Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznychEdytuj

nierówności logarytmiczne, rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
 
DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

  •  
  •  
  •  

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału  , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w   zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność  .

  1. Ustalamy dziedzinę:  
  2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
     
     
  3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
     
  4. Odp.  

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność  

  1. Ustalamy dziedzinę:
     , czyli:
     
  2. Podstawa logarytmu (czyli  )zawiera się w przedziale  , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
      i otrzymujemy, że:
     
    czyli  
  3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
     
    Odp.  

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością  :

  1.  
  2.  , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
  3.  
  4.  
  5. Czyli  
  6. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że  
  7. Odp.  

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność  :

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru  , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
     
    czyli  
  2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy   i gdy  , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
    • dla  
       , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
       
      czyli  , a także   (z założenia)
      czyli  
    • dla  
       
      czyli   i  
      czyli  
  3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że  
  4. Odp.