Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomąEdytuj

Przykładem równania liniowego może być:

  • 2x + 3 = 5
  • -x + 2 = 0
  •  

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

 
DEFINICJA

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci  ,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

  • przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
  • wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

  • Aby rozwiązać równanie   ,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
   czyli   
Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli
 
 ,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

  • jeśli   ,  to   ,
  • jeśli   ,   to   .

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. "   " lub np. "   ".

  •   - obustronnie mnożymy przez 2
  •   - obustronnie dzielimy przez 3
  •   - obustronnie mnożymy przez ułamek  .

Przykłady

  • Równanie  
 
 
 
  • Równanie  
Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.
 
 
 
 

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

  • jeśli  , to istnieje jedno rozwiązanie  ,
  • jeśli  , to równanie przyjmie postać  . Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
  • jeśli  , wówczas równanie może wyglądać np. tak:  , co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomąEdytuj

Zacznijmy od kilku przykładów:

  •  
  •  
  •  
  •  

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

 
DEFINICJA

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np.  , gdzie niewiadomą jest x.
Inne postacie:  .

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od    :

 
 
Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.
Odp.  .

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu    :

 
 
Odp.  .

Rozwiążmy teraz nierówność    :

 
 
  - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.
Odp.  .

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

 
   - fałsz, brakuje zmienionego znaku
   - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)Edytuj

Dla jakich wartości parametru   funkcja   jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .

  1.   aby funkcja była malejąca
  2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej   zachodzi  , zatem w naszym przypadku zachodzi  
 
Mamy:
 
Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik. Po złączeniu otrzymujemy:
 
Co oczywiście jest sprzeczne dlatego: