Fale/Polaryzacja liniowa, kołowa, eliptyczna fal

Polaryzacja liniowa, kołowa, eliptyczna fal

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Wstęp do opisu polaryzacji

Dla wszystkich ruchów falowych badaliśmy przemieszczenie, które określamy przy pomocy pewnej funkcji względem położenia równowagi. W ogólnym przypadku przemieszczenie określamy jako funkcje z "x","y","z", czyli ${\vec {\psi }}(x,y,z)\;$. Zwykle badamy fale płaskie, które określamy jako funkcje ψ(z,t), gdzie z jest liczone wzdłuż rozchodzenia się fali płaskiej, często interesującymi wielkościami są ${{\partial {\vec {\psi }}(z,t)} \over {\partial t}}\;$ i ${{\partial {\vec {\psi }}(z,t)} \over {\partial z}}\;$. Dla fal płaskich przemieszczenie będziemy określać przez wektor przemieszczenia w postaci:

${\vec {\psi }}(z,t)={\hat {x}}\psi _{x}(z,t)+{\hat {y}}\psi _{y}(z,t)+{\hat {z}}\psi _{z}(z,t)\;$

(8.1)

W przypadku fal poprzecznych wektor przemieszczenia ${\vec {\psi }}(z,t)\;$ ma tylko składowe x i y. O takich falach mówimy, że one mają polaryzacje poprzeczną. Fala dźwiękowa jest to fala mająca przemieszczenie wzdłuż osi zetowej. Nie ma poprzecznych fal dźwiękowych, chociaż możemy je sobie wyobrazić jako fale odbijające, które są jako fale podłużne odbijające się od ścianek wewnętrznych rury, i w rezultacie dla fali rozchodzącej się wzdłuż rury fala dźwiękowa oprócz składowych podłużnych mają składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna, czyli suma fal elektrycznych i magnetycznych, ma tylko składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna ma też składowe podłużne, jeśli ona rozchodzi się w falowodzie. Falą poprzeczną nazywamy falę, dla której składowa zetowa przemieszczenia nigdy nie występuje, zatem drgania poprzeczne w analogii do (8.1) są napisane:

${\vec {\psi }}(z,t)={\hat {x}}\psi _{x}(z,t)+{\hat {y}}\psi _{y}(z,t)\;$

(8.2)

Promieniowanie ładunku punktowego

Innym przykładem fali płaskiej są drgania wyemitowane w początku układu współrzędnych, które daleko od punktu emisji obserwujemy jako fale płaskie, których przemieszczenie ładunku q jako źródła fal opisujemy przez:

${\vec {\psi }}={\hat {x}}x(t)+{\hat {y}}y(t)={\hat {x}}x_{0}\cos(\omega t+\varphi _{1})+{\hat {y}}y_{0}\cos(\omega t+\varphi _{2})\;$

(8.3)

Natężenie pola elektrycznego fali (7.135) dla odległości r=z od początku układu współrzędnych wytworzone przez ładunek poruszający się z pewnym przyspieszeniem na podstawie (8.3) piszemy:

${\vec {E}}(z,t)=-{{q{\vec {a}}_{\bot }(t^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}=-{{q{\ddot {\vec {\psi }}}(t^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}zc^{2}}}={{q\omega ^{2}{\vec {\psi }}(t^{'})} \over {4\pi \epsilon _{0}zc^{2}}}={{q\omega ^{2}{\vec {\psi }}(t-{{z} \over {c}})} \over {4\pi \epsilon _{0}zc^{2}}}\;$

(8.4)

Biorąc współczynnik proporcjonalności ${{q\omega ^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}zc^{2}}}\;$, wtedy przemieszczenie fali może być uważane za natężenie pola elektrycznego w czasie przedwczesnym $t^{'}=t-{{z} \over {c}}\;$.

Polaryzacja liniowa

W przypadku drgań poprzecznych, którego drgania są tam i z powrotem, to te drgania można opisywać w dwóch niezależnych kierunkach:

${\vec {\psi }}={\hat {x}}A_{1}\cos \omega t\;$

(8.5)

${\vec {\psi }}={\hat {y}}A_{2}\cos \omega t\;$

(8.6)

Superpozycją drgań (8.5) i (8.6) w dwóch osobnych kierunkach nazywamy falę:

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A_{1}\cos \omega t+{\hat {y}}A_{2}\cos \omega t=({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\cos \omega t\;$

(8.7)

Całkowita długość drgań amplitudy opisywanej wzorem (8.7) piszemy jako pierwiastek sumy kwadratów amplitud drgających w dwóch prostopadłych kierunkach:

$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}}\;$

(8.8)

kierunkiem polaryzacji, patrząc na wzory (8.7) i (8.8), nazywamy kierunek, którego wektor jest napisany:

${\vec {e}}={{A_{1}} \over {A}}{\hat {x}}+{{A_{2}} \over {A}}{\hat {y}}\;$

(8.9)

łatwo sprawdzić, że wektor ${\vec {e}}\;$ jest wektorem jednostkowym, co wynika z prostopadłości wektorów ${\hat {x}}\;$ i ${\hat {y}}\;$, które z kolei są wektorami jednostkowymi.

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą nazywamy falę przy ustalonych płaszczyźnie drgań biegnącego w kierunku +z:

${\vec {\psi }}(z,t)=({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\cos(\omega t-kz)\;$

(8.10)

Liniowo spolaryzowana fala stojąca

Załóżmy, że mamy dwie fale biegnące w kierunku +z, a druga w kierunku -z, to superpozycja tychże fal możemy opisać:

${\vec {\psi }}(z,t)={{1} \over {2}}({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\sin(\omega t-kz)+{{1} \over {2}}({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\sin(\omega t+kz)={{1} \over {2}}({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\left(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right)=\;$
$=({\hat {x}}A_{1}+{\hat {y}}A_{2})\sin \omega t\cos kz\;$

(8.11)

Polaryzacja kołowa

(Rys. 8.1) Polaryzacja kołowa_fali przemieszczenia

Tutaj przemieszczenie fali poprzecznej ulega ruchowi kołowemu. Równanie tejże fali opisujemy przy pomocy funkcji sinus i kosinus z ωt, których drganie w kierunku ${\hat {x}}\;$ wyprzedza drganie w kierunku ${\hat {y}}\;$ o kąt 90^o;

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A\cos \omega t+{\hat {y}}A\cos \left(\omega t-{{\pi } \over {2}}\right)={\hat {x}}A\cos \omega t+{\hat {y}}A\sin \omega t\;$

(8.12)

Podobnie, gdy fala drgań w kierunku ${\hat {y}}\;$ od ${\hat {x}}\;$ wyprzedza o kąt 90^o, to fala spolaryzowana kołowo jest opisywana:

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A\cos \omega t+{\hat {y}}A\cos \left(\omega t+{{\pi } \over {2}}\right)={\hat {x}}A\cos \omega t-{\hat {y}}A\sin \omega t\;$

(8.13)

Spolaryzowana kołowo fala biegnąca

Spolaryzowana kołowo fala biegnącą nazywamy falę biegnącą w kierunku osi zetowej (+z), którego przepis jest zależny od częstotliwości kołowej ω i liczby falowej "k" :

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A\cos \left(\omega t-{{\pi } \over {2}}-kz\right)={\hat {x}}A\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A\sin(\omega t-kz)\;$

(8.14)

Spolaryzowana kołowo fala stojąca

Kołowo spolaryzowaną falę stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie (8.12) i (8.13), którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń:

${\vec {\psi }}(t)=\left[{\hat {x}}A\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A\sin(\omega t-kz)\right]+\left[{\hat {x}}A\cos(\omega t+kz)+A\sin \left(\omega t+kz\right)\right]=\;$
$=\left[{\hat {x}}A(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+{\hat {y}}A(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[{\hat {x}}A\cos \omega t+{\hat {y}}A\sin \omega t\right]\cos kz\;$

(8.15)

Polaryzacja eliptyczna

Falę spolaryzowaną eliptycznie nazywamy falę, których amplitudy drgań w kierunkach ${\hat {x}}\;$ i ${\hat {y}}\;$ mają różne wartości amplitudy i wzory na fale stojącą dla której superpozycja dwóch fali biegnących w tych samych kierunkach, ale w innych płaszczyznach, piszemy:

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A_{1}\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A_{2}\cos \left(\omega t-{{\pi } \over {2}}-kz\right)={\hat {x}}A_{1}\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A_{2}\sin(\omega t-kz)\;$

(8.16)

Eliptycznie spolaryzowana fale stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie (8.16), którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń w sposób:

${\vec {\psi }}(t)=\left[{\hat {x}}A_{1}\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}A_{2}\sin(\omega t-kz)\right]+\left[{\hat {x}}A_{1}\cos(\omega t+kz)+A_{2}\sin \left(\omega t+kz\right)\right]=\;$
$=\left[{\hat {x}}A_{1}(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+{\hat {y}}A_{2}(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[{\hat {x}}A_{1}\cos \omega t+{\hat {y}}A_{2}\sin \omega t\right]\cos kz\;$

(8.17)

Superpozycja dwóch fal o niejednakowych amplitudach

Weźmy sobie dwie fale o jednakowej częstotliwości kołowej ω i o niejednakowych amplitudach, których superpozycja jest opisywana:

${\vec {\psi }}(t)={\hat {x}}A_{1}\cos(\omega t+\phi _{1})+{\hat {y}}A_{2}\cos(\omega t+\phi _{2})\;$

(8.18)

Opiszmy falę biegnącą opisywaną według (8.18), którego będziemy rysowali na wykresach poniżej, których współrzędną iksową jest jedna z tych fali, a osią igrekową jest druga z tychże fali, dla różnych ich przesunięć fazowych:

(Rys. 8.2) Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych

Liczby zespolone w opisie fal

Zastosowanie liczb zespolonych z ilustrujmy na przykładzie fali elektromagnetycznej, a właściwie dla fali pola elektrycznego, którego superpozycja fal biegnących w dwóch prostopadłych płaszczyznach jest w postaci wektora natężenia fali pola elektrycznego, gdy te dwie fale są przesunięte względem siebie o pewne przesunięcie fazowe φ₁-φ₂, to ich superpozycja jest:

${\vec {E}}(z,t)={\hat {x}}E_{x}(z,t)+{\hat {y}}E_{y}(z,t)={\hat {x}}E_{1}\cos(\omega t-kz+\varphi _{1})+{\hat {y}}\cos(\omega t-kz+\varphi _{2})\;$

(8.19)

Równanie (8.19) możemy przestawić w postaci zespolonej, którego częścią rzeczywistą jest równanie (8.19):

${\vec {E}}_{c}=e^{-i(\omega t-kz)}\left({\hat {x}}E_{1}e^{-i\phi _{1}}+{\hat {y}}E_{2}e^{-i\phi _{2}}\right)\;$

(8.20)

Zespolone natężenie funkcji falowej możemy napisać jak superpozycja dwóch fal o funkcjach falowych ${\vec {\psi }}_{1}(z,t)\;$ i ${\vec {\psi }}_{2}(z,t)\;$:

${\vec {E}}_{c}(z,t)=A_{1}{\vec {\psi }}_{1}(z,t)+A_{1}{\vec {\psi }}_{1}(z,t)\;,$

(8.21)

Funkcje falowe ${\vec {\psi }}_{1}(z,t)\;$ i ${\vec {\psi }}_{2}(z,t)\;$ są to funkcje, których definicje są wyrysowane w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej zapisane są przy pomocy funkcji eksponencjalnej:

${\vec {\psi }}_{1}(z,t)={\hat {x}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.22)

${\vec {\psi }}_{2}(z,t)={\hat {y}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.23)

Amplitudy występujące w równaniu są to amplitudy zależne od przesunięć fazowych φ₁ i φ₂ zapisane pod funkcją eksponencjalną, jak widzimy, te amplitudy są wielkościami zespolonymi:

$A_{1}=E_{1}e^{-i\varphi _{1}}\;$

(8.24)

$A_{2}=E_{2}e^{-i\varphi }\;$

(8.25)

Superpozycja funkcji ortonormalnych

Funkcję, które opisywaliśmy w punkcie (8.22) i (8.23) są to funkcje ortonormalne i tworzą zupełną bazę ortonormalną zupełną bazowych funkcji falowych, które przestawiamy:

${\vec {\psi }}_{1}^{*}{\vec {\psi }}_{2}={\vec {\psi }}_{2}^{*}{\vec {\psi }}_{2}=1\;$

(8.26)

${\vec {\psi }}_{1}^{*}{\vec {\psi }}_{1}={\vec {\psi }}_{2}^{*}{\vec {\psi }}_{1}=0\;$

(8.27)

Aby sprawdzić, czy funkcję ${\vec {\psi }}_{1}\;$ i ${\vec {\psi }}_{2}\;$ zdefiniowane w poprzednim rozdziale tworzą zupełny układ bazowy należy na tych funkcjach wykonać następujące działania, które są opisywane wzorami (8.26) i (8.27), zatem do dzieła:

${\vec {\psi }}_{1}^{*}{\vec {\psi }}_{1}={\hat {x}}e^{i(\omega t-kz)}{\hat {x}}e^{-i(\omega t-kz)}={\hat {x}}{\hat {x}}=1\;$

(8.28)

${\vec {\psi }}_{1}^{*}{\vec {\psi }}_{2}={\hat {x}}e^{i(\omega t-kz)}{\hat {y}}e^{-i(\omega t-kz)}={\hat {x}}{\hat {y}}=0\;$

(8.29)

Ponieważ nasze rozważane funkcje bazowe są funkcjami ortonormalnymi, zatem zdefiniujmy moduł funkcji natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}_{c}\;$ zdefiniowanego w punkcie (8.21):

$|{\vec {E}}_{c}|^{2}={\vec {E}}_{c}^{*}{\vec {E}}_{c}=\left(A_{1}{\vec {\psi }}_{1}^{*}(z,t)+A_{1}{\vec {\psi }}_{1}^{*}(z,t)\right)\left(A_{1}{\vec {\psi }}_{1}(z,t)+A_{1}{\vec {\psi }}_{1}(z,t)\right)=|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}\;$

(8.30)

Inne postacie ortonormalnych funkcji bazowych

Aby napisać wektor natężenia fali pola elektrycznego (8.21) w innych bazach niż tutaj obranego pierwotnie, których z oczywistych powodów jest ich nieskończenie wiele, które można tak obrać przez obrót pierwotnego układu współrzędnych o pewien kąt φ, których nowe wersory naszej bazy są napisane względem odpowiedników starej bazy w sposób:

${\hat {e}}_{1}={\hat {x}}\cos \varphi +{\hat {y}}\sin \varphi \;$

(8.31)

${\hat {e}}_{1}={\hat {x}}\sin \varphi +{\hat {y}}\cos \varphi \;$

(8.32)

Na podstawie przestawienia wersorów w (8.31) (8.32) dowiadujemy się, że one są do siebie ortonormalne, wtedy ich funkcje falowe są ortonormalne:

${\vec {\psi }}_{1}={\hat {e}}_{1}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.33)

${\vec {\psi }}_{2}={\hat {e}}_{2}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.34)

Przestawienie polaryzacji fali płaskiej

Falę biegnącą fali płaskiej, która jest spolaryzowana kołowo, którą możemy przedstawić w zależności od częstości kołowej i liczby falowej w postaci poniżej:

${\vec {E}}={\hat {x}}A\cos(\omega t-kz)={{A} \over {2}}\left\{{\hat {x}}\cos(\omega t-kz)+{\hat {y}}\cos \left[\left(\omega t-{{\pi } \over {2}}\right)-kz\right]\right\}+{{A} \over {2}}\left\{{\hat {x}}\cos(\omega t-kz)-{\hat {y}}\cos \left[\left(\omega t-{{\pi } \over {2}}\right)\right]\right\}\;$

(8.35)

Końcowy wynik (8.35) możemy przestawić w postaci zespolonej za pomocą funkcji eksponencjalnych:

${\vec {E}}=A{\hat {x}}e^{-i(\omega t-kz)}={{A} \over {2}}\left[{\hat {x}}e^{-i(\omega t-kz)}+{\hat {y}}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi } \over {2}})}\right]+{{A} \over {2}}\left[{\hat {x}}e^{-i(\omega t-kz)}-{\hat {y}}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi } \over {2}})}\right]\;$

(8.36)

Wykorzystamy tutaj pewne tożsamości na liczbach zespolonych, która wynika z definicji e^ix jako liczby zespolonej zapisaną w postaci eksponencjalnej, które te tożsamości piszemy wzorami przy rozwinięciu jego do postaci trygonometrycznej:

$e^{i{{\pi } \over {2}}}=\cos {{\pi } \over {2}}+i\sin {{\pi } \over {2}}=i\;$

(8.37)

$e^{-i{{\pi } \over {2}}}=\cos {{\pi } \over {2}}-i\sin {{\pi } \over {2}}=-i\;$

(8.38)

Na podstawie obliczeń (8.37) i (8.38) wzór (8.36) możemy przepisać po odpowiednich jego przekształceniach do wzoru, z którego będzie jasne jak wybierzemy funkcję ortogonalne:

${\vec {E}}={{A} \over {2}}\left({\hat {x}}-{\hat {y}}\right)e^{-i(\omega t-kz)}+{{A} \over {2}}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.39)

Wybierzmy sobie teraz funkcję ortonormalne spełniające warunki (8.26) i (8.27):

${\vec {\psi }}_{+}={{{\hat {x}}+i{\hat {y}}} \over {\sqrt {2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.40)

${\vec {\psi }}_{-}={{{\hat {x}}-i{\hat {y}}} \over {\sqrt {2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.41)

Jeśli dodatkowo weźmiemy, że liczby A₊ i A_-, których definicje są takie by przy wektorach ortonormalnych (8.40) i (8.41) była spełniona tożsamość (8.39):

$A_{+}=A_{-}={{A} \over {\sqrt {2}}}\;$

(8.42)

Na podstawie wzoru (8.36) i przedstawienia bazy ortogonalnej, tzn. (8.40) i (8.41) przy definicji jego współczynników (8.42) równanie na natężenie fali elektromagnetycznej piszemy w postaci formalnej:

${\vec {E}}_{c}=A_{+}{\vec {\psi }}_{+}+A_{-}{\vec {\psi }}_{-}\;$

(8.43)