Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y .
Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:
{
2
x
+
1
=
3
y
x
−
5
=
y
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y\\x-5=y\end{matrix}}\right.}
{
−
3
x
−
6
y
+
4
=
0
5
x
−
5
=
y
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.}
Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:
{
2
x
+
1
=
3
y
(
1.1
)
x
−
5
=
y
(
1.2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.}
Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:
y
=
x
−
5
{\displaystyle y=x-5\!}
i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):
2
x
+
1
=
3
⋅
(
x
−
5
)
{\displaystyle 2x+1=3\cdot \left(x-5\right)\!}
2
x
+
1
=
3
x
−
15
{\displaystyle 2x+1=3x-15\!}
i otrzymujemy:
x
=
16
{\displaystyle x=16\,}
Mamy już x . Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x , więc:
y
=
16
−
5
=
11
{\displaystyle y=16-5=11\,}
Odp.
x
=
16
{\displaystyle x=16\,}
y
=
11
{\displaystyle y=11\,}
Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:
2
x
+
1
=
3
y
{\displaystyle 2x+1=3y\,}
2
x
=
3
y
−
1
/
:
2
{\displaystyle 2x=3y-1\ \ /{:}2}
x
=
3
2
y
−
1
2
{\displaystyle x={\frac {3}{2}}y-{\frac {1}{2}}}
i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:
3
2
y
−
1
2
−
5
=
y
{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-{\frac {1}{2}}-5=y}
3
2
y
−
5
1
2
=
y
{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-5{\frac {1}{2}}=y}
3
2
y
−
y
=
5
1
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}y-y=5{\frac {1}{2}}}
1
2
y
=
5
1
2
/
⋅
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}y=5{\frac {1}{2}}\quad \ /{\cdot }2}
y
=
11
{\displaystyle y=11}
Mamy już y . Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y , więc:
x
=
3
2
⋅
11
−
1
2
=
33
2
−
1
2
=
32
2
=
16
{\displaystyle x={\frac {3}{2}}\cdot 11-{\frac {1}{2}}={\frac {33}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {32}{2}}=16}
Odp.
x
=
16
{\displaystyle x=16}
y
=
11
{\displaystyle y=11}
Drugi układ
{
−
3
x
−
6
y
+
4
=
0
5
x
−
5
=
y
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.}
{
−
3
x
−
6
(
5
x
−
5
)
+
4
=
0
y
=
5
x
−
5
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6(5x-5)+4=0\\y=5x-5\end{matrix}}\right.}
{
−
3
x
−
30
x
+
30
+
4
=
0
y
=
5
x
−
5
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-30x+30+4=0\\y=5x-5\end{matrix}}\right.}
−
33
x
=
−
34
/
:
(
−
33
)
{\displaystyle -33x=-34\quad /:(-33)\,}
x
=
34
33
{\displaystyle x={\frac {34}{33}}\,}
y
=
5
⋅
34
33
−
5
{\displaystyle y=5\cdot {\frac {34}{33}}-5\,}
y
=
170
33
−
5
{\displaystyle y={\frac {170}{33}}-5\,}
y
=
5
33
{\displaystyle y={\frac {5}{33}}\,}
x
=
34
33
{\displaystyle x={\frac {34}{33}}\,}
edytuj
Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:
{
2
x
+
1
=
3
y
(
1.1
)
x
−
5
=
y
(
1.2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.}
Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:
x
−
5
=
y
/
⋅
(
−
2
)
{\displaystyle x-5=y\quad /{\cdot }(-2)}
−
2
x
+
10
=
−
2
y
{\displaystyle -2x+10=-2y\ }
Teraz należy wstawić to do układu:
{
2
x
+
1
=
3
y
(
1.1
)
−
2
x
+
10
=
−
2
y
(
1.2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\-2x+10=-2y&(1.2)\end{matrix}}\right.}
i dodać stronami:
2
x
+
(
−
2
x
)
+
11
=
3
y
+
(
−
2
y
)
{\displaystyle 2x+(-2x)+11=3y+(-2y)\ }
11
=
y
{\displaystyle 11=y\ }
Mamy już y . Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y , więc:
x
−
5
=
11
{\displaystyle x-5=11\ }
x
=
16
{\displaystyle x=16\ }
Odp.
x
=
16
{\displaystyle x=16}
y
=
11
{\displaystyle y=11}
Drugi przykład:
{
−
3
x
−
6
y
+
4
=
0
5
x
−
5
=
y
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.}
Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.
{
−
3
x
−
6
y
+
4
=
0
5
x
−
5
−
y
=
0
/
⋅
(
−
6
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5-y=0\quad /\cdot (-6)\end{matrix}}\right.}
Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.
{
−
3
x
−
6
y
+
4
=
0
−
30
x
+
30
+
6
y
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\-30x+30+6y=0\end{matrix}}\right.}
Teraz rozwiązujemy.
−
3
x
−
6
y
+
4
−
30
x
+
30
+
6
y
=
0
{\displaystyle -3x-6y+4-30x+30+6y=0\,}
−
33
x
+
34
=
0
{\displaystyle -33x+34=0\,}
−
33
x
=
−
34
/
:
(
−
33
)
{\displaystyle -33x=-34\quad /:(-33)\,}
x
=
34
33
{\displaystyle x={\frac {34}{33}}}
Podstawiamy x i wyliczamy.
5
⋅
34
33
−
5
=
y
{\displaystyle 5\cdot {\frac {34}{33}}-5=y\,}
170
33
−
5
=
y
{\displaystyle {\frac {170}{33}}-5=y}
y
=
5
33
{\displaystyle y={\frac {5}{33}}}
Odpowiedź
x
=
34
33
{\displaystyle x={\frac {34}{33}}}
y
=
5
33
{\displaystyle y={\frac {5}{33}}}
Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.
Zróbmy taki przykład
{
x
+
y
=
4
2
x
+
3
y
=
12
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=4\\2x+3y=12\end{matrix}}\right.}
Przekształcamy układ to postaci kierunkowej
{
y
=
−
x
+
4
y
=
4
−
2
3
x
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y=-x+4\\y=4-{\frac {2}{3}}x\end{matrix}}\right.}
Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:
{
x
=
0
y
=
4
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=0\\y=4\end{matrix}}\right.}
{
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{matrix}}\right.}
W
=
[
a
1
b
1
a
2
b
2
]
=
a
1
b
2
−
a
2
b
1
{\displaystyle W={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}
W
x
=
[
c
1
b
1
c
2
b
2
]
=
c
1
b
2
−
c
2
b
1
{\displaystyle W_{x}={\begin{bmatrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}
W
y
=
[
a
1
c
1
a
2
c
2
]
=
a
1
c
2
−
a
2
c
1
{\displaystyle W_{y}={\begin{bmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}
W
≠
0
{\displaystyle W\neq 0}
x
=
W
x
W
{\displaystyle x={\frac {W_{x}}{W}}}
y
=
W
y
W
{\displaystyle y={\frac {W_{y}}{W}}}
W
=
0
{\displaystyle W=0\,}
W
x
=
0
{\displaystyle W_{x}=0\,}
W
y
=
0
{\displaystyle W_{y}=0\,}
W
=
0
{\displaystyle W=0\,}
W
x
≠
0
∨
W
y
≠
0
{\displaystyle W_{x}\neq 0\vee W_{y}\neq 0}
Przykład
{
2
x
+
5
y
=
16
5
x
+
y
=
17
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+5y=16\\5x+y=17\end{matrix}}\right.}
W
=
[
2
5
5
1
]
=
2
⋅
1
−
5
⋅
5
=
2
−
25
=
−
23
{\displaystyle W={\begin{bmatrix}2&5\\5&1\end{bmatrix}}=2\cdot 1-5\cdot 5=2-25=-23}
W
x
=
[
16
5
17
1
]
=
16
⋅
1
−
17
⋅
5
=
16
−
85
=
−
69
{\displaystyle W_{x}={\begin{bmatrix}16&5\\17&1\end{bmatrix}}=16\cdot 1-17\cdot 5=16-85=-69}
W
y
=
[
2
16
5
17
]
=
2
⋅
17
−
5
⋅
16
=
34
−
80
=
−
46
{\displaystyle W_{y}={\begin{bmatrix}2&16\\5&17\end{bmatrix}}=2\cdot 17-5\cdot 16=34-80=-46}
x
=
W
x
W
=
−
69
−
23
=
3
{\displaystyle x={\frac {W_{x}}{W}}={\frac {-69}{-23}}=3\,}
y
=
W
y
W
=
−
46
−
23
=
2
{\displaystyle y={\frac {W_{y}}{W}}={\frac {-46}{-23}}=2\,}
W przygotowaniu: napisać, co to jest układ zależny, niezależny i sprzeczny
parametr
