Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Rozwiązywanie równań logarytmicznychEdytuj

równania logarytmiczne, rozwiązywanie równań logarytmicznych
 
DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

  •  
  •  
  •  

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
    •   np.  
    • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np.  , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
  3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie  .

  1. Ustalamy dziedzinę:  
  2. Własność   sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
     
  3. Odp.  


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie  . Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
    Zatem mamy równanie  
  2. Z własności   i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
     
     
     
  3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie  .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że  . Zatem  .
  2.  
  3. I znajdujemy pierwiastki równania:
     
     
    czyli   i  
  4. Odp.  

Przykład 4

Rozwiążmy równanie  . (Pamiętamy, że  , a nie  .)

  1. Ustalamy dziedzinę:  
  2. Podstawiamy zmienną pomocniczą   do równania   i otrzymujemy:
     
  3.  ,  .
  4.  ,  
  5. Ponieważ  , więc:
     
     
    lub  
     
  6. Odp.  

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie  .

  1. Ustalamy dziedzinę:  
  2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór  .   możemy zapisać jako  . Zatem nasze równanie przybierze postać:
     
     
    Obustronnie mnożymy przez 2:
     
     
  3. Odp.  

Przykład 6

Rozwiążmy równanie  

  1. Ustalamy dziedzinę:  
  2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
     
     
     
  3. Teraz obustronnie dzielimy przez   i mamy:
     
  4.  
  5. Odp.  

Przykład 7

Rozwiążmy równanie  .

  1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów  :
     
    czyli  
  2. Skorzystamy z własności  :
     
    zatem  
  3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
     
     
     
    Otrzymujemy:   i  
  4. Odp.