Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Wzory Viète'a

Wzory Viete'a

wzory Viete'a

TWIERDZENIE Jeżeli równanie kwadratowe $ax^{2}+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ ma rozwiązania $x_{1},x_{2}\$, to: $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Dowód

${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}+{\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\cdot {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {(-b-{\sqrt {\Delta }})\cdot (-b+{\sqrt {\Delta }})}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-\Delta }{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

• Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji $y=x^{2}+5x+6$

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

$x_{1}+x_{2}={\frac {-5}{1}}=-5$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {6}{1}}=6$

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc $x_{1}=-2$ i $x_{2}=-3$

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

• Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

• a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco: $(x_{1}+x_{2})^{2}$ Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

$\left({\frac {-b}{a}}\right)^{2}$

• b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

$(x_{1}+x_{2})^{2}\$

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element $2x_{1}x_{2}$. Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

$(x_{1}+x_{2})^{2}\ -2x_{1}x_{2}$

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

$\left({\frac {-b}{a}}\right)^{2}-2\cdot \left({\frac {c}{a}}\right)$

• c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: ${\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}}$

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez $x_{2}^{2}$)

${\frac {1}{x_{1}^{2}}}={\frac {1\cdot x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}\cdot x_{2}^{2}}}={\frac {x_{2}^{2}}{x_{2}^{2}x_{1}^{2}}}$

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez $x_{1}^{2}$:

${\frac {1}{x_{2}^{2}}}={\frac {1\cdot x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}\cdot x_{1}^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}x_{1}^{2}}}$

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

${\frac {x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}+{\frac {x_{1}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}}}$

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: ${\frac {({\frac {-b}{a}})^{2}-2\cdot {\frac {c}{a}}}{({\frac {c}{a}})^{2}}}$

• d) Kwadrat różnicy: $(x_{1}-x_{2})^{2}$

$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

$\left({\frac {-b}{a}}\right)^{2}-4\cdot {\frac {c}{a}}$

• e) Suma sześcianów: $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

$(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2})=$

$=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2})=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2})\$

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy:

$\left(-{\frac {b}{a}}\right)\left(\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {c}{a}}\right)$