Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu

Logarytm

Pojęcie i własności logarytmu

logarytm, definicja logarytmu

DEFINICJA Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie $a\in \mathbb {R} _{+}\backslash \{1\}$, nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b. $\log _{a}b=c\iff a^{c}=b$, dla $a>0$ i $a\neq 1$ i $b>0$ a jest podstawą logarytmu b jest liczbą logarytmowaną c jest wartością logarytmu

własności logarytmu

Własności logarytmu:

• $a^{\log _{a}b}=b$
• $\log _{a}1=0$
• $\log _{a}a=1$
• $\log _{a}(mn)=\log _{a}m+\log _{a}n$
• $\log _{a}{m \over n}=\log _{a}m-log_{a}n$
• $\log _{a}{n^{b}}=b\log _{a}{n}$
• $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
• $a>1\land \log _{a}b>\log _{a}c\iff b>c$
• $a<1\land \log _{a}b>\log _{a}c\iff b<c$
• warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

$\log _{10}100=2$

$\log _{10}10000=4$

$100<1000\quad 2<4$

$\log _{0.1}{0.01}=2$

$\log _{0.1}{0.0001}=4$

$0.01>0.001\quad 2<4$

$\log _{10}0.1=-1$

$\log _{10}0.01=-2$

$0.1>0.01\quad -1>-2$

Logarytm naturalny i dziesiętny

logarytm naturalny, logarytm dziesiętny

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, $e$ oraz 10, stąd zapis:

• $\log _{10}a=\log a$ - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
• $\log _{e}a=\ln a$ - logarytm naturalny (którego podstawa $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=2.71828...$)
• $\log _{2}a=\lg a$

Przybliżenia

przybliżenia logarytmów

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

• $\log _{10}2\approx 0.3$