Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:
Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.
Przykład 1
Rozwiążmy nierówność .
Ustalamy dziedzinę:
Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
Odp.
Przykład 2
Rozwiążmy nierówność
Ustalamy dziedzinę:
, czyli:
Podstawa logarytmu (czyli )zawiera się w przedziale , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
i otrzymujemy, że:
czyli
Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
Odp.
Przykład 3
Zajmijmy się teraz taką nierównością :
, ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
Czyli
Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
Odp.
Przykład 4
Rozwiążmy nierówność :
Ustalamy dziedzinę:
Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
czyli
Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
dla
, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
czyli , a także (z założenia)
czyli
dla
czyli i
czyli
Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że