Matematyka dla liceum/Trygonometria/Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnegoEdytuj

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanejEdytuj

funkcja trygonometryczna, kąt skierowany
 
DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta   jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.


płaszczyzna zorientowana
 
DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.
Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu   na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

   

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanegoEdytuj

sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans
 
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej.

Sinusem kąta skierowanego   nazywamy stosunek rzędnej (y) do promienia (r)

 

Cosinusem kąta ostrego   nazywamy stosunek odciętej (x) do promienia (r)

 

Tangensem kąta ostrego   nazywamy stosunek rzędnej (y) do odciętej (x)

 

Cotangensem kąta ostrego   nazywamy stosunek odciętej (x) do rzędnej (y)

      lub     
Secansem kąta ostrego   nazywamy stosunek promienia (r) do odciętej (x)
      lub      
Cosecansem kąta ostrego   nazywamy stosunek promienia (r) do rzędnej (y)
      lub      

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta   pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt  . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu  :

  •  
  •  
  •  
  •  
położenie standardowe, kąt w położeniu standardowym

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt   znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt  . Wyznaczmy  ,  ,  ,  .

  •  
  •  
  •  
  •  

Przykład 3.

Kąt   znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt  . Obliczmy  ,  ,  ,  .

  •  
  •  
  •  
  •