest parametrem zderzenia, a "p" jest to pęd cząstki. Cząstki o liczbach kwantowych l do l+1 jest o kształcie pierścienia (przy założeniu, że Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \not{\lambda}\;} jest to kreślona długość fali równej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \not{\lambda}=\hbar/p\;} , który piszemy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sigma=\pi\left(b_{l+1}^2-b_l^2\right)=\pi\not{\lambda}^2\left[(l+1)^2-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2\left[l^1+2l+1-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2(2l+1)\;}

(2.29)

Amplituda na rozpraszanie elastyczne maksymalne jest dwukrotne większe niż (2.29), zatem na podstawie wcześniejszych rozważań i (2.28) uwzględniając krotność wynikająca ze stanów spinowych ,mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sigma={{4\pi\not{\lambda}(2J+1)}\over{(2s_a+1)(2s_b+1)}}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;}

(2.30)

Rezonanse Δ⁺⁺ w układzie zderzeniowym π⁺ (pion) i p (proton)

Utworzenie cząstki Δ⁺⁺ w wyniku zderzenia pionu i protonu, która po pewnej chwili rozpada się na takie same cząstki z jakich został utworzony, ono zachodzi według:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \pi^++p\rightarrow\Delta^{++}\rightarrow \pi^++p\;}

(2.31)

Cząstka Δ⁺⁺ ma spin J=3/2, szerokość Γ=120 MeV, a także spiny s_a=s_b=1/2 i s_b=s_π=0. Przekrój czynny na utworzenie tego stanu dla przypadku rozpraszania elastycznego jest Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 8\pi\not{\lambda}^2\;} dla tego J, wiedząc (2.29), mając pod uwagę przekrój czynny dla stanu rozproszeniowego.

Rezonans na utworzenie stanu Z⁰

Jest to bozon pośredniczący w oddziaływaniu słabym, jego wartość centralna masy jest 91 GeV, a jego szerokość rezonansu jest Γ=2,5 GeV. Bozon Z⁰ może się rozpaść na hadrony tworząc parę Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Q\overline{Q}\;} , a także mogą być to naładowane leptony:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow e^++e^-\;} (2.32)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow\mu^++\mu^-} (2.33)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow\tau^++\tau^{-}\;} (2.34)

a także również na parę leptonów obojętnych:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow \nu_e+\tilde{\nu}_e\;} (2.35)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow\nu_{\mu}+\tilde{\nu}_{\mu}\;} (2.36)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle Z^0\rightarrow \nu_{\tau}+\tilde{\nu}_{\tau}\;} (2.37)