Fizyka dla liceum/Ruch jednostajny

Ruch jednostajny prostoliniowy

Wstęp

Definicja - Ruch jednostajny, prostoliniowy

Ruch ze stałą (co do wartości i kierunku) prędkością.

• Tor ruchu jest linią prostą.

• Prędkość tego ruchu w każdym jego momencie jest stała.

We wszystkich obliczeniach związanych z tym ruchem będziemy używać jednego wzoru oraz jego przekształceń : (postać wektorowa oraz 'uproszczona')

${\vec {v}}={\frac {\vec {r}}{t}}\quad \quad v={\frac {s}{t}}$

Oznaczenia: s - droga,  r - wektor drogi,  t -czas.

Dlaczego tak jest przedstawiona wersja wektorowa? Zapisaliśmy w niej dwa wektory - prędkości oraz drogi (przemieszczenia). Oznacza to, że kierunek i zwrot prędkości jest taki sam, jak przemieszczenia. Jest to dodatkowa informacja o wektorach opisujących ruch. Zapis wektorowy informuje jak obliczyć wartość prędkości oraz jak znaleźć jej kierunek i zwrot.

W większości zadań z ruchem jednostajnym prostoliniowym możemy pominąć wzmiankę o kierunku oraz zwrocie prędkości, skoro się nie zmieniają. Dlatego - dla łatwości posługiwania się - będziemy używać zwykłej formy tego wzoru (bez wektorów), $v\,={\frac {s}{t}}$.

Wzór można zapisać w innej postaci:

$v\,={\frac {_{\Delta }s}{_{\Delta }t}}$

Znowu ukryta jest tu dodatkowa informacja. Jaka? Symbol $\Delta$  (czytaj: delta) oznacza zmianę lub przyrost czyli różnicę. Co to może zmienić w naszych obliczeniach? W pewnych zadaniach przedział czasu, w którym ruch się odbywa, to różnica (np. pociąg wyjechał o 17:15 a dojechał do celu o 17:55 - czas podróży to różnica dwóch wartości czasowych. Podobnie z drogą, czasami jest ona równa różnicy dwóch położeń, odczytywanych ze słupków przydrożnych.

Przyjrzyjmy się zadaniu o treści:
"Jadący samochód znajdował się o godz. 10.00 w odległości 10km od stacji benzynowej. Jadąc w tym samym kierunku, o godzinie 11.00 oddalił się już na odległość 15km od stacji. Oblicz prędkość w tym ruchu." Jak powinniśmy interpretować te dane?
Zgodnie z poprzednimi zaleceniami, bierzemy zmianę drogi - samochód przebył 5 km. Trwało to 1 godzinę, bo o tyle zmienił się czas. Nie jest to wymyślone, a zawiera się w naszym wzorze - wyrażenie zmienić się jest symbolizowane u nas przez deltę.

Wykres prędkości, tzn. zależność prędkości od czasu:

Prędkość jest stała (v = const).

Równanie i wykres drogi

Ciało w naszym ruchu przebywa pewną drogę, którą możemy policzyć z odpowiedniego wzoru. Przekształcając wzór na prędkość otrzymamy:

$s\,=|v|t$

W niektórych przypadkach, zamiast o drodze - mówimy o położeniu ciała. Z reguły dowiadujemy się, że ciało to znajdowało się początkowo w odległości x₀, po czym poruszało się z prędkością v  przez czas t.  Znając te wielkości, możemy podać, w jakiej odległości (od jakiegoś miejsca) ciało znajduje się po wykonaniu ruchu - obliczamy, jaką drogę pokonało oraz dodamy początkową odległość. Można to oczywiście zobrazować wzorem: (dla rozróżnienia, drogę zamienimy tym razem na x - położenie)

$x\,=x_{0}+|v|t$

Drogę i położenie możemy używać zamiennie - dają nam przecież tę samą informację, tzn. o jaką odległość przemieściło się ciało.

Na wykresie przedstawimy, jak zmienia się położenie ciała w kolejnych sekundach ruchu (wiąże się to oczywiście ze wzorem v=s/t).

Położenie ciała jest proporcjonalne do czasu (x ~ t).

Zadania

Fizyka uczy, jak pojmować zachodzące wokół nas zjawiska. Rozwiązując zadania dotyczące takich zjawisk, możemy uporządkować naszą wiedzę.

Zad.1 (odległość)

Z miejscowości A jedzie motor z szybkością v₁=20 m/s. W chwili, kiedy znajduje się w odległości x₀=5 km od A, na tę samą trasę wjeżdża samochód z szybkością v₂=90 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od A oba pojazdy się spotkają?

dane

Oba pojazdy jadą pewną drogą, wiemy, że w określonej chwili motor był w odległości 5km od startu, w którym znajdował się jadący samochód. Do końca zadania będziemy używać tylko zapisu w metrach i sekundach, w razie potrzeby zamieniamy jednostki.

motor:   x_m0=5000m

samochód:   x_s0 = 0m

Prędkości obu pojazdów z poprawną jednostką (1 km/h = 1000m/3600s).

v₁ = 20 m/s

v₂ = 90 km/h = 90 (1000m/3600s) = 90000/3600 m/s = 25 m/s

rozwiązanie

Potrzebny nam wzór:

$x\,=x_{0}+vt$

Wyjaśnienie: x będzie oznaczać odległość w jakiej znajdzie się nasz obiekt. Do policzenia jej bierzemy odległość jaką już pokonał i dodajemy odległość jaką pokona w czasie ruchu (vt)

Podstawiamy dane (odległość początkowa, szybkość i nieznany czas ruchu t) dla motocykla i samochodu, uzyskując równania:

motocykl:   x = 5000 + 20 t

samochód:   x = 0 + 25 t

W tym miejscu możemy już obliczyć obie wartości, x i t. Dalej podamy jeszcze krótkie wyjaśnienie i końcowe obliczenia.

Czas t jest taki sam dla obu pojazdów, skoro liczymy go od konkretnej chwili do momentu ich spotkania.

Wiemy też, że spotkają się w tej samej odległości x od miejscowości A. Skoro te wielkości są równe, to zapiszemy (przyrównamy prawe strony obu równań):

5000 + 20 t = 0 + 25t

5000 = 5t

t = 1000

Trzymaliśmy się podstawowych jednostek, dlatego po obliczeniach jednostką t są sekundy. Podstawiamy t i obliczamy x.

x = 5000 + 20 t

x = 5000 + 20000 = 25000m

odp.

Samochód i motocykl spotkają się w odległości 25000 metrów po czasie 1000 sekund.

---

Zad.2 (średnia prędkość)

Samochód przejechał trasę między dwoma miastami. Pierwsze 20km poruszał się z szybkością 36km/h, a kolejne 40km z szybkością 40 m/s. Oblicz średnią szybkość samochodu.

dane

s₁=20000 m,     s₂=40000 m

v₁= 36 (1000m/3600s) = 10 m/s,     v₂ = 40 m/s

rozwiązanie

Na wstępie wyjaśnienie: średnia prędkość na całej trasie to nie jest obliczenie średniej z dwóch prędkości! Gdyby tak było, wówczas samochód który poruszał się z prędkością 50km/h przez dwie godziny i prędkością 0km/h przez 10minut, miałby według tej metody źle policzoną średnia prędkość: około 25km/h. Już na oko widać, że jest niepoprawna - nie wynika z niej że samochód po dwóch godzinach przebył 100km. Poprawne obliczenie średniej prędkości bierze się z podzielenia całej długości trasy przez całkowity czas ruchu.

Wracając do zadania, korzystamy ze znanego wzoru   s = v t.   Nie wiemy ile czasu samochód poruszał się z danymi szybkościami.

s1 = v1 t1,	s2 = v2 t2
20000 = 10 t1	40000 = 40 t2
t1=2000 s	t2=1000 s

Do policzenia średniej szybkości potrzebna nam jest cała długość trasy oraz całkowity czas:

v_śr = s/t

s = s₁ + s₂ = 60000 m

t = t₁ + t₂ = 3000 s

v_śr = s/t = 20 m/s

odp.

Średnia szybkość wynosiła 20 m/s.

---

Zad.3 R (względna prędkość)

Dwa samochody poruszają się do tego samego punktu. Wektory ich prędkości są prostopadłe i mają wartości odpowiednio 30 km/h oraz 40 km/h. Oblicz ich względną prędkość.

dane

Jednostki zostają (nie będziemy w zadaniu przeprowadzać działań na jednostkach).

v₁=30 km/h,     v₂=40 km/h

rozwiązanie

Obliczyć musimy względną prędkość, czyli:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$

Co nie jest trywialne, ponieważ wektory mają różne kierunki. Wynikiem będzie trzeci wektor v, pokazany na rysunku.

Aby policzyć wartość uzyskanego wektora v, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa (traktujemy w tym przypadku wartości wektorów jako długości boków w trójkącie).

30² + 40² = v²

v² = 2500

v = 50 km/h

odp.

Względna prędkość ma wartość 50 km/h.

---

Ciekawostki

Bo fizyką trzeba się bawić.

Porównajmy niektóre szybkości:

• jadący samochód: ok. 15-30 m/s
• szybkość dźwięku w powietrzu: ok. 340 m/s
• samolot Concorde: do 600 m/s
• Księżyc wokół Ziemi: ok. 1000 m/s
• pierwsza prędkość kosmiczna: ok. 7910 m/s  (prędkość na orbicie okołoziemskiej)
• trzecia prędkość kosmiczna: ok. 16700 m/s  (aby móc opuścić Układ Słoneczny)
• prędkość fal, światła: ok. 300000000 m/s

Według teorii A. Einsteina, prędkość światła jest prędkością graniczną i nie można jej przekroczyć. Co więcej, jeśli ciało porusza się prędkością zbliżoną do niej, jego masa się zmienia, a czas zaczyna płynąć inaczej niż w otoczeniu...

Wzory

Ile wzorów trzeba zapamiętać, aby umieć opisać ruch jednostajny prostoliniowy? Pokażemy, że żadnego.

Prędkość

Wzorem jest  v=s/t.  Wystarczy jednak przypomnieć sobie jednostkę - km/h lub m/s. Podstawmy słowny opis: droga / czas - i już mamy wzór na prędkość, którego nie trzeba zapamiętywać.

Droga

Wzór w łatwy sposób wyprowadzamy ze wzoru na prędkość. (Można sprawdzić poprawność dzięki działaniom na jednostkach: m = m/s $\cdot$ s, czyli droga=prędk $\cdot$ czas)

Czas

Wzór również wyprowadzamy ze wzoru na prędkość.

Można wspomnieć o przyspieszeniu - jednak ma ono wartość zero, dlatego pojawi się dopiero w następnym rozdziale. To wszystko z ruchu jednostajnego.