Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Funkcja potęgowa

funkcja potęgowa

DEFINICJA Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem $f(x)=x^{p}$.

Dziedzina funkcji potęgowej:

1. Jeśli $p\in \mathbb {N} _{+}$, to $D_{f}=\mathbb {R}$
2. Jeśli $p\in \mathbb {C}$, to $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \{0\}$
3. Jeśli $p\in \mathbb {W}$:
   • dla $p>0$, to $D_{f}=\mathbb {R} _{+}\cup \{0\}$
   • dla $p<0$, to $D_{f}=\mathbb {R} _{+}$

Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to $\mathbb {Z}$, natomiast W (liczb wymiernych) to $\mathbb {Q} .$

Wykres

wykres funkcji potęgowej, własności funkcji potęgowej

O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia $0^{0}$ jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_{f}=\mathbb {R}$
2. $ZW_{f}=\mathbb {R} _{+}\cup \{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_{0}=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0\iff x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0\iff x\in \varnothing$, funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
6. Ekstrema:

   Minimum: dla $x=0$ $f(x)=0$

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in (0,+\infty )$

   Maleje dla $x\in (-\infty ,0)$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta

O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_{f}=\mathbb {R}$
2. $ZW_{f}=\mathbb {R}$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_{0}=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0\iff x\in \mathbb {R} _{+}\backslash \{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0\iff x\in \mathbb {R} _{-}\backslash \{0\}$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in \mathbb {R}$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1\iff x\in (-1;0)\cup (0;1)$

Własności:

1. $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \{0\}$
2. $ZW_{f}=\mathbb {R} _{+}$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0\iff x\in D_{f}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0\iff x\in \varnothing$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in (-\infty ;0)$

   Maleje dla $x\in (0;+\infty )$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$

O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1\iff x\in (0;1)$

Własności:

1. $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \{0\}$
2. $ZW_{f}=\mathbb {R} \backslash \{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0\iff x\in (0;+\infty )$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0\iff x\in (-\infty ;0)$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Maleje w przedziale $x\in (-\infty ;0)$ i przedziale $x\in (0;+\infty )$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$