Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Wzory Viète'a

Wzory Viete'aEdytuj

wzory Viete'a
TWIERDZENIE

Jeżeli równanie kwadratowe     ma rozwiązania  , to:
 

 

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dowód

 

 

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

  • Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji  

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

 

 

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc   i  

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

  • Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

  • a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco:   Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

 

  • b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

 

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

 

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

 

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element  . Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

 

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

 

  • c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak:  

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez  )

 

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez  :

 

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

 

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości:  

  • d) Kwadrat różnicy:  

 

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

 

  • e) Suma sześcianów:  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

 

 

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy: