Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe
Równanie liniowe z jedną niewiadomą
edytujPrzykładem równania liniowego może być:
- 2x + 3 = 5
- -x + 2 = 0
Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.
DEFINICJA Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci , gdzie x jest niewiadomą. |
Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:
- przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
- wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.
Wyjaśnienie
- Aby rozwiązać równanie , wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
- Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
- czyli
- Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli
- , tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.
Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:
- jeśli , to ,
- jeśli , to .
Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " " lub np. " ".
- - obustronnie mnożymy przez 2
- - obustronnie dzielimy przez 3
- - obustronnie mnożymy przez ułamek .
Przykłady
- Równanie
- Równanie
- Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.
Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:
- jeśli , to istnieje jedno rozwiązanie ,
- jeśli , to równanie przyjmie postać . Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
- jeśli , wówczas równanie może wyglądać np. tak: , co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).
Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.
Nierówność liniowa z jedną niewiadomą
edytujZacznijmy od kilku przykładów:
Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:
DEFINICJA Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. , gdzie niewiadomą jest x. |
Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).
Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.
Zaczniemy od :
- Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.
- Odp. .
Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu :
- Odp. .
Rozwiążmy teraz nierówność :
- - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.
- Odp. .
Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:
- - fałsz, brakuje zmienionego znaku
- - prawda, zmieniony znak na '>'.
Równanie z parametrem (R)
edytujDla jakich wartości parametru funkcja jest malejąca oraz nieparzysta?
Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .
- aby funkcja była malejąca
- Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej zachodzi , zatem w naszym przypadku zachodzi
- Mamy:
- Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik. Po złączeniu otrzymujemy:
- Co oczywiście jest sprzeczne dlatego: