Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta

miara łukowa, radian

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^{\circ }$. Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^{\circ }$:

${\frac {L}{\mbox{Ob}}}={\frac {60^{\circ }}{360^{\circ }}}$

ponieważ ${\mbox{Ob}}=2\pi r$, otrzymujemy:

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {60^{\circ }}{360^{\circ }}}$

zatem:

$L={\frac {2\pi \cdot 60^{\circ }r}{360^{\circ }}}=\left({\frac {2\pi \cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}}\right)r$

Jak łatwo zauważyć wartość $\left({\frac {2\pi 60^{\circ }}{360^{\circ }}}\right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^{\circ }$. W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt $\varphi _{\circ }$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=\left({\frac {2\pi \varphi _{\circ }}{360^{\circ }}}\right)r=\left({\frac {\pi \varphi _{\circ }}{180^{\circ }}}\right)r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt $\varphi _{\circ }$ jest wyrażony w stopniach, $\varphi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$\varphi ={\frac {\pi \varphi _{\circ }}{180^{\circ }}}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast ${\frac {\pi }{2}}{\mbox{ rad}}$ pisze się po prostu ${\frac {\pi }{2}}$.

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $\alpha$. Wówczas wykorzystując zależność $\alpha ={\frac {\pi \cdot \alpha _{\circ }}{180^{\circ }}}$ otrzymujemy zależność:

$L={\frac {\pi \cdot \alpha _{\circ }}{180^{\circ }}}r=\alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

${\frac {L}{r}}=\alpha$

DEFINICJA Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi $\alpha$, który wyznacza ten łuk: $\alpha ={\frac {L}{r}}$ Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^{\circ }$, a w radianach ${\frac {\pi \cdot 360^{\circ }}{180^{\circ }}}{\mbox{ rad}}=2\pi {\mbox{ rad}}$. Zatem:

• $2\pi {\mbox{ rad}}=360^{\circ }$

• $\pi {\mbox{ rad}}=180^{\circ }$

• ${\frac {\pi }{2}}{\mbox{ rad}}=90^{\circ }$

• ${\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}=60^{\circ }$

• ${\frac {\pi }{4}}{\mbox{ rad}}=45^{\circ }$

• ${\frac {\pi }{6}}{\mbox{ rad}}=30^{\circ }$

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

${\mbox{radiany}}={\frac {{\mbox{stopnie}}\cdot \pi }{180^{\circ }}}$

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

${\mbox{stopnie}}={\frac {{\mbox{radiany}}\cdot 180^{\circ }}{\pi }}$

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a) $30^{\circ }$

b) $45^{\circ }$

c) $150^{\circ }$

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^{\circ }$

$x$ - $30^{\circ }$

czyli:

${\frac {2\pi }{x}}={\frac {360^{\circ }}{30^{\circ }}}$

$x={\frac {2\pi \cdot 30^{\circ }}{360^{\circ }}}$

$x={\frac {\pi }{6}}$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x={\frac {30^{\circ }\pi }{180^{\circ }}}$

$x={\frac {\pi }{6}}$

b) $x={\frac {45^{\circ }\pi }{180^{\circ }}}={\frac {\pi }{4}}$

c) $x={\frac {150^{\circ }\pi }{180^{\circ }}}={\frac {5\pi }{6}}$

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a) ${\frac {\pi }{10}}$

b) ${\frac {2\pi }{3}}$

b) ${\frac {9\pi }{5}}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^{\circ }$

${\frac {\pi }{10}}$ - $x$

zatem:

${\frac {2\pi }{\frac {\pi }{10}}}={\frac {360^{\circ }}{x}}$

$20={\frac {360^{\circ }}{x}}$

$20x=360^{\circ }$

$x=18^{\circ }$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x={\frac {{\frac {\pi }{10}}\cdot 180^{\circ }}{\pi }}=18^{\circ }$

b) $x={\frac {{\frac {2\pi }{3}}\cdot 180^{\circ }}{\pi }}=120^{\circ }$

c) $x={\frac {{\frac {9\pi }{5}}\cdot 180^{\circ }}{\pi }}=36^{\circ }\cdot 9=324^{\circ }$