Fale/Drgania wymuszone układów harmonicznych

Drgania wymuszone układów harmonicznych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym

Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej $-M\omega _{0}^{2}x(t)\;$ pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości $M\omega _{0}^{2}\;$, dla której układ doznaje siły oporu $-M\Gamma {\dot {x}}(t)\;$, którym występuje stała Γ, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową:

$M{\ddot {x}}(t)=-M\omega _{0}^{2}x(t)-M\Gamma {\dot {x}}(t)+F(t)\;$

(3.1)

Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej

Równanie (3.1) można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku:

${\ddot {x}}(t)+\Gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0\;$

(3.2)

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego liniowego (3.2) jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej τ i częstotliwości kołowej ω:

$x(t)=Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )\;$

(3.3)

Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego (3.3), jego pierwsza pochodna jest:

${\dot {x}}=-{{1} \over {2\tau }}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )-Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\omega _{1}\sin(\omega _{1}t+\theta )$

(3.4)

Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia (3.3) względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia (3.4) względem czasu, zatem do dzieła:

${\ddot {x}}={{1} \over {4\tau ^{2}}}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )+{{\omega _{1}} \over {2\tau }}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\sin(\omega _{1}t+\theta )+{{\omega _{1}} \over {2\tau }}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\sin(\omega _{1}t+\theta )-Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\omega _{1}^{2}\cos(\omega _{1}t+\theta )=\;$
$={{1} \over {4\tau ^{2}}}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )+{{\omega _{1}} \over {\tau }}Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\sin(\omega _{1}t+\theta )-Ae^{-{{t} \over {2\tau }}}\omega _{1}^{2}\cos(\omega _{1}t+\theta )$

(3.5)

Ogólne rozwiązanie (3.3), pierwszą pochodną funkcji x(t) (3.4), a także drugą pochodną funkcji x(t) (3.5) podstawiamy do równania różniczkowego (3.2):

${{1} \over {4\tau ^{2}}}e^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )+{{\omega _{1}} \over {\tau }}e^{-{{t} \over {2\tau }}}\sin(\omega _{1}t+\theta )-e^{-{{t} \over {2\tau }}}\omega _{1}^{2}\cos(\omega _{1}t+\theta )+\Gamma \left(-{{1} \over {2\tau }}e^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )-e^{-{{t} \over {2\tau }}}\omega _{1}\sin(\omega _{1}t+\theta )\right)+\;$
$+\omega _{0}^{2}e^{-{{t} \over {2\tau }}}\cos(\omega _{1}t+\theta )=0$

(3.6)

Tożsamość (3.6) dzielimy obustronnie przez $e^{-{{t} \over {2\tau }}}\;$, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sinωt i cosωt:

$\cos(\omega _{1}t+\theta )\left[{{1} \over {4\tau ^{2}}}-\omega _{1}^{2}-{{\Gamma } \over {2\tau }}+\omega _{0}^{2}\right]+\sin(\omega _{1}t+\theta )\left[{{\omega _{1}} \over {\tau }}-\Gamma \omega _{1}\right]=0$

(3.7)

Równość (3.7) jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(ωt+θ) i cos(ωt+θ) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań:

${\begin{cases}{{1} \over {4\tau ^{2}}}-\omega _{1}^{2}-{{\Gamma } \over {2\tau }}+\omega _{0}^{2}=0\Rightarrow {{\Gamma ^{2}} \over {4}}-\omega _{1}^{2}-{{\Gamma ^{2}} \over {2}}+\omega _{0}^{2}=0\Rightarrow -{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}-\omega _{1}^{2}+\omega _{0}^{2}=0\\{{\omega _{1}} \over {\tau }}-\Gamma \omega _{1}=0\Rightarrow \tau ={{1} \over {\Gamma }}\end{cases}}$

(3.8)

Na podstawie układu równań (3.8) otrzymujemy następujące tożsamości na τ i ω²:

$\tau ={{1} \over {\Gamma }}\;$

(3.9)

$\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}\;$

(3.10)

Rozwiązanie (3.3) równania różniczkowego jednorodnego (3.2) możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego:

$x(t)=e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}(A\sin \omega _{1}t+B\cos \omega _{1}t)\;$

(3.11)

Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia (3.11), w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t":

${\dot {x}}(t)=-{{\Gamma } \over {2}}e^{-{{t} \over {2\tau }}}(A\sin \omega _{1}t+B\cos \omega _{1}t)+e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}(A\omega _{1}\cos \omega _{1}t-B\sin \omega _{1}t)\;$

(3.12)

Wyznaczmy warunki początkowe dla t=0, tj. dla równania (3.11),która jest położeniem masy w czasie "t", dla równania (3.12), który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków początkowych:

$x(0)=B\;$

(3.13)

${\dot {x}}(0)=-{{\Gamma } \over {2}}B+A\omega _{1}\;$

(3.14)

Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) (3.13) i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej)(3.14), w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego (3.11) piszemy w postaci:

$x(t)=e^{-{{1} \over {2}}t\Gamma }\left[x(0)\cos \omega _{1}t+\left({\dot {x}}(0)+{{1} \over {2}}\Gamma x(0)\right){{\sin \omega _{1}t} \over {\omega _{1}}}\right]\;$

(3.15)

Jeśli natomiast $\omega _{0}^{2}<{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}\;$, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie (3.10):

$\omega _{1}=\pm i|\omega _{1}|\;$

(3.16)

$|\omega _{1}|={\sqrt {{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\;$

(3.17)

Zatem równość (3.15) możemy napisać na podstawie tożsamości (3.16) i (3.17), w którym ω jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi:

$x(t)=e^{-{{1} \over {2}}t\Gamma }\left[x(0)\cosh |\omega _{1}|t+\left({\dot {x}}(0)+{{1} \over {2}}\Gamma x(0)\right){{\sinh |\omega _{1}|t} \over {|\omega _{1}|}}\right]$

(3.18)

Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru (3.3), który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t" i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z Γ jako czynnik w (3.12) możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest:

$\langle E(t)\rangle ={{1} \over {2}}M\langle {\dot {x}}^{2}\rangle +{{1} \over {2}}\omega _{0}^{2}\langle x^{2}(t)\rangle ={{1} \over {2}}Me^{-\Gamma t}\left[\omega _{1}^{2}\langle (A\cos \omega _{1}t-B\sin \omega _{1}t)^{2}\rangle +\omega _{0}^{2}\langle (A\sin \omega _{1}t+\cos \omega _{1}t)^{2}\rangle \right]=$
$=\underbrace {{{1} \over {2}}M(\omega _{1}^{2}+\omega _{0}^{2})\left({{1} \over {2}}A^{2}+{{1} \over {2}}B^{2}\right)} _{E_{0}}e^{-t\Gamma }=E_{0}e^{-t\Gamma }=E_{0}e^{-{{t} \over {\tau }}}$

(3.19)

Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej

Każdą siłę wymuszającą okresową możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym φ(ω) o amplitudzie F(ω), która ta całkowita siła jest przestawiona:

$F(t)=\sum _{\omega }F(\omega )\cos[\omega t+\varphi (\omega )]\;$

(3.20)

W szeregu (3.20) weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy:

$F(t)=F_{0}\cos \omega t\;$

(3.21)

Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością ω, przestawiamy:

$M{\ddot {x}}(t)+M\Gamma {\dot {x}}(t)+M\omega _{0}^{2}x(t)=F_{0}\cos \omega t\;$

(3.22)

Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie (3.22) jest napisana jako kombinacja funkcji sinus i kosinus:

$x(t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t\;$

(3.23)

Wzór (3.23) podstawiamy do równania różniczkowego (3.22) otrzymując tożsamość:

$-M\omega ^{2}\left(A\sin \omega t+Bcos\omega t\right)+M\Gamma \omega (A\cos \omega t-B\sin \omega t)+M\omega _{0}^{2}(A\sin \omega t+B\cos \omega t)=F_{0}\cos \omega t\;$

(3.24)

Równanie (3.24) możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości:

$\sin \omega t\left(-AM\omega ^{2}-BM\Gamma \omega +AM\omega _{0}^{2}\right)+\cos \omega t\left(-MB\omega ^{2}+MA\Gamma \omega +M\omega _{0}^{2}B-F_{0}\right)=0\;$

(3.25)

Równanie (3.25) jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B:

${\begin{cases}-AM\omega ^{2}-BM\Gamma \omega +AM\omega _{0}^{2}=0\\-MB\omega ^{2}+MA\Gamma \omega +M\omega _{0}^{2}B-F_{0}=0\end{cases}}\;$

(3.26)

Z pierwszego równania (3.26) możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej ω₀, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia Γ, którego równanie jest:

$B=A{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {\Gamma \omega }}\;$

(3.27)

Tożsamość (3.27) możemy podstawić do drugiego równania układu równań (3.26), z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A:

$M(\omega _{0}^{2}-\omega _{0}^{2})A{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {\Gamma \omega }}+MA\Gamma \omega -F_{0}=0\;$

(3.28)

Z tożsamości (3.28) możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych ω₀ i drgań wymuszonych ω:

$A={{F_{0}} \over {M}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.29)

Równanie przestawione wzorem (3.29) jest to wzór na amplitudę absorpcyjną . Wzór na A (3.29) podstawiamy do (3.27), w ten sposób otrzymujemy równość:

$B={{F_{0}} \over {M}}{{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.30)

Równanie na stałą B (3.30) nazywamy równaniem na amplitudę elastyczną . Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile F₀cosωt pomnożonej przez ${\dot {x}}(t)\;$ i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa:

$P={{1} \over {2}}F_{0}\omega A_{ab}\;$

(3.31)

A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy F₀ drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający:

$P=F_{0}\langle \cos \omega t(\omega A_{abs}\cos \omega t+\omega -A_{el}\sin \omega t)\rangle =F_{0}\omega \left[A_{abs}\langle \cos ^{2}\omega t\rangle +A_{el}\langle \cos \omega t\sin \omega t\rangle \right]={{1} \over {2}}F_{0}\omega A_{ab}\;$

(3.32)

Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej A_el, absorpcyjnej A_ab, współczynnika Γ i masy drgającej M:

$P_{t}=M\Gamma \langle {\dot {x}}_{s}^{2}\rangle ={{1} \over {2}}M\Gamma \omega ^{2}\left[A_{ab}^{2}+A_{el}^{2}\right]\;$

(3.33)

Można udowodnić, że wzór (3.33) za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi (3.31). Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu:

$E={{1} \over {2}}M\langle {\dot {x}}^{2}\rangle +{{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}\langle x_{s}^{2}\rangle +{{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}={{1} \over {2}}M\left(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}\right)\left[{{1} \over {2}}A_{ab}^{2}+{{1} \over {2}}A_{el}^{2}\right]\;$

(3.34)

Rezonans

Wzór (3.31) możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla ω=ω₀, by było P(ω₀)=P₀:

$P=P_{0}{{\Gamma ^{2}\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.35)

Stała proporcjonalności P₀ została tak dobrana, by dla ω=ω₀, całkowita moc promieniowania była równa P₀. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione:

$(\omega _{0}^{2}-\omega )^{2}=\Gamma ^{2}\omega ^{2}\Rightarrow \omega _{0}^{2}-\omega =\pm \Gamma \omega \Rightarrow \omega ^{2}\pm \Gamma \omega -\omega _{0}^{2}=0\;$

(3.36)

Z równości podanej w punkcie (3.36) możemy wyznaczyć częstotliwość ω w zależności od częstotliwości podstawowej ω₀ i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest:

$\omega ={{\pm \Gamma \pm {\sqrt {\Gamma ^{2}+4\omega ^{2}}}} \over {2}}\Rightarrow \omega =\pm {\sqrt {\omega _{0}^{2}+{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}}}\pm {{1} \over {2}}\Gamma$

(3.37)

Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie (3.37) możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem:

$\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}+{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}}}\pm {{1} \over {2}}\Gamma \;$

(3.38)

Wyrażenie z plusem (3.38) możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową:

$\Delta \omega ={{1} \over {2}}\Gamma +{{1} \over {2}}\Gamma \Rightarrow \Delta \omega =\Gamma \Rightarrow (\Delta \omega )_{rez}\tau _{swob}=1\;$

(3.39)

Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości

(Rys. 3.1) Rezonans dla oscylatora wymuszonego, kiedy oscylator harmoniczny jest poddawany sile wymuszającej F(t)=F₀cosωt

Amplituda elastyczna jest dana wzorem (3.29), a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy:

${{A_{el}} \over {A_{ab}}}={{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \over {\Gamma \omega }}\;$

(3.40)

Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu:

$x(t)\simeq A_{el}\cos \omega t\simeq {{F_{0}\cos \omega t} \over {M(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\;$

(3.41)

Krzywe rezonansowe

Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną:

$A_{ab}(\omega )=A_{ab}(\omega _{0}){{\Gamma ^{2}\omega _{0}\omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.42)

Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej (3.30) i absorpcyjnej (3.29), wtedy:

$|A(\omega )|^{2}={{\Gamma ^{2}\omega ^{2}} \over {[(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}]^{2}}}+{{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}} \over {[(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}]^{2}}}={{1} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}=|A(\omega _{0})|^{2}{{\Gamma ^{2}\omega _{0}^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.43)

Energię oscylacji określamy według wzoru (3.31), która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej (3.30), piszemy ją:

$P(\omega )={{1} \over {2}}F_{0}\omega A_{ab}={{1} \over {2}}F_{0}\omega {{\Gamma \omega } \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}={{F_{0}} \over {2\Gamma }}{{\Gamma ^{2}\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}=P(\omega _{0}){{\Gamma ^{2}\omega ^{2}} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.44)

Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru (3.34), do której wykorzystamy wzór (3.43), w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość:

$E(\omega )=E(\omega _{0}){{{{1} \over {2}}\Gamma ^{2}\left(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}\right)} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.45)

W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych:

$D=(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}=(\omega _{0}-\omega )^{2}(\omega _{0}+\omega )^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}\;$

(3.46)

Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość ω jest bliska ω₀, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi Γ<<ω₀, przy pomocy tychże dysput sumę ω₀+ω możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2ω₀, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji (3.46):

$D\simeq 4\omega _{0}^{2}\left[(\omega _{0}-\omega )^{2}+{{\Gamma ^{2}} \over {4}}\right]\;$

(3.47)

Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(ω), który jest tak dobrany by dla ω₀ był równy jeden, czyli zachodziło R(ω₀)=1:

$R(\omega )={{\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}} \over {(\omega _{0}-\omega )^{2}+\left({{1} \over {2}}\Gamma \right)^{2}}}\;$

(3.48)

Funkcja (3.48) jest funkcją parzystą ze względu na ω₀-ω, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić $\omega _{0}-\omega =\mp {{1} \over {2}}\Gamma \;$, co z tego możemy wywnioskować $\omega =\omega _{0}\pm {{1} \over {2}}\Gamma \;$, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa Γ. Funkcja R(ω) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast ω i ω₀ są zastępowane tam kolejno przez $E=\hbar \omega \;$ i $E_{0}=\hbar \omega _{0}\;$.

Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione

Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania (3.23), która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego (3.22), a dla równania jednorodnego (3.2), którego rozwiązaniem jest (3.11), to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy:

$x(t)=A_{ab}\sin \omega t+A_{el}\cos \omega t+e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\left(A_{1}\sin \omega _{1}t+B_{1}\cos \omega _{1}t\right)\;$

(3.49)

Częstotliwość ω₁ we wzorze (3.49) jest to wielkość opisana wzorem (3.10).

Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym

Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić B₁=A_el. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-Γ t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy ${\dot {x}}(0)=\omega A_{ab}+\omega _{1}A_{1}\;$, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy A₁=-A_ab, czyli powinno chodzić:

${\dot {x}}(0)=(\omega -\omega _{1})A_{ab}\;$

(3.50)

co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu ω=ω₁, lub gdy A_ab=0, co implikuje Γ=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy:

$x(t)=A_{ab}\left(\sin \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega _{1}t\right)+A_{el}\left(\cos \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\right)\;$

(3.51)

Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli ω=ω₁, wtedy na podstawie (3.49) możemy powiedzieć, że zachodzi własność:

$x(t)=\left[1-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right]\left(A_{ab}\sin \omega t+A_{el}\cos \omega t\right)=\left[1-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right]x_{s}(t)\;$

(3.52)

Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia

Tutaj kładziemy Γ=0, wtedy amplituda absorpcyjna A_ab jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną (3.29) jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych ω₀ i częstotliwości drgań wymuszonych ω:

$A_{el}={{F_{0}} \over {M}}{{1} \over {\omega _{0}-\omega ^{2}}}\;$

(3.53)

Wtedy położenie masy M (3.51), przy powyżej kładzionych warunkach, i wzoru na amplitudę ellastyczną (3.53), piszemy:

$x(t)={{F_{0}} \over {M}}{{\cos \omega t-\cos \omega _{0}t} \over {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\;$

(3.54)

Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią $\omega _{sr}={{1} \over {2}}(\omega _{0}+\omega )\;$ i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną $\omega _{mod}={{1} \over {2}}(\omega _{0}-\omega )\;$, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy:

$x(t)=A_{mod}(t)\sin \omega _{sr}t\;,$

(3.55)

$A_{mod}={{F_{0}} \over {M}}{{2\sin {{1} \over {2}}(\omega _{0}-\omega )t} \over {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\;$

(3.56)

Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie (3.56) jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych ω₀ i częstotliwości drgań wymuszonych:

$E(t)=E_{0}\sin ^{2}{{1} \over {2}}(\omega _{0}-\omega )t={{1} \over {2}}E_{0}\left[1-\cos(\omega _{0}-\omega )t\right]\;$

(3.57)

Gdy częstotliwość ω jest równa częstotliwości podstawowej ω₀, to wtedy położenie ciała (3.53) możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej:

$x(t)={{F_{0}t} \over {M}}\sin \omega _{0}t\lim _{\omega \rightarrow \omega _{0}}{{\sin {{1} \over {2}}(\omega _{0}-\omega )t} \over {{{1} \over {2}}\left(\omega _{0}-\omega \right)t(\omega _{0}+\omega )}}={{1} \over {2}}{{F_{0}t} \over {M\omega _{0}}}\sin \omega _{0}t\;$

(3.58)

Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie

Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze (3.51) w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej ω₀, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru:

${\dot {x}}(t)=A_{ab}\left(\omega \cos \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\omega _{1}\cos \omega _{1}t\right)-A_{el}\left(\omega \sin \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\omega _{1}\sin \omega _{1}t\right)\simeq \;$
$\simeq \omega _{0}\left[A_{ab}\left(\cos \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\right)-A_{el}\left(\sin \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega _{1}t\right)\right]\;$

(3.59)

Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu (3.59) i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu (3.51):

$E(t)={{1} \over {2}}M{\dot {x}}+{{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}x^{2}={{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}{\Bigg \{}\left[A_{ab}\left(\cos \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\right)-A_{el}\left(\sin \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega _{1}t\right)\right]^{2}+\;$
$+\left[A_{ab}\left(\sin \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega _{1}t\right)+A_{el}\left(\cos \omega t-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\right)\right]^{2}{\Bigg \}}={{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}{\Bigg (}A_{ab}^{2}\cos ^{2}\omega t+A_{ab}^{2}e^{-\Gamma t}\cos ^{2}\omega _{1}t+\;$
$+A_{el}^{2}\sin ^{2}\omega t+A_{el}^{2}e^{-\Gamma t}\sin ^{2}\omega _{1}t-2A_{ab}^{2}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega t\cos \omega _{1}t-2A_{ab}A_{el}\cos \omega t\sin \omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega t\sin \omega _{1}t+\;$
$+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega _{1}t\sin \omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\cos \omega _{1}t\sin \omega _{1}t+2A_{el}^{2}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega t\sin \omega _{1}t+$
$+A_{ab}^{2}\sin ^{2}\omega t+A_{ab}^{2}e^{-\Gamma t}\sin ^{2}\omega _{1}t+A_{el}^{2}\cos ^{2}\omega t+A_{el}^{2}e^{-\Gamma t}\cos ^{2}\omega _{1}t-2A_{ab}^{2}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma }\sin \omega t\sin \omega _{1}t+2A_{ab}A_{el}\sin \omega t\cos \omega t+$
$-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega t\cos \omega _{1}t-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\sin \omega _{1}t\cos \omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\sin \omega _{1}t\cos \omega _{1}t-2A_{el}^{2}e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos \omega t\cos \omega _{1}t{\Bigg )}=\;$
$={{1} \over {2}}M\omega _{0}^{2}\left[A_{ab}^{2}+A_{el}^{2}+(A_{ab}^{2}+A_{el}^{2})e^{-\Gamma t}-2(A_{ab}^{2}+A_{el}^{2})e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos(\omega -\omega _{1})t\right]=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\cos(\omega -\omega _{1})t\right]\;$

(3.60)

Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania (3.60) jest:

$E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right]=E\left(1-e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right)^{2}\;$

(3.61)

Kres górny rozwiązania (3.57) na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać:

$E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}+2e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right]=E\left(1+e^{-{{1} \over {2}}\Gamma t}\right)^{2}\;$

(3.62)

(Rys. 3.2) Energia oscylacji rośnie od zera i wykonuje przejściowe dudnienia, tzn. energia oscyluje pomiędzy drganiami wymuszającymi, a drganiami swobodnymi, by na samym końcu osiągnąć energię E odpowiadającego drganiom stacjonarnym.

Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą ω, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu (3.22) przy współczynniku tłumienia Γ.

Rezonans o dwóch stopniach swobody

Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych

(Rys. 3.3) Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych a) stan równowagin B) układ w stanie drgań

Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą F₀cosωt, to równania ruchu takiego układu są przestawione:

${\begin{cases}M{\ddot {\psi }}_{a}=-{{Mg} \over {l}}\psi _{a}-K(\psi _{a}-\psi _{b})-M\Gamma {\dot {\psi }}_{a}+F_{0}\cos \omega t\\M{\ddot {\psi }}_{b}=-{{Mg} \over {l}}\psi _{b}+K(\psi _{a}-\psi _{b})-M\Gamma {\dot {\psi }}_{b}\end{cases}}\;$

(3.63)

Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań:

${\begin{cases}M({\dot {\psi }}_{a}+{\dot {\psi }}_{b})=-{{Mg} \over {l}}(\psi _{a}+\psi _{b})+F_{0}\cos \omega t\\M({\ddot {\psi }}_{a}-{\ddot {\psi }}_{b})=-M\left({{g} \over {l}}+{{2K} \over {M}}\right)(\psi _{a}-\psi _{b})+F_{0}\cos \omega t\\\end{cases}}\;$

(3.64)

Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie (1.125) i (1.127).

(Rys. 3.4) Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.

Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór (3.23), którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych (3.29):

$A_{ab}={{F_{0}} \over {M}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{01}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}+{{F_{0}} \over {M}}{{\Gamma \omega } \over {(\omega _{02}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.65)

A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie (3.65), która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie (3.30):

$A_{el}={{F_{0}} \over {M}}{{\omega _{01}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{01}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}+{{F_{0}} \over {M}}{{\omega _{02}^{2}-\omega ^{2}} \over {(\omega _{02}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\;$

(3.66)

Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody

Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania (2.86), które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy.

$M{{d^{2}\psi _{n}(t)} \over {dt^{2}}}=-Mg{{\psi _{n}} \over {l}}+K(\psi _{n+1}-\psi _{n})-K(\psi _{n}-\psi _{n-1})\;$

(3.67)

Załóżmy, że funkcja ψ_n jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją ψ dla n, n+1 i n-1:

$\psi _{n}(t)=\psi (z,t)\;$

(3.68)

$\psi _{n+1}(t)=\psi (z+a,t)+\psi (z,t)+a{{1} \over {2}}{{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}+{{1} \over {2}}a^{2}{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}+...\;$

(3.69)

$\psi _{n-1}(t)=\psi (z-a,t)+\psi (z,t)-a{{1} \over {2}}{{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}+{{1} \over {2}}a^{2}{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}+...\;$

(3.70)

Na podstawie (3.68), (3.69) i można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1:

Równości i możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego , w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję ψ, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający:

Równanie Kliena-Gordona

Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja: A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki:

Wykorzystując tożsamości i i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej , wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z):

Fale sinusoidalne

Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem dla której definicja stałej k², która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej ω i częstotliwości podstawowej ω₀, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe:

wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B: Stałe A i B występujące w równaniu są to stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Fale eksponencjalne

Są to fale opisywane na podstawie , dla którego definicję stałej χ², która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań ω₀ i częstotliwości wymuszonej ω, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali:

Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego: Stałe A i B występujące w równaniu są stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Związki dyspersyjne

Związki i możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "χ", które te związki piszemy:

Ośrodkiem dyspersyjnym nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a ośrodkiem reaktywnym nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej.

Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek

Równanie rózniczkowe różnicowe możemy zapisać wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego ω₀, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n: Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu ωt+φ, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego φ, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę A_n: Wzór na wychylenia od stanu równowagi podstawiamy do , w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na ω, wtedy:

Zakres dyspersyjny częstości

Amplituda A_n możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja: Definicja amplitud A_n+1 i A_n-1, na podstawie definicji A_n (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1) wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud:

Zapiszmy sumę amplitud A_n+1 i A_n-1, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości i , by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n: Obliczenia podstawiamy do przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy:

Dolny zakresy reaktywny częstości

Amplitudę A_n dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci: Wtedy suma amplitud A_n+1 i A_n-1 możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości , by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n: Obliczenia możemy podstawić do równości , w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych: Wzór możemy zapisać w formie podobnej do przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej:

Górny zakres reaktywny

Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja: Wtedy suma amplitud A_n+1 i A_n-1 możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości , by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n: Obliczenia możemy podstawić do równości , w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej: