Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Rozwiązywanie równań wykładniczychEdytuj

równania wykładnicze, rozwiązywanie równań wykładniczych

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań wykładniczych mogą być:  
 
 
 

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
  5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie  , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
  2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
  3.  
  4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
  5.  
  6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
  7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
  8.  
     
    Zatem  

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie  , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
  2.  
  3.  
  4. Podstawiamy  
  5.    
  6.  
  7. Otrzymujemy:
  8.  
  9.  
  10. Ponieważ  :
  11.   lub  
  12.   lub  
  13.   lub  
  14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczychEdytuj

nierówności wykładnicze, rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Przykładami nierówności wykładniczych są:

 
 
 

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
  3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
    dla  
     
     
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
    dla  
     
     
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
  4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
  5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie  , możemy je przekształcić na równanie  , ponieważ  . Natomiast  , ponieważ  .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność  . W tym celu:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
  2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:
     
     
  3. Ponieważ  , wykorzystujemy prawo  :
     
  4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
     
     
  5. Z własności  , wynika że:
     , krotność 2 i   o krotności 1.
     
  6. Czyli