Fale/Dyfrakcja jako superpozycja bardzo dużej liczby fal

Dyfrakcja jako superpozycja bardzo dużej liczby fal

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka.

Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych

Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł.

(Rys. 9.1) Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L_1p przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali

Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego:

$L_{2p}^{2}=L_{1P}^{2}+d^{2}\;$

(9.1)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z (9.1):

$L_{2P}^{2}-L_{1P}^{2}=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^{2}\;$

(9.2)

Interesuje nas przypadek, gdy L_2P i L_1P są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza ${{1} \over {2}}\lambda \;$, wtedy obliczenia (9.2) można dokończyć przy naszych dysputach według schematu:

$d^{2}=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1} \over {2}}\lambda (L_{0}+L_{0})\;$

(9.3)

Patrząc na wzór (9.3) można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy:

$L_{0}\lambda \simeq d^{2}\;$

(9.4)

Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej

Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego wykorzystując wzór (7.131) jest napisana w zależności od czasu:

$E(t)=-{{q{\ddot {y}}(t^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}={{q\omega ^{2}\cos(\omega t^{'}+\varphi )} \over {4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}\;$

(9.5)

Widzimy na podstawie (9.5) dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest:

$E(t)=A(r)\cos(\omega t^{'}+\varphi )=A(r)\cos \omega (t-{{r} \over {c}})\;$

(9.6)

$A(r)={{\omega ^{2}}qy_{0} \over {4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}\;$

(9.7)

Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N.

Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych

(Rys. 9.2) Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł

Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r₂, a r₁ jest równa Δs, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy:

$\Delta s=d\sin \theta \;$

(9.8)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci:

${{\Delta \phi } \over {\Delta s}}={{2\pi } \over {\lambda }}\Rightarrow \Delta \phi =\Delta s{{2\pi } \over {\lambda }}=2\pi {{d\sin \theta } \over {\lambda }}\;$

(9.9)

Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin

Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek:

$E(r,\theta ,t)=E_{1}+E_{2}=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi )+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi -\Delta \phi )=2A(r)\cos(\omega t+\varphi -\Delta \phi )\cos \pi {{d\sin \theta } \over {\lambda }}\;$

(9.10)

Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy:

$\pi {{d\sin \theta } \over {\lambda }}=m\pi \Rightarrow d\sin \theta =n\lambda \;$

(9.11)

Fala napisana wzorem (9.10), aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione:

$\pi {{d\sin \theta } \over {\lambda }}={{\pi } \over {2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin \theta =\left(m+{{1} \over {2}}\right)\lambda \;$

(9.12)

Warunek spójności dwóch źródeł

(Rys. 9.3) Spójność wielu źródeł

Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć:

$\sin \theta ={{D} \over {L}}\;$

(9.13)

Wzór (9.13) podstawiamy do (9.11) dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$d{{D} \over {L}}=\lambda \Rightarrow dD=\lambda L\;$

(9.14)

W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego (9.14), zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy:

$dD<<\lambda L\;$

(9.15)

Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym

(Rys. 9.4) N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową

Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy:

$E=A(r)\cos(\omega t-kr_{1})+A(r)\cos \omega t-kr_{2})+...+A(r)\cos(\omega t-kr_{N})\;$

(9.16)

Superpozycję fali zapisaną w punkcie (9.16) możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest:

$E_{c}(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_{1}}+e^{ikr_{2}}+...+e^{ikr_{N}}\right)\;$

(9.17)

Poszczególne odległości r₁, r₂,..,r_N piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania θ i odległości między szczelinami:

${\begin{matrix}r_{2}=r_{1}+d\sin \theta \\r_{3}=r_{1}+2d\sin \theta \\\cdots \\r_{N}=r_{1}+(N-1)d\sin \theta \end{matrix}}\;$

(9.18)

Wzory (9.18) wsadzamy do tożsamości (9.17), stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy;

$E_{c}=A(r)e^{i(\omega t-kr_{1})}\left(1+e^{ik(r_{2}-r_{1})}+e^{ik(r_{3}-r_{1})}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_{1})}\right)=A(r)e^{i(\omega t-kr_{1})}\left(1+e^{d\sin \theta }+e^{2d\sin \theta }+...+e^{(N-1)d\sin \theta }\right)$

(9.19)

Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz $q=e^{d\sin \theta }\;$, w ten sposób (9.19) przyjmuje postać:

$E_{c}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_{1})}{{e^{iNkd\sin \theta }-1} \over {e^{idk\sin \theta }-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_{1})}{{e^{i{{1} \over {2}}Ndk\sin \theta }} \over {e^{i{{1} \over {2}}dk\sin \theta }}}{{e^{i{{1} \over {2}}Ndk\sin \theta }-e^{-i{{1} \over {2}}Ndk\sin \theta }} \over {e^{i{{1} \over {2}}dk\sin \theta }-e^{-i{{1} \over {2}}dk\sin \theta }}}\;$
$=A(r)e^{-i(\omega t-kr_{1})}e^{i{{1} \over {2}}k(N-1)d\sin \theta }{{\sin k{{1} \over {2}}Nd\sin \theta } \over {\sin k{{1} \over {2}}d\sin \theta }}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_{1}-{{1} \over {2}}k(N-1)d\sin \theta )}{{\sin k{{1} \over {2}}Nd\sin \theta } \over {\sin k{{1} \over {2}}d\sin \theta }}\;$

(9.20)

Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D

Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru (9.17), że wypadkową amplitudę piszemy jako:

$A(r,\theta )=A(r)\lim _{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1} \over {2}}Nd\sin \theta } \over {\sin k{{1} \over {2}}d\sin \theta }}=A(r)N\lim _{d\rightarrow 0}{{\sin {{1} \over {2}}kD\sin \theta } \over {{{1} \over {2}}kNd\sin \theta }}=A(r,0){{\sin {{1} \over {2}}kD\sin \theta } \over {{{1} \over {2}}D\sin \theta }}\;$

(9.21)

(Rys. 9.5) Amplituda drgań i amplituda natężenia fali

Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (9.21) i na podstawie definicji naszego przemieszczenia (9.17) jest określone:

$E_{c}(r,\theta )=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1} \over {2}}kD\sin \theta )}{{\sin {{1} \over {2}}kD\sin \theta } \over {{{1} \over {2}}D\sin \theta }}\;$

(9.22)

Według obliczeń (9.22) możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy:

$I(r,\theta )=I_{max}{{\sin ^{2}{{1} \over {2}}D\sin \theta } \over {{{1} \over {2}}D\sin \theta }}\;$

(9.23)

Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki

Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od $\theta =-{{1} \over {2}}{{\lambda } \over {D}}\;$ do $\theta ={{1} \over {2}}{{\lambda } \over {D}}\;$ i jego wartość określona jest przez:

$\Delta \theta =\left({{1} \over {2}}{{\lambda } \over {D}}\right)-\left(-{{1} \over {2}}{{\lambda } \over {D}}\right)={{\lambda } \over {D}}\;$

(9.24)

Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był $k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\;$, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k_x=k cosθ, a k_z=kcosθ i na samym końcu k_y, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu:

$k_{x}=k\sin \theta \simeq k\theta \;$

(9.25)

Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów (9.23) i (9.24) zastępując D przez Δx, jest:

$\Delta k_{x}\simeq d\Delta \theta \simeq k{{\lambda } \over {D}}={{2\pi } \over {D}}\Rightarrow \Delta k_{x}D\simeq 2\pi \Rightarrow \Delta k_{x}\Delta x\simeq 2\pi \;$

(9.26)

Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki:

$\Delta k_{x}\Delta x\geq 2\pi \;$

(9.27)

$\Delta k_{y}\Delta y\geq 2\pi \;$

(9.28)

$\Delta k_{z}\Delta z\geq 2\pi \;$

(9.29)

$\Delta \omega \Delta t\geq 2\pi \;$

(9.30)

Optyka geometryczna

Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej

(Rys. 9.6) Obicie fali płaskiej od płaszczyzny

Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według:

$\Delta s=d\sin \alpha -d\sin \beta =d(\sin \alpha -\sin \beta )\;$

(9.31)

Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:

${{\Delta \phi } \over {\Delta s}}={{2\pi } \over {\lambda }}\Rightarrow \Delta \phi ={{2\pi } \over {\lambda }}(\sin \alpha -\sin \beta )\;$

(9.32)

Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle:

$\psi _{1}=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta _{0})}\;$

(9.33)

$\psi _{2}=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta _{0}-\Delta \phi )}\;$

(9.34)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (9.33) do (9.34), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych:

$\psi =\psi _{1}+\psi _{2}=A\left(e^{-i\left(\omega t-ks+\delta _{0}\right)}+e^{-i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-\Delta \phi \right)}\right)=Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta \phi } \over {2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\right)=\;$
$=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\cos \left({{\Delta \phi } \over {2}}\right)=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\cos \left[{{\pi } \over {\lambda }}d\left(\sin \alpha -\sin \beta \right)\right]\;$

(9.35)

W wyrażeniu (9.58) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest $m\pi \;$, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

${{\pi } \over {\lambda }}d(\sin \alpha -\sin \beta )=m\pi \Rightarrow d(\sin \alpha -\sin \beta )=m\lambda \Rightarrow \sin \alpha -\sin \beta =m{{\lambda } \over {d}}\;$

(9.36)

Przyjmujemy, że λ>d, wtedy $m{{\lambda } \over {d}}>1\;$, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie (9.36) dostajemy α=β. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania.

Załamanie fali płaskiej

Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami:

$AB=d\sin \alpha \;$

(9.37)

$DC=d\sin \beta \;$

(9.38)

Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:

$\Delta \phi ={{2\pi } \over {\lambda _{1}}}d\sin \alpha -{{2\pi } \over {\lambda _{1}}}d\sin \beta =\omega \left({{1} \over {v_{1}}}d\sin \alpha -{{1} \over {v_{2}}}d\sin \beta \right)={{\omega d} \over {c}}\left(n_{1}\sin \alpha -n_{2}\sin \beta \right)$

(9.39)

(Rys. 9.7) Zjawisko załamania fali płaskiej

Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje (9.33) i (9.34), zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle:

$\psi =\psi _{1}+\psi _{2}=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta _{0})}+e^{-i(\omega t-ks+\delta _{0}-\Delta \phi )}\right)=\;$
$=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}})}\left(e^{i({{\Delta \phi } \over {2}})}+e^{i(-{{\Delta \phi } \over {2}})}\right)=2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}})}\cos \left({{\Delta \phi } \over {2}}\right)=\;$
$=2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}})}\cos \left[{{\omega d} \over {2c}}\left(n_{1}\sin \alpha -n_{2}\sin \beta \right)\right]\;$

(9.40)

W wyrażeniu (9.37) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest $m\pi \;$, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

${{\omega d} \over {2c}}\left(n_{1}\sin \alpha -n_{2}\sin \beta \right)=m\pi \Rightarrow n_{1}\sin \alpha -n_{2}\sin \beta =m\pi {{2c} \over {\omega d}}\;$

(9.41)

Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości (9.41) prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek:

$n_{1}\sin \alpha -n_{2}\sin \beta =0\Rightarrow n_{1}\sin \alpha =n_{2}\sin \beta \;$

(9.42)

Prawo opisane wzorem (9.40) nazywamy prawem załamania Snelliusa.

Zasada Fermata a prawo odbicia

(Rys. 9.8) Zasada Fermata prawo odbicia

Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach y₁, y₂:

$t={{1} \over {c}}{\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}+{{1} \over {c}}{\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}\;$

(9.43)

Zróżniczkujmy obie strony równości (9.43) i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x₁=L-x₂.

$0=-{{x_{1}} \over {\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}}dx_{2}+{{x_{2}} \over {\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}}dx_{2}\;$

(9.44)

Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski:

${{x_{1}} \over {\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}}=\sin \alpha \;$

(9.45)

${{x_{2}} \over {\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}}=\sin \beta \;$

(9.46)

Wykorzystując tożsamości trygonometryczne (9.45) i (9.46), które podstawiamy do (9.44), otrzymujemy:

$-\sin \alpha dx_{2}+\sin \beta dx_{2}=0\Rightarrow \sin \alpha =\sin \beta \;$

(9.47)

W końcowym wniosku w zasadzie Fermata (9.47) wnioskujemy równość kątów α i β, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia.

Prawo załamania fali a zasada Fermata

(Rys. 9.9) Prawo załamania fali a zasada Fermata

Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n₁ padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n₂, jest wyrażony przy pomocy stałych y₁, y₂:

$t={{1} \over {v_{1}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}+{{1} \over {v_{2}}}{\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}\;$

(9.48)

Zróżniczkujmy obie strony równości (9.48) i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x₁=L-x₂:

$0=-{{1} \over {v_{1}}}{{x_{1}} \over {\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}}dx_{2}+{{1} \over {v_{1}}}{{x_{2}} \over {\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}}dx_{2}\;$

(9.49)

Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski:

${{x_{1}} \over {\sqrt {y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}}=\sin \alpha \;$

(9.50)

${{x_{2}} \over {\sqrt {y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}}=\sin \beta \;$

(9.51)

Wykorzystując tożsamości trygonometryczne (9.50) i (9.51), które podstawiamy do (9.49), w ten sposób otrzymujemy równość:

$0=-{{1} \over {v_{1}}}\sin \alpha +{{1} \over {v_{2}}}\sin \beta \Rightarrow {{c} \over {v_{1}}}\sin \alpha ={{c} \over {v_{2}}}\sin \beta \Rightarrow n_{1}\sin \alpha =n_{2}\sin \beta \;$

(9.52)

Wzór końcowy wynikający z obliczeń (9.52) jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania.

Zwierciadło wklęsłe

(Rys. 9.10) Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu

Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem α, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h_x przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu:

$h_{1}=h_{x}-\alpha x\;$

(9.53)

Kąt γ według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h₁ napisaną wzorem (9.15) przez promień krzywizny zwierciadła R.

${{h_{1}} \over {R}}=\gamma \Rightarrow \gamma ={{h_{x}-\alpha x} \over {R}}\;$

(9.54)

Całkowity kąt β jest równy sumie kata α i γ, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie:

$\beta =\alpha +\gamma =\alpha +{{h-\alpha x} \over {R}}={{h_{x}+(R-x)\alpha } \over {R}}\;$

(9.55)

Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów β i γ, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu:

${{h_{y}+h_{1}} \over {y}}=\beta +\gamma \Rightarrow {{h_{y}+h_{x}-\alpha x} \over {y}}={{h_{x}+(R-x)\alpha } \over {R}}+{{h_{x}-\alpha x} \over {R}}\;$

(9.56)

Załóżmy, że mamy dwa wzory (9.56), dla różnych α, tzn. dla α₁ i α₂ i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez α₁-α₂, otrzymując w ten sposób tożsamość:

$-{{x} \over {y}}={{R-x} \over {R}}-{{x} \over {R}}\Rightarrow -{{x} \over {y}}={{R-2x} \over {R}}\Rightarrow -{{x} \over {y}}=1-{{2x} \over {R}}\Rightarrow {{1} \over {x}}+{{1} \over {y}}={{2} \over {R}}\;$

(9.57)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez:

${{1} \over {x}}+{{1} \over {y}}={{1} \over {f}}\;$

(9.58)

$f={{R} \over {2}}\;$

(9.59)

Wzór (9.58) podstawiamy do (9.56), w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu:

$\left(h_{y}+h_{x}-\alpha x\right){{1} \over {y}}=\alpha +{{2} \over {R}}\left(h_{x}-\alpha x\right)\Rightarrow \left(h_{y}+h_{x}-\alpha x\right){{1} \over {y}}=\alpha +\left({{1} \over {x}}+{{1} \over {y}}\right)\left(h_{x}-\alpha x\right)\Rightarrow {{h_{y}} \over {y}}=\alpha +{{1} \over {x}}(h_{x}-\alpha x)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{h_{y}} \over {y}}={{h_{x}} \over {x}}\Rightarrow {{h_{y}} \over {h_{x}}}={{y} \over {x}}$

(9.60)

Soczewka dwuwypukła

Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R₁ i R₂, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu.

(Rys. 9.11) Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.

W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tgα≈sinα≈α, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h₁≈h₃. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h_x. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry.

$h_{1}=h_{x}+h_{2}=h_{x}+x\alpha \;$

(9.61)

Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R₁, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu:

$\gamma =\alpha +\beta =\alpha +{{h_{1}} \over {R_{1}}}=\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\;$

(9.62)

Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R₁ jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia:

$\omega n_{2}=\gamma n_{1}\Rightarrow \omega ={{n_{1}} \over {n_{2}}}\gamma ={{n_{1}} \over {n_{2}}}\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\right)\;$

(9.63)

Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R₂, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni:

$\pi =\omega +\psi +\theta \Rightarrow \psi =\pi -\omega -\theta \Rightarrow \psi =\pi -{{n_{1}} \over {n_{2}}}\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\right)-\pi +\beta +\eta =-{{n_{1}} \over {n_{2}}}\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\right)+{{h_{2}} \over {R_{1}}}+{{h_{1}} \over {R_{2}}}=\;$
$=-{{n_{1}} \over {n_{2}}}\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\right)+(h_{x}+x\alpha )\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.64)

Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R₂ jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania (9.49) dla małych katów padania i załamania:

$\tau n_{1}=n_{2}\psi \rightarrow \tau ={{n_{2}} \over {n_{1}}}\psi =-\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\right)+{{n_{2}} \over {n_{1}}}(h_{x}+x\alpha )\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.65)

Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór:

$\phi =\tau -\nu =\tau -{{h_{3}} \over {R_{1}}}=\tau -{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}=-\left(\alpha +{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{2}}}\right)+{{n_{2}} \over {n_{1}}}(h_{x}+x\alpha )\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)-{{h_{x}+x\alpha } \over {R_{1}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \phi =-\alpha +(h_{x}+x\alpha )\left({{n_{2}} \over {n_{1}}}-1\right)\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.66)

Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki:

${{h_{3}+h_{y}} \over {y}}=\phi \Rightarrow {{h_{x}+x\alpha +h_{y}} \over {y}}=-\alpha +(h_{x}+x\alpha )\left({{n_{2}} \over {n_{1}}}-1\right)\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.67)

Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości h_x pod kątami: α₁ i α₂, tworzymy w ten sposób dwa równania (9.67), które odejmiemy je od siebie i dzieląc tak powstały wzór przez α₁-α₂, otrzymujemy:

${{x} \over {y}}=-1+x\left({{n_{2}} \over {n_{1}}}-1\right)\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.68)

Z obliczeń (9.68) otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki:

${{1} \over {x}}+{{1} \over {y}}={{1} \over {f}}\;$

(9.69)

${{1} \over {f}}=\left({{n_{2}} \over {n_{1}}}-1\right)\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)\;$

(9.70)

Tożsamość (9.69) podstawiamy w miejsce (9.70) we wzorze (9.67), bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki:

${{h_{x}+x\alpha +h_{y}} \over {y}}=-\alpha +(h_{x}+x\alpha )\left({{1} \over {x}}+{{1} \over {y}}\right)\Rightarrow {{h_{x}+x\alpha } \over {y}}+{{h_{y}} \over {y}}=-\alpha +{{h_{x}} \over {x}}+\alpha +{{h_{x}+\alpha x} \over {y}}\Rightarrow {{h_{y}} \over {h_{x}}}={{y} \over {x}}\;$

(9.71)